浙江省強基聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

浙江強基聯(lián)盟研究院命制
考生注意：
1.本試卷滿分150分，考試時間120分鐘。
2.考生作答時，請將答案答在答題卡上。選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效。
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點，，則
A.B.
C.D.
2.直線的傾斜角為
A.1B.C.D.
3.已知為一條直線，，為兩個不重合的平面，且，則“”是“”的
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
4.在平面直角坐標(biāo)系中，直線，則直線過
A.一、二、三象限B.一、二、四象限
C.二、三、四象限D(zhuǎn).一、三、四象限
5.設(shè)復(fù)數(shù)滿足方程，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，則
A.B.
C.D.
6.已知點，平面，其中，則點到平面的距離是
A.B.C.2D.3
7.正八面體結(jié)構(gòu)（正八面體每個面都是正三角形）作為一種對稱穩(wěn)定的幾何結(jié)構(gòu)，在物質(zhì)世界中具有廣泛的應(yīng)用.從晶體材料到生物分子，正八面體結(jié)構(gòu)都發(fā)揮著重要作用，影響著物質(zhì)的性質(zhì).如六氟化硫（化學(xué)式為）分子結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)，在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途.則在如圖所示的正八面體中，二面角的正弦值為
A.B.C.D.
8.已知正三角形的邊長為1，在平面內(nèi)，若向量滿足，則的最大值為
A.B.
C.2D.3
二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9.在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，下列結(jié)論正確的有
A.B.
C.若，且，則D.若且，則
10.已知曲線，點在曲線上，則下列結(jié)論正確的是
A.曲線有4條對稱軸B.的最小值是
C.曲線圍成的圖形面積為D.的最大值是1
11.正方體的棱長為，，分別是，的中點，點在正方體表面上運動，且，記點的軌跡長度為，則下列結(jié)論正確的是
A.
B.
C.若平面，且點平面，則的最小值為
D.若，則
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.
12.已知直線，直線，若，則實數(shù)的值為________.
13.已知在直三棱柱中，，，，是的中點，若，則________.
14.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，直線，過上一點作圓的切線，切點為，則的最小值為________.
四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.
15.（13分）
已知空間三點，，，以向量，為一組鄰邊組成平行四邊形，
（1）求點坐標(biāo)；
（2）求平行四邊形的面積.
16.（15分）
如圖，在直三棱柱中，底面是等腰三角形，，，，分別是棱，的中點.
（1）求證：平面；
（2）求直線與平面所成的角的正弦值.
17.（15分）
已知平面直角坐標(biāo)系中，圓，點，
（1）若是圓上的動點，線段的中點為，求的軌跡方程；
（2）以為直徑的圓交圓于，兩點，求.
18.（17分）
如圖，三棱錐中，底面是邊長為2的等邊三角形，.
（1）若，求三棱錐的外接球的表面積；
（2）若異面直線和所成角的余弦值為，點是線段（不含端點）上的一個動點，平面與平面的夾角為，求的取值范圍.
19.（17分）
古希臘亞歷山大時期最后一位重要的幾何學(xué)家帕普斯（Pappus，公元3世紀(jì)末）在其代表作《數(shù)學(xué)匯編》中研究了“三線軌跡”問題：平面上，到兩條已知直線距離的乘積是到第三條直線距離的平方的倍的動點軌跡為二次曲線（在平面上，由二元二次方程所表示的曲線，叫做二次曲線）.常數(shù)的大小和直線的位置等決定了曲線的形狀.為了研究方便，我們設(shè)平面內(nèi)三條給定的直線為，當(dāng)三條直線中有相交直線時，記，，，動點到直線的距離為，且滿足.閱讀上述材料，完成下列問題：
（1）當(dāng)，時，若，且與的距離為2，點在與之間運動時，求動點的軌跡所圍成的面積.
（2）若是等腰直角三角形，是直角，點在內(nèi)（包括兩邊）運動，試探求為何值時，的軌跡是圓？
（3）若是等腰三角形，，點在內(nèi)（包括兩邊）任意運動，當(dāng)時，問在此等腰三角形對稱軸上是否存在一點，使為大于1的定值.若存在，求出點的位置，若不存在，請說明理由.
浙江強基聯(lián)盟2024年10月高二聯(lián)考
數(shù)學(xué)卷參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)
1.A 根據(jù)向量減法運算，得，故選A.
2.C 由方程得直線斜率，所以傾斜角.故選C.
3.B 若，，則或；若，，則內(nèi)必存在一條直線平行于，則，則，所以“”是“”的必要不充分條件.故選B.
4.D 直線在軸上截距為2，軸上截距為，畫出直線，發(fā)現(xiàn)直線過一、三、四象限，故選D.
5.D 由已知，，則由，可得，即，可得.故選D.
6.C 由題意，，為平面的法向量，，，所以，故選C.
7.B 取中點，連結(jié)，，，由正八面體定義可知，為所求的二面角的平面角，不妨設(shè)，則，，在中，由余弦定理，得，所以.故選B.
8.A 以為坐標(biāo)原點，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)，則，，所以，滿足的點坐標(biāo)滿足：，即在以為圓心，1為半徑的圓上，當(dāng)，，三點共線，且在如圖所示位置時，最大，由余弦定理，得，所以.故選A.
9.BC 因為，，所以，，所以錯誤；因為，所以正確，若，且，則，則，所以正確，若且，因為，所以，所以錯誤.故選BC.
10.ACD 當(dāng)，時，原方程化為，是圓心為，半徑為的圓在第一象限的部分，又由于圖象關(guān)于軸，軸對稱，所以曲線如圖所示.對于，由圖可知正確，四條對稱軸分別是軸，軸，，；對于，表示曲線上的點到直線：的距離的倍，如圖，顯然當(dāng)是時，距離最小，為，所以最小值為，故B錯誤；對于C，曲線圍成的圖形由四個直徑為的半圓和一個邊長為的正方形組成，故面積為，故正確；對于，設(shè)表示點與點確定的直線的斜率，設(shè)該直線方程為，根據(jù)圖象，可知當(dāng)，，即，則圓心為，半徑為的圓在第四象限的部分與直線相切時，該切線的斜率是的最大值，則由，得，解得或（舍）.則的最大值為1.故D正確.故選ACD.
11.AD 對于選項A、B，等于以為球心，1為半徑的球與正方體表面的交線總長，所以，故選項正確；等于以為球心，為半徑的球與正方體表面的交線總長，由于，所以球與過的三個正方體表面沒有交線，與另外三個面的交線長為，故選項B錯誤；對于選項，如圖，取的中點H，的中點，易知平面平面，則當(dāng)點平面時，平面，又點平面，所以點的軌跡是線段，則當(dāng)時，最小，此時，即的最小值為，故選項C錯誤；對于選項D，因為，所以點與點，，共面，從而點的軌跡為平面與正方體表面的交線，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，畫出交線如圖，所以的軌跡為等腰梯形（如圖），故軌跡總長，故選項正確.故選AD.

