1．（3分）一元二次方程x2+2x﹣1＝0的根的情況是（ ）
A．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根
B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
D．沒有實(shí)數(shù)根
2．（3分）如圖，點(diǎn)A，B，C都在⊙O上，∠AOB＝130°，則∠ACB的大小是（ ）
A．50°B．55°C．60°D．65°
3．（3分）用配方法解方程x2+8x+7＝0，則配方正確的是（ ）
A．（x+4）2＝9B．（x﹣4）2＝9C．（x﹣8）2＝16D．（x+8）2＝57
4．（3分）如圖，D是△ABC邊AB上一點(diǎn)，添加一個(gè)條件后，仍不能使△ACD∽△ABC的是（ ）
A．∠ACD＝∠BB．∠ADC＝∠ACBC．D．AC2＝AD?AB
5．（3分）黃金分割被很多人認(rèn)為是“最美比例”，是因?yàn)樗先藗兊囊曈X習(xí)慣和審美心理，能夠創(chuàng)造出更加和諧、平衡和美觀的藝術(shù)作品和產(chǎn)品．在自然界中黃金分割也很常見，如圖是一個(gè)有著“最美比例”的鸚鵡螺，點(diǎn)B是線段AC的黃金分割點(diǎn)，AB＞BC，若AC＝16cm，那么AB的長(zhǎng)為（ ）cm．
A．B．C．D．
6．（3分）如圖，點(diǎn)B、C、D在⊙O上，∠ADB＝30°，A是的中點(diǎn)，若OB＝1，則的長(zhǎng)是（ ）
A．B．C．D．2π
7．（3分）如圖，在直角坐標(biāo)系中，△OCD的頂點(diǎn)為O（0，0），C（﹣4，﹣3），D（﹣3，0），以點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)作△OCD的位似圖形△OAB，位似比為1：3，則點(diǎn)A坐標(biāo)為（ ）
A．（9，9）B．（12，9）C．（9，12）D．（12，12）
8．（3分）如圖是一把折疊椅子及其側(cè)面的示意圖，把一個(gè)簡(jiǎn)易刻度尺與地面AB垂直放置，其中AB與“0”刻度線重合，O點(diǎn)落在“3”刻度線上，CD與“5”刻度線重合，若測(cè)得AB＝50cm，則CD的長(zhǎng)是（ ）
A．30cmB．C．20cmD．
9．（3分）已知線段a，b，c，求作線段x，使，下列作圖中正確的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（3分）我們知道，除三角形外，其他多邊形都不具有穩(wěn)定性．如圖，將正五邊形OABCD的邊AB固定，向右推動(dòng)該正五邊形，使得O為AD的中點(diǎn)，且點(diǎn)A，B，C，D在以點(diǎn)O為圓心的圓上，過點(diǎn)C作⊙O的切線EF，則∠BCF的度數(shù)為（ ）
A．18°B．30°C．36°D．54°
二.填空題（本大題共有6小題，每小題3分，共計(jì)18分．）
11．（3分）如果4a＝5b，那么＝ ．
12．（3分）設(shè)a是方程2x2+x﹣1＝0的一個(gè)根，則3﹣4a2﹣2a的值為 ．
13．（3分）已知圓錐的底面半徑為2cm，母線長(zhǎng)是4cm，則圓錐的側(cè)面積是 cm2（結(jié)果保留π）．
14．（3分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，E為DC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)．若∠BCE＝110°，則∠BOD的度數(shù)為 ．
15．（3分）整式a2+b2﹣8a﹣2b+5的最小值為 ．
16．（3分）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線上，PA＝AB，點(diǎn)D在BC邊上，PD＝PC，則的值是 ．
三、解答題（本大題共有10小題，共計(jì)72分．解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．）
17．（8分）解方程：
（1）5x2﹣3x＝x+1．
（2）3x（x﹣2）＝2（2﹣x）．
18．（6分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+2m﹣7＝0．
（1）求證：該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
（2）已知方程的一個(gè)根為x＝2，求m值及方程的另一根．
19．（6分）如圖，在△ABC中，D，E分別是邊AB，AC上的點(diǎn)，連接DE，且∠ADE＝∠ACB．
（1）求證：△ADE∽△ACB；
（2）若AD＝2DB，AE＝4，AC＝9，求BD的長(zhǎng)．
20．（6分）如圖，在坐標(biāo)系中，A（1，6）、B（5，6）、C（7，4）．
（1）經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的圓弧所在圓的圓心M的坐標(biāo)為 ；
（2）這個(gè)圓的半徑為 ；
（3）直接判斷點(diǎn)D（5，﹣3）與⊙M的位置關(guān)系．點(diǎn)D（5，﹣3）在⊙M ．（填內(nèi)、外、上）
21．（6分）智慧養(yǎng)老，讓老年人享受數(shù)字經(jīng)濟(jì)紅利．近年來，智慧養(yǎng)老成為老齡事業(yè)與產(chǎn)業(yè)發(fā)展的方向之一，廣東省正致力于打造智慧養(yǎng)老的新標(biāo)桿，為老年人提供更加貼心、高效的養(yǎng)老服務(wù)，同時(shí)為數(shù)字經(jīng)濟(jì)的發(fā)展注入新活力．某養(yǎng)老服務(wù)機(jī)構(gòu)8月份為800名老人提供服務(wù)，10月份為1352名老人提供服務(wù)，求該機(jī)構(gòu)9、10月份服務(wù)老人人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率．
22．（6分）學(xué)完圖形變換后，小宛以“正五邊形的變換”為主題開展探究活動(dòng)：
（1）如圖1，將正五邊形紙片ABCDE折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)E重合，折痕為AM，展開后，再將紙片折疊，使邊AB落在線段AM上，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B，折痕為AF，求∠AFB的大?。?br>（2）如圖2，用一些全等的正五邊形按圖示方式拼接，使相鄰的兩個(gè)正五邊形有公共頂點(diǎn)，所夾的銳角為24°，圖中所示的是前3個(gè)正五邊形拼接的情況，若拼接一圈后，中間能形成一個(gè)正多邊形，請(qǐng)直接寫出這個(gè)正多邊形的邊數(shù)．
23．（8分）在Rt△AFD中，∠F＝90°，點(diǎn)B、C分別在AD、FD上，以AB為直徑的半圓O過點(diǎn)C，連接AC，將△AFC沿AC翻折得△AEC，且點(diǎn)E恰好落在直徑AB上．
（1）判斷：直線FC與半圓O的位置關(guān)系是 ；并證明你的結(jié)論．
（2）若OB＝BD＝2，求CE的長(zhǎng)．
24．（8分）
25．（9分）如圖，已知∠PAQ及AP邊上一點(diǎn)C．
（1）尺規(guī)作圖：（保留作圖痕跡，不寫作法）
①作⊙O，使得圓心O在射線AQ上，且⊙O經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，交射線AQ于點(diǎn)B；
②在射線CP上求作點(diǎn)M，使點(diǎn)M到點(diǎn)C的距離與點(diǎn)M到射線AQ的距離相等；
（2）在（1）的條件下，若AC＝4，AB＝5，直接寫出OM的長(zhǎng)＝ ．
26．（9分）“關(guān)聯(lián)”是解決數(shù)學(xué)問題的重要思維方式．角平分線的有關(guān)聯(lián)想就有很多…
【問題提出】
（1）如圖①，PC是△PAB的角平分線，求證：．
請(qǐng)根據(jù)小明或小紅的思路，選擇一種并完成證明．
【嘗試應(yīng)用】
（2）如圖②，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是邊AB上一點(diǎn)，連結(jié)CD，將△ACD沿CD所在直線折疊，使點(diǎn)A恰好落在邊BC的中點(diǎn)E處．若DE＝5，求AC的長(zhǎng)．
【拓展提高】
（3）如圖③，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD為∠BAC的角平分線．AD的垂直平分線EF交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接AF，當(dāng)BD＝3時(shí)，AF的長(zhǎng)為 ．
2024-2025學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江市丹陽(yáng)市華南實(shí)驗(yàn)教育集團(tuán)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一．選擇題（本大題共有10小題，每小題3分，共計(jì)30分，在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中恰有一項(xiàng)符合題目要求．）
1．（3分）一元二次方程x2+2x﹣1＝0的根的情況是（ ）
A．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根
B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
D．沒有實(shí)數(shù)根
【分析】根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，可得出Δ＝8＞0，進(jìn)而可得出一元二次方程x2+2x﹣1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
【解答】解：∵a＝1，b＝2，c＝﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，
∴一元二次方程x2+2x﹣1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式，牢記“當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．
2．（3分）如圖，點(diǎn)A，B，C都在⊙O上，∠AOB＝130°，則∠ACB的大小是（ ）
A．50°B．55°C．60°D．65°
【分析】利用圓周角定理計(jì)算即可．
【解答】解：∵∠ACB＝∠AOB，∠AOB＝130°，
∴∠ACB＝65°．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓周角定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．
3．（3分）用配方法解方程x2+8x+7＝0，則配方正確的是（ ）
A．（x+4）2＝9B．（x﹣4）2＝9C．（x﹣8）2＝16D．（x+8）2＝57
【分析】本題可以用配方法解一元二次方程，首先將常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右側(cè)，將等號(hào)左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，即可將等號(hào)左邊的代數(shù)式寫成完全平方形式．
【解答】解：∵x2+8x+7＝0，
∴x2+8x＝﹣7，
?x2+8x+16＝﹣7+16，
∴（x+4）2＝9．
∴故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查配方法的一般步驟：
①把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊；
②把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1；
③等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．
選擇用配方法解一元二次方程時(shí)，最好使方程的二次項(xiàng)的系數(shù)為1，一次項(xiàng)的系數(shù)是2的倍數(shù)．
4．（3分）如圖，D是△ABC邊AB上一點(diǎn)，添加一個(gè)條件后，仍不能使△ACD∽△ABC的是（ ）
A．∠ACD＝∠BB．∠ADC＝∠ACBC．D．AC2＝AD?AB
【分析】直接利用相似三角形的判定方法分別分析得出答案．
【解答】解：A、當(dāng)∠ACD＝∠B時(shí)，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此選項(xiàng)不合題意；
B、當(dāng)∠ADC＝∠ACB時(shí)，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此選項(xiàng)不合題意；
C、當(dāng)時(shí)，無法得出△ACD∽△ABC，故此選項(xiàng)符合題意；
D、當(dāng)AC2＝AD?AB時(shí)，即，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此選項(xiàng)不合題意；
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相似三角形的判定，正確掌握相似三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．
5．（3分）黃金分割被很多人認(rèn)為是“最美比例”，是因?yàn)樗先藗兊囊曈X習(xí)慣和審美心理，能夠創(chuàng)造出更加和諧、平衡和美觀的藝術(shù)作品和產(chǎn)品．在自然界中黃金分割也很常見，如圖是一個(gè)有著“最美比例”的鸚鵡螺，點(diǎn)B是線段AC的黃金分割點(diǎn)，AB＞BC，若AC＝16cm，那么AB的長(zhǎng)為（ ）cm．
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)黃金分割的定義得到AB＝AC，把AC＝16代入計(jì)算即可得到答案．
【解答】解：∵點(diǎn)B是線段AC的黃金分割點(diǎn)（AB＞BC），
∴AB＝AC，
∵AC＝16，
∴AB＝×16＝8﹣8，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了黃金分割的有關(guān)計(jì)算，掌握黃金分割的定義是解決本題的關(guān)鍵．
6．（3分）如圖，點(diǎn)B、C、D在⊙O上，∠ADB＝30°，A是的中點(diǎn)，若OB＝1，則的長(zhǎng)是（ ）
A．B．C．D．2π
【分析】連接OA，由圓周角定理得∠AOB＝2∠ADB＝60°，由＝，求出∠BCD＝120°，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．
【解答】解：如圖，連接OA，
∵∠ADB＝30°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝60°，
∵A是的中點(diǎn)，
∴＝，
∴∠AOC＝∠AOB＝60°，
∴∠BOC＝120°，
∴的長(zhǎng)為＝π．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查弧長(zhǎng)的計(jì)算和圓周角定理，關(guān)鍵是由圓周角定理得到∠BOC＝120°和熟練掌握弧長(zhǎng)公式．
7．（3分）如圖，在直角坐標(biāo)系中，△OCD的頂點(diǎn)為O（0，0），C（﹣4，﹣3），D（﹣3，0），以點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)作△OCD的位似圖形△OAB，位似比為1：3，則點(diǎn)A坐標(biāo)為（ ）
A．（9，9）B．（12，9）C．（9，12）D．（12，12）
【分析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)計(jì)算即可．
【解答】解：以點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)作△OCD的位似圖形△OAB，位似比為1：3，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣4，﹣3），
則點(diǎn)A坐標(biāo)為（﹣4×（﹣3），（﹣3）×（﹣3）），即（12，9），
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是位似變換，在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或﹣k．
8．（3分）如圖是一把折疊椅子及其側(cè)面的示意圖，把一個(gè)簡(jiǎn)易刻度尺與地面AB垂直放置，其中AB與“0”刻度線重合，O點(diǎn)落在“3”刻度線上，CD與“5”刻度線重合，若測(cè)得AB＝50cm，則CD的長(zhǎng)是（ ）
A．30cmB．C．20cmD．
【分析】證明△COD∽△BOA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)“相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比”列式計(jì)算即可求解．
【解答】解：根據(jù)題意得CD∥AB，
∴△COD∽△BOA，
∴，
∵AB＝50cm，
∴，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是關(guān)鍵．
9．（3分）已知線段a，b，c，求作線段x，使，下列作圖中正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】利用圖形得比例線段，再與已知式作對(duì)比，可以得出結(jié)論．
【解答】解：A、由圖可得，即且x是所求線段，所以圖形不能畫出，故此選項(xiàng)不符合題意；
B、由圖可得，即且x是所求線段，所以圖形不能畫出，故此選項(xiàng)不符合題意；
C、由圖可得，即，所以圖形不能畫出，故此選項(xiàng)不符合題意；
D、由圖可得，即，所以圖形能畫出，故此選項(xiàng)符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例線段，解題的關(guān)鍵是掌握比例線段的性質(zhì)．
10．（3分）我們知道，除三角形外，其他多邊形都不具有穩(wěn)定性．如圖，將正五邊形OABCD的邊AB固定，向右推動(dòng)該正五邊形，使得O為AD的中點(diǎn)，且點(diǎn)A，B，C，D在以點(diǎn)O為圓心的圓上，過點(diǎn)C作⊙O的切線EF，則∠BCF的度數(shù)為（ ）
A．18°B．30°C．36°D．54°
【分析】連接OC，OB，根據(jù)正五邊形的性質(zhì)得到∠BOC＝60°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OCB＝∠OBC＝（180°﹣60°）＝60°，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OCF＝90°，于是得到結(jié)論．
【解答】解：連接OC，OB，
∵五邊形OABCD的正五邊形，
∴AB＝BC＝CD，
∴，
∵AD是⊙O的直徑，
∴∠AOB＝∠COD＝∠BOC＝，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC＝（180°﹣60°）＝60°，
∵點(diǎn)C作⊙O的切線EF，
∴∠OCF＝90°，
∴∠BCF＝90°﹣60°＝30°，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正多邊形與圓，切線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，正確地找出輔助線是解題的關(guān)鍵．
二.填空題（本大題共有6小題，每小題3分，共計(jì)18分．）
11．（3分）如果4a＝5b，那么＝ ．
【分析】先根據(jù)4a＝5b得到b＝a，再代入所求式子中求解即可．
【解答】解：∵4a＝5b，
∴，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
12．（3分）設(shè)a是方程2x2+x﹣1＝0的一個(gè)根，則3﹣4a2﹣2a的值為 1 ．
【分析】由a是方程2x2+x﹣1＝0的一個(gè)根，可得出2a2+a＝1，再將其代入原式＝3﹣2（2a2+a）中，即可求出結(jié)論．
【解答】解：∵a是方程2x2+x﹣1＝0的一個(gè)根，
∴2a2+a﹣1＝0，
∴2a2+a＝1，
∴原式＝3﹣2（2a2+a）＝3﹣2×1＝1．
故答案為：1．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查一元二次方程的根以及代數(shù)式求值，牢記“把方程的解代入原方程，等式左右兩邊相等”是解題的關(guān)鍵．
13．（3分）已知圓錐的底面半徑為2cm，母線長(zhǎng)是4cm，則圓錐的側(cè)面積是 8π cm2（結(jié)果保留π）．
【分析】圓錐的側(cè)面積＝底面周長(zhǎng)×母線長(zhǎng)÷2．
【解答】解：底面圓的半徑為2，則底面周長(zhǎng)＝4π，側(cè)面面積＝×4π×4＝8π（cm2）．
故答案為：8π．
【點(diǎn)評(píng)】本題利用了圓的周長(zhǎng)公式和扇形面積公式求解．
14．（3分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，E為DC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)．若∠BCE＝110°，則∠BOD的度數(shù)為 140° ．
【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求出∠BCD，再根據(jù)圓周角定理計(jì)算即可．
【解答】解：∵∠BCE＝110°，
∴∠BCD＝180°﹣110°＝70°，
由圓周角定理得：∠BOD＝2∠BCD＝140°，
故答案為：140°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形，掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵．
15．（3分）整式a2+b2﹣8a﹣2b+5的最小值為 ﹣12 ．
【分析】先分組，然后運(yùn)用配方法得到（a﹣4）2+（b﹣1）2﹣12，最后利用偶次方的非負(fù)性得到最小值．
【解答】解：a2+b2﹣8a﹣2b+5，
＝a2﹣8a+b2﹣2b+5，
＝（a2﹣8a+16）+（b2﹣2b+1）+5﹣17，
＝（a﹣4）2+（b﹣1）2﹣12，
∵（a﹣4）2≥0，（b﹣1）2≥0，
∴當(dāng)a＝4，b＝1時(shí)，原式有最小值，最小值為﹣12．
故答案為：﹣12．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查配方法的應(yīng)用和偶次方的非負(fù)性，正確運(yùn)用該配方法是解答本題的關(guān)鍵．
16．（3分）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線上，PA＝AB，點(diǎn)D在BC邊上，PD＝PC，則的值是 ．
【分析】過點(diǎn)P作PE∥AC交DC延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，根據(jù)等腰三角形判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)可證PB＝PE，再證△PCE≌△PDB，可得BD＝CE，再利用平行線分線段成比例的，結(jié)合線段的等量關(guān)系以及比例的性質(zhì)即可得出結(jié)論．
【解答】解：如圖，過點(diǎn)P作PE∥AC交DC延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵AC∥PE，
∴∠ACB＝∠E，
∴∠B＝∠E，
∴PB＝PE，
∵PC＝PD，
∴∠PDC＝∠PCD，
∴∠BPD＝∠EPC，
∴在△PCE和△PDB中，
，
∴△PCE≌△PDB（SAS），
∴BD＝CE，
∵AC∥PE，
∴，
∵PA＝AB，
∴，
∴，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例，以及全等三角形的判定，解決問題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，列出比例式．
三、解答題（本大題共有10小題，共計(jì)72分．解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．）
17．（8分）解方程：
（1）5x2﹣3x＝x+1．
（2）3x（x﹣2）＝2（2﹣x）．
【分析】（1）先將一元二次根式變?yōu)橐话阈问?，然后用公式法解方程即可?br>（2）先移項(xiàng)，再用因式分解法解方程即可．
【解答】解：（1）原方程化為5x2﹣4x﹣1＝0，
∵a＝5，b＝﹣4，c＝﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×5×（﹣1）＝36＞0，
∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
即x1＝1，；
（2）原方程可化為3x（x﹣2）+2（x﹣2）＝0，
∴（3x+2）（x﹣2）＝0，
∴x1＝2，．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的一般步驟是解題的關(guān)鍵．
18．（6分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+2m﹣7＝0．
（1）求證：該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
（2）已知方程的一個(gè)根為x＝2，求m值及方程的另一根．
【分析】（1）根據(jù)題意只需要證明Δ＝m2﹣4（2m﹣7）＞0即可；
（2）一元二次方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，據(jù)此把x＝2代入原方程求出m的值，進(jìn)而根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出另一個(gè)根即可．
【解答】（1）證明：∵關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+2m﹣7＝0，
∴Δ＝m2﹣4（2m﹣7）
＝m2﹣8m+28
＝（m2﹣8m+16）+12
＝（m﹣4）2+12，
∵（m﹣4）2≥0，
∴（m﹣4）2+12＞0，
∴該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）解：把x＝2代入x2+mx+2m﹣7＝0得：22+2m+2m﹣7＝0，
解得，
∴原方程為，
設(shè)另一個(gè)根為x1，
∴，
∴，即另一個(gè)根為．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程的解的定義．
19．（6分）如圖，在△ABC中，D，E分別是邊AB，AC上的點(diǎn)，連接DE，且∠ADE＝∠ACB．
（1）求證：△ADE∽△ACB；
（2）若AD＝2DB，AE＝4，AC＝9，求BD的長(zhǎng)．
【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定即可求出證．
（2）設(shè)BD＝x，則AD＝2x，AB＝3x，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可知＝，從而列出方程解出x的值．
【解答】（1）證明：∵∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB；
（2）解：由（1）可知：△ADE∽△ACB，
∴＝，
設(shè)BD＝x，則AD＝2x，AB＝3x，
∵AE＝4，AC＝9，
∴＝，
解得：x＝（負(fù)值舍去），
∴BD的長(zhǎng)是．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)與判定，本題屬于中等題型．
20．（6分）如圖，在坐標(biāo)系中，A（1，6）、B（5，6）、C（7，4）．
（1）經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的圓弧所在圓的圓心M的坐標(biāo)為 （3，2） ；
（2）這個(gè)圓的半徑為 ；
（3）直接判斷點(diǎn)D（5，﹣3）與⊙M的位置關(guān)系．點(diǎn)D（5，﹣3）在⊙M 外 ．（填內(nèi)、外、上）
【分析】（1）AB的垂直平分線所在直線為x＝2，可知圓心M在直線x＝3上，設(shè)M（3，m），根據(jù)MA＝MC，可求M點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）由（1）求出MA＝，即可求圓的半徑；
（3）根據(jù)MD＝2＞，即可判斷D點(diǎn)位置．
【解答】解：（1）∵A（1，6）、B（5，6），
∴AB的垂直平分線所在直線為x＝3，
∴圓心M在直線x＝3上，
設(shè)M（3，m），
∴MA＝MC，
∴4+（m﹣6）2＝16+（m﹣4）2，
解得m＝2，
∴M（3，2），
故答案為：（3，2）；
（2）∵M(jìn)（3，2），
∴MA＝，
故答案為：；
（3）∵D（5，﹣3），M（3，2），
∴MD＝2＞，
∴點(diǎn)D（5，﹣3）在⊙M外，
故答案為：外．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的外接圓與外心，熟練掌握同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
21．（6分）智慧養(yǎng)老，讓老年人享受數(shù)字經(jīng)濟(jì)紅利．近年來，智慧養(yǎng)老成為老齡事業(yè)與產(chǎn)業(yè)發(fā)展的方向之一，廣東省正致力于打造智慧養(yǎng)老的新標(biāo)桿，為老年人提供更加貼心、高效的養(yǎng)老服務(wù)，同時(shí)為數(shù)字經(jīng)濟(jì)的發(fā)展注入新活力．某養(yǎng)老服務(wù)機(jī)構(gòu)8月份為800名老人提供服務(wù)，10月份為1352名老人提供服務(wù)，求該機(jī)構(gòu)9、10月份服務(wù)老人人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率．
【分析】根據(jù)題意列出方程，解方程，即可求解．
【解答】解：設(shè)該機(jī)構(gòu)兩個(gè)月平均增長(zhǎng)率為x．根據(jù)題意得：
（1+x）2＝，
解得x1＝0.3，x2＝﹣2.3 （不合題意，舍去）．
答：該機(jī)構(gòu)9、10月份服務(wù)老人人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為30%．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，理解題意是關(guān)鍵．
22．（6分）學(xué)完圖形變換后，小宛以“正五邊形的變換”為主題開展探究活動(dòng)：
（1）如圖1，將正五邊形紙片ABCDE折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)E重合，折痕為AM，展開后，再將紙片折疊，使邊AB落在線段AM上，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B，折痕為AF，求∠AFB的大?。?br>（2）如圖2，用一些全等的正五邊形按圖示方式拼接，使相鄰的兩個(gè)正五邊形有公共頂點(diǎn)，所夾的銳角為24°，圖中所示的是前3個(gè)正五邊形拼接的情況，若拼接一圈后，中間能形成一個(gè)正多邊形，請(qǐng)直接寫出這個(gè)正多邊形的邊數(shù)．
【分析】（1）根據(jù)正五邊形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）根據(jù)拼圖和周角的定義求出正多邊形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，進(jìn)而求出外角的度數(shù)，再根據(jù)外角和是360°確定正多邊形的邊數(shù)．
【解答】解：（1）如圖1，∵五邊形ABCDE是正五邊形，
∴∠BAE＝∠B＝＝108°，
由題意可知，AM所在的直線是正五邊形的對(duì)稱軸，
∴∠BAM＝∠EAM＝∠BAE＝54°，
由翻折的性質(zhì)可知，
∠BAF＝∠B′AF＝∠BAM＝27°，
∴∠AFB＝180°﹣108°﹣27°＝45°；
（2）由題意可知，所得到的正多邊形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為360°﹣108°﹣108°﹣24°＝120°，
則這個(gè)正多邊形的外角為180°﹣120°＝60°，
所以這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為＝6，
即這個(gè)正多邊形是正六邊形．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查正多邊形和圓，翻折的性質(zhì)，掌握正五邊形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)以及正多邊形的外角和是360°是正確解答的關(guān)鍵．
23．（8分）在Rt△AFD中，∠F＝90°，點(diǎn)B、C分別在AD、FD上，以AB為直徑的半圓O過點(diǎn)C，連接AC，將△AFC沿AC翻折得△AEC，且點(diǎn)E恰好落在直徑AB上．
（1）判斷：直線FC與半圓O的位置關(guān)系是 相切 ；并證明你的結(jié)論．
（2）若OB＝BD＝2，求CE的長(zhǎng)．
【分析】（1）根據(jù)切線的判定定理證明∠F＝∠OCD＝90°，即可得出FC與⊙O相切；
（2）利用∠COD＝60°，得出CE＝OC?sin∠COD進(jìn)而求出．
【解答】解：（1）直線FC與⊙O的位置關(guān)系是相切；
證明：連接OC
∵OA＝OC，∴∠1＝∠2，
由翻折得，∠1＝∠3，∠F＝∠AEC＝90°
∴∠3＝∠2，
∴OC∥AF，
∴∠F＝∠OCD＝90°，
∴FC與⊙O相切；
（2）在Rt△OCD中，cs∠COD＝
∴∠COD＝60°，
在Rt△OCD中，CE＝OC?sin∠COD＝．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系以及解直角三角形等知識(shí)，切線的判定定理是初中階段最重要的定理之一同學(xué)們應(yīng)熟練掌握．
24．（8分）
【分析】初步應(yīng)用：設(shè)剪去小正方形的邊長(zhǎng)為x cm，則折成的無蓋長(zhǎng)方體儲(chǔ)物盒的底面為長(zhǎng)（50﹣2x）cm，寬為（40﹣2x）cm的矩形，根據(jù)儲(chǔ)物盒的底面積是816cm2，可列出關(guān)于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再將其符合題意的值代入816x中，即可求出結(jié)論；
儲(chǔ)物收納：設(shè)ME＝y(tǒng) cm，則折成的有蓋的長(zhǎng)方體儲(chǔ)物盒的底面為長(zhǎng)（50﹣y）cm，寬為（40﹣2y）cm的矩形，根據(jù)儲(chǔ)物盒的底面積為800cm2，可列出關(guān)于y的一元二次方程，解之可得出y的值（即折成的有蓋的長(zhǎng)方體儲(chǔ)物盒的高），取其符合題意的值代入（50﹣y）及（40﹣2y）中，可得出折成的有蓋的長(zhǎng)方體儲(chǔ)物盒的長(zhǎng)及寬，再對(duì)比玩具攀爬小火車的尺寸，即可得出結(jié)論．
【解答】解：初步應(yīng)用：設(shè)剪去小正方形的邊長(zhǎng)為x cm，則折成的無蓋長(zhǎng)方體儲(chǔ)物盒的底面為長(zhǎng)（50﹣2x）cm，寬為（40﹣2x）cm的矩形，
根據(jù)題意得：（50﹣2x）（40﹣2x）＝816，
整理得：x2﹣45x+296＝0，
解得：x1＝8，x2＝37（不符合題意，舍去），
∴816x＝816×8＝6528．
答：這個(gè)儲(chǔ)物盒的容積為6528cm3；
儲(chǔ)物收納：設(shè)ME＝y(tǒng) cm，則折成的有蓋的長(zhǎng)方體儲(chǔ)物盒的底面為長(zhǎng)＝（50﹣y）cm，寬為（40﹣2y）cm的矩形，
根據(jù)題意得：（50﹣y）（40﹣2y）＝800，
整理得：y2﹣70y+600＝0，
解得：y1＝10，y2＝60（不符合題意，舍去），
∴50﹣y＝50﹣10＝40，40﹣2y＝40﹣2×10＝20，
∴折成的有蓋的長(zhǎng)方體儲(chǔ)物盒的長(zhǎng)為40cm，寬為20cm，高為10cm．
又∵40＞35，20＞15，10＜16，
∴這個(gè)玩具不能完全放入該儲(chǔ)物盒．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
25．（9分）如圖，已知∠PAQ及AP邊上一點(diǎn)C．
（1）尺規(guī)作圖：（保留作圖痕跡，不寫作法）
①作⊙O，使得圓心O在射線AQ上，且⊙O經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，交射線AQ于點(diǎn)B；
②在射線CP上求作點(diǎn)M，使點(diǎn)M到點(diǎn)C的距離與點(diǎn)M到射線AQ的距離相等；
（2）在（1）的條件下，若AC＝4，AB＝5，直接寫出OM的長(zhǎng)＝ ．
【分析】（1）作AC的垂直平分線交AQ于點(diǎn)O．
（2）作AC的垂直平分線交AQ于點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心，OC為半徑畫圓交AQ于點(diǎn)B，作∠CBQ的角平分線交AP于點(diǎn)M，點(diǎn)M即為所求；
（3）根據(jù)三角形相似是性質(zhì)和勾股定理求解．
【解答】解：（1）①⊙O即為所求；
②點(diǎn)M即為所求；
（2）過點(diǎn)M作MH⊥AQ于點(diǎn)H，
∵AB為直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝＝3，
∵∠BAC＝∠MAH，∴△BAC∽△MAN，
∴＝，即：，
解得：MH＝6，AH＝8，
∴OH＝AH﹣AO＝5.5，
在Rt△OHM中，OM＝＝，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)雜作圖，掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
26．（9分）“關(guān)聯(lián)”是解決數(shù)學(xué)問題的重要思維方式．角平分線的有關(guān)聯(lián)想就有很多…
【問題提出】
（1）如圖①，PC是△PAB的角平分線，求證：．
請(qǐng)根據(jù)小明或小紅的思路，選擇一種并完成證明．
【嘗試應(yīng)用】
（2）如圖②，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是邊AB上一點(diǎn)，連結(jié)CD，將△ACD沿CD所在直線折疊，使點(diǎn)A恰好落在邊BC的中點(diǎn)E處．若DE＝5，求AC的長(zhǎng)．
【拓展提高】
（3）如圖③，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD為∠BAC的角平分線．AD的垂直平分線EF交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接AF，當(dāng)BD＝3時(shí)，AF的長(zhǎng)為 6 ．
【分析】（1）選擇小明的思路：過點(diǎn)BD∥AP交PC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，證明△ACP∽△BCD，列出比例式，根據(jù)角平分線的定義即可得證；選擇小紅的思路：過點(diǎn)C分別作CD⊥PA交PA于點(diǎn)D，作CE⊥PB交PB于點(diǎn)E，作PF⊥BC于點(diǎn)F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)及三角形的面積公式，即可得證；
（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)求出AB，BC，利用勾股定理即可解答；
（3）根據(jù)角平分線的性質(zhì)及線段垂直平分線的性質(zhì)，證明△FBA∽△FAC，列出比例式，即可解答．
【解答】（1）證明：選擇小明的思路：
如圖，過點(diǎn)BD∥AP交PC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，
∵BD∥AP，
∴∠APC＝∠D，
又∵∠ACP＝∠BCD，
∴△ACP∽△BCD，
∴，
∵PC是△PAB的角平分線，
∴∠APC＝∠BPC，
∴∠BPC＝∠D，
∴PB＝BD，
∴；
選擇小紅的思路：
如圖，過點(diǎn)C分別作CD⊥PA交PA于點(diǎn)D，作CE⊥PB交PB于點(diǎn)E，作PF⊥BC于點(diