河南省部分學校2024-2025學年高三上學期11月月考數學試卷（Word版附解析）-試卷下載-教習網

1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘．
2．答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內項目填寫清楚．
3．考生作答時，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．
4．本卷命題范圍：集合、常用邏輯用語、不等式、函數、導數，三角函數、三角恒等變換，解三角形、平面向量．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 函數的值域可以表示為（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據函數的值域是指函數值組成的集合，即可判斷.
【詳解】因函數的值域是指函數值組成的集合，
故對于函數，其值域可表示為：.
故選：B.
2. 若“”是“”的充分條件，則是（）
A 第四象限角B. 第三象限角C. 第二象限角D. 第一象限角
【答案】B
【解析】
【分析】根據角正切值與正弦值的正負判斷象限即可.
【詳解】由題可知，，則是第三象限角或第四象限角；又要得到，故是第三象限角.
故選：B
3. 下列命題正確的是（）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】對于選項A:利用指數函數的值域即可判斷；對于選項B:利用對數函數的單調性求出值域即可判斷；對于選項C:采用特殊值法，令即可判斷; 對于選項D: 令，結合三角函數的值域求解驗證即可.
【詳解】對于選項A:因為指數函數的值域為0,+∞，故，，故選項A錯誤；
對于選項B: 因為對數函數在上單調遞增，所以當時，，故選項B錯誤；
對于選項C:令,則，，顯然，故，使得成立，故選項C正確;
對于選項D:結合題意可得：令，因為，所以，所以，
因為，故不存在，使得,故選項D錯誤.
故選：C.
4. 函數的大致圖象是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先確定函數的奇偶性，排除兩選項，再根據特殊點的函數值的正負，選出正確答案.
【詳解】函數是偶函數，圖象關于軸對稱，排出選項A、B；再取特殊值和，可得函數的大致圖象為C，
故選：C.
5. 已知向量，滿足，，則向量與的夾角為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量夾角的計算公式計算即可.
【詳解】由題可知，
，
所以
故向量與的夾角為
故選:A
6. 已知，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先確定兩個角的關系，然后利用三角恒等變換公式求解即可.
【詳解】由題可知，
所以有
故選：C
7. 已知，，，則的最小值為（）
A. 8B. 9C. 12D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】我們觀察形式，顯然分式的分子和分母同時有變量，所以令代入化簡，然后利用基本不等式求解即可.
【詳解】
當且僅當，，即時等號成立；
故選：A
8. 若，，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先將兩個乘積看做兩個函數，易知要使時，，則需要兩函數同號，所以我們需要去找他們零點，時零點相同，然后求解參數即可.
【詳解】由題易知，當時，；
由對數函數的性質可知，當時，；當時，；
顯然函數有兩個根，不妨令，則
由二次函數的圖像可知，時，；時，
故要使恒成立，則
所以有，解得
故選：D
【點睛】關鍵點點睛：當兩個式子相乘大于等于零時，兩個式子必定同為負或者同為正，或者有一個為零.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 已知函數，則（）
A. 的值域為B. 為奇函數
C. 在上單調遞增D. 的最小正周期為
【答案】AD
【解析】
【分析】對于選項A:利用換元，再結合指數函數的單調性即可求出值域；對于選項B:利用奇偶性的定義說明即可；對于選項C: 結合復合函數的單調性即可判斷；對于選項D:借助三角函數的周期，以及周期函數的定義即可判斷.
【詳解】對于選項A:由，令，則，，
因為在上單調遞增，所以，故選項A正確；
對于選項B: 由可知，對任意的，
因為，而，易驗證故不是奇函數，
故選項B錯誤；
對于選項C:結合選項A可知在單調遞減，而在定義域上單調遞增，
由復合函數的單調性可得在單調遞減，故選項C錯誤；
對于選項D:因為的最小正周期為，
所以，所以的最小正周期為，故選項D正確.
故選：AD.
10. 國慶節(jié)期間，甲、乙兩商場舉行優(yōu)惠促銷活動，甲商場采用購買所有商品一律“打八四折”的促銷策略，乙商場采用“購物每滿200元送40元”的促銷策略．某顧客計劃消費元，并且要利用商場的優(yōu)惠活動，使消費更低一些，則（）
A. 當時，應進甲商場購物B. 當時，應進乙商場購物
C. 當時，應進乙商場購物D. 當時，應進甲商場購物
【答案】AC
【解析】
【分析】分別計算不同選項兩個商場的優(yōu)惠判斷即可.
