一、單選題
1．把一元二次方程化成一般形式,則二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別為( )
A.3,,1B.3,1,4C.3,D.3,4,1
2．2024年6月25日,嫦娥六號返回器準確著陸于預(yù)定區(qū)域,工作正常,標志著探月工程嫦娥六號任務(wù)取得圓滿成功,實現(xiàn)世界首次月球背面采樣返回.下列航天領(lǐng)域的圖標中,既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是( )
A.B.
C.D.
3．我們解一元二次方程時,可以運用因式分解法,將此方程化為,得到兩個一元一次方程：,從而得到原方程的解為,.這種解法體現(xiàn)的數(shù)學思想是( )
A.公理化思想B.模型思想C.函數(shù)思想D.轉(zhuǎn)化思想
4．二次函數(shù)的圖象不經(jīng)過( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限
5．如圖,在中,A是的中點,點D在上.若,則( )
A.B.C.D.
6．如圖,菱形的對角線、交于點O,,,將繞著點C旋轉(zhuǎn)得到,則點A與點之間的距離為( )
A.6B.8C.10D.12
7．下列方程沒有實數(shù)根的是( )
A.B.C.D.
8．如圖,學校課外生物小組的試驗田的形狀是長為、寬為的矩形,為了方便管理,要在中間開辟兩橫一縱共三條等寬的小路,小路與試驗田的各邊垂直或平行,要使種植面積為,則小路的寬為多少米?若設(shè)小路的寬為,根據(jù)題意可列方程( )
A.B.
C.D.
9．石拱橋是中國傳統(tǒng)的橋梁四大基本形式之一,是用天然石料作為主要建筑材料的拱橋,以歷史悠久,形式優(yōu)美,結(jié)構(gòu)堅固等特點聞名于世,它的主橋是圓弧形.如圖,某石拱橋的跨度AB(AB所對的弦的長)約為,拱高CD(AB的中點到弦的距離)約為,則所在圓的半徑為( )
A.B.C.D.
10．已知二次函數(shù)的圖象如圖所示,該拋物線的對稱軸為直線,則下列結(jié)論不正確的是( )
A.
B.關(guān)于x的方程的兩根是,
C.當時,y隨x的增大而減小
D.
二、填空題
11．方程的解是____________.
12．如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,,則的度數(shù)為______.
13．若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點,利用拋物線可知不等式的解集是____________.
14．鉛球是利用人體全身的力量,將一定重量的鉛球從肩上用手臂推出的田徑運動項目之一,是集力量和技術(shù)于一體的運動,絕對力量和完美技術(shù)都是取得好成績的因素,鉛球行進高度和鉛球行進曲線都影響著鉛球投擲的成績.如圖,一位運動員推鉛球,鉛球行進高度y(單位：m)與水平距離x(單位：m)之間的關(guān)系是,此運動員投擲時,鉛球的最大行進高度是______m.
15．如圖,在矩形中,E是邊上一點,對角線,相交于點O,于點F,連接.若,,,則的長為______.
16．(1)解方程：.
(2)以下是小夏同學解方程的過程,請解決問題：
解：原方程可變形為,第一步
方程兩邊同時除以得,第二步
∴原方程的解是.第三步
①上述解方程的過程從第_______步開始出錯,錯誤的原因是____________
②請直接寫出方程的解：_________________________
三、解答題
17．已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左側(cè)),與y軸交于點C,頂點為D.
(1)求點A,B,C,D的坐標,并在如圖所示的平面直角坐標系中畫出該二次函數(shù)的大致圖象(每個小方格的邊長都是1個單位長度).
(2)描述拋物線是由拋物線如何平移得到的.
(3)求四邊形的面積.
18．如圖,已知的直徑垂直弦于點E,連接并延長交于點F,且F為的中點.
(1)求證：；
(2)若,求弦的長.
19．大豆,通稱黃豆,屬一年生草本,是我國重要糧食作物之一,已有五千年栽培歷史,古稱“菽”.某校綜合實踐小組以“探究大豆種植密度優(yōu)化方案”為主題展開項目學習.在六塊不同的試驗田中種植株數(shù)不同的大豆,嚴格控制影響大豆生長的其他變量,在大豆成熟期,對每株大豆的產(chǎn)量進行統(tǒng)計,并記錄如下：
(1)根據(jù)記錄表中的數(shù)據(jù)分析單位面積試驗田的單株平均產(chǎn)量與種植株數(shù)的變化規(guī)律,若設(shè)單位面積試驗田種植x株(),則單位面積試驗田單株的平均產(chǎn)量為_________粒.