12. 因為，所以兩直線的斜率之積為，即，所以.
13. 以為坐標(biāo)原點，分別以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則由題意：，，，則，，，解得，即.
14.3 由題意，圓的半徑，根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義，得
.所以只要最小即可，當(dāng)時，，所以的最小值為.
15.解：（1）設(shè)，則，，，
由平行四邊形法則：，3分
所以，，，即點坐標(biāo)為.6分
（2）由題意，，，，所以.10分
所以.13分
16.（1）證明：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，
則，，，，.2分
則，，.
設(shè)平面的一個法向量，
則可取，5分
所以.所以，平面.
又平面，所以平面（其他方法，按步給分）.7分
（2）解：由題意，，，.所以，，
設(shè)平面的一個法向量為，
則可取，9分
又，設(shè)直線與平面所成的角為，則，
所以直線與平面所成的角的正弦值為.15分
（其他方法，按步給分）
17.解：（1）設(shè)，，則3分
所以代入圓，得，
化簡得，即為的軌跡方程.7分
（2）由題意，以為直徑的圓的方程為：，即.
由得直線的方程：.11分
圓心到直線的距離，，
，，
所以.15分
18.解：（1）當(dāng)時，，，兩兩垂直，可將其補成正方體，正方體的體對角線即為外接球的直徑.所以三棱錐的外接球直徑為：，
兩邊平方得，所以.4分
（2）如圖，取中點，由題意，，，設(shè)，，，.
則，，，因為，所成角的余弦值為，
所以，
得.7分
又，，，
解得或（舍去）.所以，此時，
這樣，可以以，，分別為，，軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）.10分
則，，，，設(shè)，
因為點，所以設(shè)，
，，所以.
所以得.
因為，，設(shè)平面的一個法向量，
則取，13分
又，，
同理可求得平面的一個法向量為.14分
因為平面與平面的夾角為，
所以，
設(shè)，，，則，
記，，顯然在上單調(diào)遞增，
所以，當(dāng)時，，所以.
即的取值范圍是.17分
19.解：（1）以為軸，為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，，設(shè)，
因為在，之間，所以，，，
由定義得，所以，化簡得，表示以為圓心，1為半徑的圓.
所以動點的軌跡圍成的圖形面積.4分
（2）以為坐標(biāo)原點，為軸，為軸，建立平面直角坐標(biāo)系.
設(shè)，點，則，，，，
代入坐標(biāo)得：.6分
化簡整理：①
當(dāng)時，方程①沒有項，此時方程①為：.
即，此方程表示圓心為，半徑為的圓，
所以當(dāng)時，的軌跡是圓.9分
（3）以為坐標(biāo)原點，的角平分線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)，，，點，
先求點的軌跡方程：由，因為在內(nèi)部，所以，得.
同理：，又.
由題意，當(dāng)時，得.
化簡整理得：.②13分
假設(shè)存在點，滿足條件，則③
由②得：.
代入③得.
要使此式為定值，則，化簡得，
故存在點，即點為與的角平分線的交點，即點為中點，
此時.17分

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