【詳解】當時，甲商場的費用為，乙商場的費用為，，故應進甲商場，
所以選項A正確；
當時，甲商場的費用為，乙商場的費用為，
，因為，所以，，進入乙商場，當故應進甲商場，所以選項B錯誤；
當時，甲商場的費用為，乙商場的費用為
，因為，所以
故，所以應進乙商場，所以選項C正確；
假設消費了600，則在甲商場的費用為，在乙商場的費用為，
所以乙商場費用低，故在乙商場購物，故選項D錯誤.
故選：AC
11. 已知函數滿足：①，，；②，則（）
A. B.
C. 在上是減函數D. ，，則
【答案】BCD
【解析】
【分析】取可求，判斷A，取證明，取可得，由此可得，
結合指數運算性質和指數函數性質判斷BC，選項D的條件可轉化為當，恒成立，結合函數性質求結論.
【詳解】因為，，，
取可得，A 錯誤；
取可得，又，
所以，
取可得，，
所以，其中，
所以，B正確，
由指數函數性質可得，其中在上單調遞減，
所以在上是減函數，C正確；
不等式可化為，
所以，
由已知對于，恒成立，
所以當，恒成立，
故，其中，
因為函數，在上都單調遞增，
所以在上的最大值為，
所以，D正確；
故選：BCD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知函數，則曲線在點處的切線方程為______．
【答案】
【解析】
【分析】利用導數的幾何意義求出切線斜率，然后代入點斜式直線方程即可求解切線.
【詳解】由題可知，，，
所以切線斜率，
故切線方程為.
故答案為：
13. 已知函數，若為偶函數，且在區(qū)間內僅有兩個零點，則的值是__________．
【答案】2
【解析】
【分析】根據偶函數的性質，求得，，再結合余弦函數的零點，列出不等式，即可求解.
【詳解】為偶函數，
所以，，得，，
當x∈0,π時，，在區(qū)間內僅有兩個零點，
所以，解得：，所以.
故答案為：2
14. 若內一點P滿足，則稱P為的布洛卡點，為布洛卡角．三角形的布洛卡點是法國數學家和數學教育家克洛爾于1816年首次發(fā)現，1875年被法國軍官布洛卡重新發(fā)現，并用他的名字命名．如圖，在中，，，若P為的布洛卡點，且，則BC的長為______．
【答案】
【解析】
【分析】利用三角恒等變換、正弦定理、余弦定理等知識進行分析，先求得，進而求得，也即是.
【詳解】，所以為銳角，為銳角，
所以.
由于，所以，設，則，
，
為銳角，則.
由于，
所以，所以①，
在中，由正弦定理得，
所以，所以，
即，由正弦定理得，
即，解得，則為銳角，
由解得，
在三角形中，由余弦定理得，
所以，
在三角形中，由正弦定理得，
所以，解得.
故答案為：
【點睛】易錯點睛：銳角與邊長關系的判斷：在判斷三角形的角是否為銳角時，容易出現符號錯誤或判斷失誤.因此，在涉及角度大小的判斷時，需特別注意各個角的定義和所使用定理的適用范圍.正弦定理和余弦定理的符號處理：在使用正弦定理和余弦定理時，符號的處理必須謹慎，特別是在涉及平方根和正負符號的時候，需確保沒有遺漏或誤用.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 在中，內角的對邊分別為，且．
（1）求；
（2）若為的外心，為邊的中點，且，求周長的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理結合三角恒等變換進行化簡即可求解；
（2）利用向量表示出，由余弦定理結合基本不等式、三角形周長公式即可求解.
【小問1詳解】
由已知及正弦定理得：，
由得：
，
所以，又，
所以，即，
因為，所以，
所以解得.
【小問2詳解】
因為為的外心, 且由上問知，
所以,
設（為的外接圓半徑），
因為為邊的中點，且，
所以在中易得：，
所以，
即，解得：，
在中由余弦定理可得：，
解得，
在中由余弦定理可得：，
由基本不等式可得：
，當且僅當時等號成立，
所以，即.
所以周長，
當且僅當時等號成立.
故周長的最大值為.
16. 在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，，．
（1）求a；
（2）如圖，D是外一點（D與A在直線BC的兩側），且，，求四邊形ABDC的面積．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先根據兩角和的正切公式求，即求角，再根據余弦定理求解；
（2）根據誘導公式求解，以及兩角和的三角函數求，再根據正弦定理求，最后根據面積公式，即可求解.
【小問1詳解】
由條件可知，，
所以，所以，即，
所以，
則
所以；
【小問2詳解】
，
，，
,
中，，即，
所以，，
所以四邊形的面積為.
17. 已知平面向量，，且，其中，．設點和在函數的圖象（的部分圖象如圖所示）上．
（1）求a，b，的值；
（2）若是圖象上的一點，則是函數圖象上的相應的點，求在上的單調遞減區(qū)間．
【答案】（1），，；
（2）
【解析】
【分析】（1）由得，利用向量數量積計算公式和輔助角公式化簡得，根據題設條件列出三角方程組，結合圖象即可求出a，b，的值；
（2）由題意中點的變換求得，利用正弦函數的圖象特點即可求得在上的單調遞減區(qū)間.
【小問1詳解】
因，，由，可得，
由
，其中，
因點和在函數的圖象上，則有，，
結合圖象，由① 可得，
將其代入② 式，可得，即，（*）
由圖知，該函數的周期滿足，即又，則有，
由（*）可得，故.
由解得，，
故，，；
【小問2詳解】
不妨記，則，
因是圖象上的一點，即得，即，
又因是函數圖象上的相應的點，故有.
由，可得，
因，故得.
在上的單調遞減區(qū)間為.
18. 已知函數，m，．
（1）當時，求的最小值；
（2）當時，討論的單調性；
（3）當時，證明：，．
【答案】（1）0 （2）答案見解析
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）利用求導判斷函數的單調性，即得函數的極小值即最小值；
（2）利用求導，就導函數中的參數進行分類，分別討論導函數的符號，即得函數的單調性；（3）將待證不等式等價轉化為，設，依題意，只需證在時，成立，分別求即可得證.
【小問1詳解】
當時，，，
由，可得或，由，可得，
即在和上單調遞增；在上單調遞減，
時，，時，，
故時，取得極小值也即最小值，為.
【小問2詳解】
當時，，函數的定義域為，，
當時，恒成立，故在上增函數；
當時，由，可得，
故當或時，；
即在和上單調遞增；
當時，，
即在上單調遞減.
綜上，當時，在上為增函數；
當時，在和上單調遞增,
在上單調遞減.
【小問3詳解】
當時，,
要證，，只需證，
即證在上恒成立.
設，依題意，只需證在時，.
因，，由，可得，由，可得，
故在上單調遞減，在上單調遞增,
則在時取得極小值也是最小值，為；
因，，由，可得，
由，可得，由，可得，
故在上單調遞增，在上單調遞減，
則在時取得極大值也是最大值，為.
因，即在上成立，故得證.
即，．
【點睛】方法點睛：本題主要考查利用導數求函數的最值、證明不等式恒成立等知識點，屬于較難題.
證明不等式型如的恒成立問題，一般方法有：
（1）構造函數法：即直接構造，證明；
（2）比較最值法：即證明即可；
（3）等價轉化法：即將待證不等式左右兩邊同除以一個式子，使得左右函數的最值可比較.
19. 已知非零向量，，，均用有向線段表示，現定義一個新的向量以及向量間的一種運算“”：．
（1）證明：是這樣一個向量：其模是的模的倍，方向為將繞起點逆時針方向旋轉角（為軸正方向沿逆時針方向旋轉到所成的角，且），并舉一個具體的例子說明之；
（2）如圖1，分別以的邊AB，AC為一邊向外作和，使，．設線段DE的中點為G，證明：；
（3）如圖2，設，圓，B是圓O上一動點，以AB為邊作等邊（A，B，C三點按逆時針排列），求的最大值．
【答案】（1）證明見解析.
（2）證明見解析. （3）5.
【解析】
【分析】（1）根據圓的參數方程設定的坐標，再依據題意證明即可；
（2）依據新定義把的坐標表示出來再運算證明即可；
（3）掌握平面向量的模的運算和三角函數的最值求法即可解答.
【小問1詳解】
證明：設（分別為軸正方向逆時針到所成角，且），
則，
，
于是，
即，軸正方向逆時針到所成的角為.
故：是這樣一個向量：把的模變?yōu)樵瓉淼谋叮茨鏁r針方向旋轉角（為軸正方向逆時針到所成的角，且）.
例如，，則，，與軸正方向的夾角為，與軸正方向的夾角為，將的模變?yōu)樵瓉淼?倍，并按逆時針旋轉，即可得.
【小問2詳解】
證明：記，
根據新定義，可得，
同理，
所以，
而，
所以，
故：.
【小問3詳解】
解：設，則，
，
所以，
所以
.
設，則，
當，即時，.
【點睛】此題考查了圓的參數方程；平面向量數量積的性質，以及三角函數最值.

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