(2)如果要想獲得單位面積大豆的總產(chǎn)量達到2160粒,又相對減少田間管理,那么單位面積大豆應(yīng)種植多少株？
20．某批發(fā)市場批發(fā)甲、乙兩種水果,根據(jù)以往經(jīng)驗和市場行情,預(yù)計夏季某一段時間內(nèi),甲種水果的銷售利潤(單位：萬元)與進貨量x(單位：噸)近似滿足函數(shù)關(guān)系；乙種水果的銷售利潤(單位：萬元)與進貨量x(單位：噸)近似滿足函數(shù)關(guān)系(其中a,b為常數(shù),),且當進貨量為1噸時,銷售利潤為萬元,當進貨量為2噸時,銷售利潤為萬元.如果該批發(fā)市場準備進甲、乙兩種水果共10噸,問這兩種水果各進多少噸時獲得的銷售利潤之和最大？最大利潤是多少？
21．閱讀與思考
觀察下列方程系數(shù)的特征及其根的特征,解決問題：
(1)請描述一元二次方程和關(guān)聯(lián)方程的系數(shù)特征及它們根的關(guān)系特征.
(2)方程和是不是關(guān)聯(lián)方程？求解兩個方程并判斷兩個方程的根是否符合根的關(guān)系特征.
(3)請以一元二次方程(,)為例證明關(guān)聯(lián)方程根的關(guān)系特征.
22．綜合與實踐
如圖1,這是某廣場中的噴水池,那隨著音樂聲此起彼伏的水線,一會兒高高躍起,一會兒盤旋而下,令人心曠神怡!邊上各個方向向外噴出的水線可以看做一圈形狀相同的拋物線,從這些拋物線中抽象出一條分析研究,若水線達到最大高度(點P距地面的距離)時,水線的跨度.
請你結(jié)合所學知識解決下列問題：
(1)在圖2中建立以為單位長度,點A為坐標原點,所在直線為x軸,過點A與垂直的直線為y軸,構(gòu)建平面直角坐標系,并求出拋物線的解析式.
(2)若噴水池中心C到A的距離約為,則該噴水池的半徑至少為多少米,才能使噴出的水流都落在水池內(nèi)?
(3)在(2)的條件下,身高為的清潔工王師傅在水池中清理漂浮物,為了不被淋濕,王師傅站立時必須在離水池中心點C多少米范圍內(nèi)?(結(jié)果保留1位小數(shù),參考數(shù)據(jù)：,,,,,)
23．綜合與探究
問題情境：數(shù)學課上,老師提出一個問題：如圖1,在中,,,,把繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)到的位置,點A,B的對應(yīng)點分別是,,與相交于點D.在旋轉(zhuǎn)過程中,線段之間存在一些特殊的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系.如圖2,在旋轉(zhuǎn)過程中,當經(jīng)過的中點D時,試判斷四邊形與的位置關(guān)系,并加以證明.
問題解決：(1)請你解答老師提出的問題.
數(shù)學思考：(2)小明同學發(fā)現(xiàn)：在圖形旋轉(zhuǎn)過程中,有線段垂直關(guān)系的存在.如圖3,在旋轉(zhuǎn)過程中,當時,求點A與點之間的距離.
數(shù)學探究：(3)小敏同學發(fā)現(xiàn)：在旋轉(zhuǎn)過程中,有特殊三角形的存在.在旋轉(zhuǎn)過程中,當是等腰三角形時,請直接寫出線段的長.
參考答案
1．答案：A
解析：將一元二次方程化成一般形式為,
二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別為3,,1,
故選：A.
2．答案：B
解析：A中圖標既不是軸對稱圖形,也不是中心對稱圖形,故本選項不符合題意；
B中圖標既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形,故本選項符合題意；
C中圖標是軸對稱圖形,但不是中心對稱圖形,故本選項不符合題意；
D中圖標既不是軸對稱圖形,也不是中心對稱圖形,故本選項不符合題意,
故選：B.
3．答案：D
解析：解一元二次方程時,可以運用因式分解法將此方程化為.從而得到兩個一元一次方程：,或.進而得到原方程的解為,,.這種把一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程,解法體現(xiàn)的數(shù)學思想是轉(zhuǎn)化思想.
故選：D.
4．答案：D
解析：∵,二次項系數(shù)為
∴圖象開口向上,
對稱軸為直線,
當時,,即圖象過原點,
∴圖象經(jīng)過第一、第二、三四象限,不經(jīng)過第四象限.
故選：D.
5．答案：C
解析：連接,如圖所示：
A是的中點,
,則,
,
,
故選：C.
6．答案：C
解析：∵菱形的對角線、交于點O,,
∴,,,
∴
∵將繞著點C旋轉(zhuǎn)得到,
∴,,,
∴,
在中,由勾股定理得,
∴點A與點之間的距離為10,故C正確.
故選：C.
7．答案：A
解析：A.,
即：,
,
方程沒有實數(shù)根,
故選項A符合題意；
B.,
,
方程有兩個相等的實數(shù)根,
故選項B不符合題意；
C.,
,
方程有兩個不相等的實數(shù)根,
故選項C不符合題意；
D.,
即：,
,
方程有兩個不相等的實數(shù)根,
故選項D不符合題意；
故選：A.
8．答案：B
解析：將小路平移到邊上,如圖所示：
圖中空白部分即是種植面積為的地方,則,
故選：B.
9．答案：A
解析：如圖,點O圓心,連接、,
由題意可得,,,,
∴,
設(shè)圓的半徑為,則,
∵,
∴,
解得,
∴,
故選：A.
10．答案：C
解析：由拋物線開口方向可知,由拋物線與y軸交點位置可知,
∴,A選項正確,不符合題意；
根據(jù)拋物線的軸對稱性可知拋物線與x軸分別交于和,
∴方程的兩根是,,B選項正確,不符合題意；
拋物線的對稱軸是直線,變形可得,D選項正確,不符合題意；
拋物線的對稱軸是直線,故時,y隨x的增大而增大,時,y隨x的增大而減小,C選項不正確,符合題意.
故選：C.
11．答案：,
解析：∵,
∴或,
∴,；
故答案為：,.
12．答案：55°/55度
解析：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,
∴,
∵,
∴,
故答案為：55°.
13．答案：
解析：二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點,
,解得,則拋物線,
令,則,即,解得,,
,
拋物線開口向上,
當,拋物線在x軸及x軸下方,
不等式的解集是,
故答案為：.
14．答案：3
解析：∵,
∵,拋物線開口向下,
∴當時,y取的最大值,最大值為3.
則鉛球的最大行進高度是,
故答案為：3.
15．答案：
解析：取中點G,連接,如圖所示：
,
在矩形中,對角線,相交于點O,則O是中點,
是的中位線,即,,
在矩形中,,即,
,
,則,
在矩形中,,
四邊形是矩形,即,
,
在中,,,,則由勾股定理可得,
故答案為：.
16．答案：(1)
(2)①二；沒有考慮為0而錯誤地運用等式的基本性質(zhì)2進行變形,②
解析：(1)原方程變形為,這里,,,
∴.
.
,.
(2)①二,沒有考慮為0而錯誤地運用等式的基本性質(zhì)2進行變形.
故答案為：二,沒有考慮為0而錯誤地運用等式的基本性質(zhì)2進行變形.
②原方程可變形為.
移項,得.
分解因式,得.
∴,.
∴,.
故答案為：,.
17．答案：(1),,,,圖見解析
(2)拋物線可由拋物線先向左平移1個單位長度,再向下平移4個單位長度得到(方法不唯一)
(3)
解析：(1)令,則,
解得：,,
點A在點B的左側(cè),
,,
令,則,
,
,
,
二次函數(shù)的大致圖象如下圖所示：
(2),
拋物線可由拋物線先向左平移1個單位長度,再向下平移4個單位長度得到(方法不唯一)；
(3)如圖,直線是該拋物線的對稱軸,其中點E為對稱軸與x軸的交點,
由拋物線的頂點式可知,該拋物線的對稱軸為直線,
,
,,,
,
,
,
,
如圖,連接,則可知：
,
四邊形的面積為.
18．答案：(1)證明見解析
(2)
解析：(1)證明：連接,如圖所示：
∵直徑垂直弦于點E,
∴,
∴,
∴,
又∵F為的中點,經(jīng)過圓心O,
∴,
∴,
∴；
(2)由(1)可知,
∴是等邊三角形,
∴,
連接,如圖所示：
,
在中,,,則由勾股定理可得,
∴.
19．答案：(1)
(2)單位面積大豆應(yīng)種植60株
解析：(1)設(shè)單株的平均產(chǎn)量為y,
由表格可知y隨x的增大而減小,且x每增加10,y減小5,因此y是x的一次函數(shù).
設(shè)y與x的關(guān)系式為,
將,；,代入得
,
解得,
∴y與x的關(guān)系式為：,
單位面積試驗田單株的平均產(chǎn)量粒；
(2)根據(jù)題意可列方程：.
整理,得,
解得.
∵種植60株比種植72株的田間管理少一些,故應(yīng)舍去,
∴.
答：單位面積大豆應(yīng)種植60株.
20．答案：甲、乙兩種水果分別進貨4噸,6噸時獲得的銷售利潤之和最大,最大利潤是萬元
解析：由題意可知,
解得,
∴,
設(shè)乙種水果進貨m噸,則甲種水果進貨噸,10噸水果銷售利潤之和為W萬元,
根據(jù)題意,,
∵,
∴當時,W的最大值為,
∴,
答：甲、乙兩種水果分別進貨4噸,6噸時獲得的銷售利潤之和最大,最大利潤是萬元.
21．答案：(1)描述見解析
(2)是,求解及判斷過程見解析
(3)證明見解析
解析：(1)一元二次方程和關(guān)聯(lián)方程的系數(shù)特征是：二次項系數(shù)、常數(shù)項相同,一次項系數(shù)互為相反數(shù),
一元二次方程和關(guān)聯(lián)方程的根的關(guān)系特征是：對應(yīng)根互為相反數(shù)；
(2)方程和是關(guān)聯(lián)方程,理由如下：
方程和的二次項系數(shù)、常數(shù)項相同,一次項系數(shù)互為相反數(shù),符合(1)中描述的特征,故它們是關(guān)聯(lián)方程；
方程的根是：,,
方程的根是：,,
它們的兩個根對應(yīng)互為相反數(shù),符合根的關(guān)系特征；
(3)證明：一元二次方程(,)的根是：,
它的關(guān)聯(lián)方程的根是：,
它們的兩個根對應(yīng)互為相反數(shù).
22．答案：(1)
(2)噴水池的半徑至少為,才能使噴出的水流都落在水池內(nèi)
(3)王師傅站立時必須在離水池中心點C約至的范圍內(nèi)
解析：(1)根據(jù)題意,構(gòu)造平面直角坐標系如圖所示.
由題意可知,,拋物線的頂點,
設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為,
將點代入,得：
,
解得：,
∴拋物線的解析式為.
(2)由題可知C為噴水池中心,則為噴水池的半徑時,噴出的水都落在水池內(nèi),
,,
∴.
答：噴水池的半徑至少為,才能使噴出的水流都落在水池內(nèi).
(3)當時,,
解得,,
,.
答：王師傅站立時必須在離水池中心點C約至的范圍內(nèi).
23．答案：(1)見解析
(2)
(3)的長為2或或
解析：(1)證明：,理由如下,
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知.
∵D是的中點,
∴,
∴,
∴,
∴；
(2)如圖,連接,
在中,根據(jù)勾股定理可得.
根據(jù)三角形面積公式可得,
由旋轉(zhuǎn)可知.
∴,
在中,根據(jù)勾股定理可得,
在中根據(jù)勾股定理可得
∴點A與點之間的距離為
(3)①當時,
∵,
∴；
②當時,
過點C作交于點E,如圖,
則,
∵,
∴,
∴,
則；
③當時,
∵D是的中點,
∴,
故的長為2或或.
試驗田編號
1
2
3
4
5
6
單位面積試驗田種植株數(shù)/株
30
40
50
60
70
80
單位面積試驗田單株的平均產(chǎn)量/粒
51
46
41
36
31
26
方程及其根
方程及其根
方程及其關(guān)聯(lián)方程
方程的根
方程及其關(guān)聯(lián)方程
方程的根
,
,
,
,

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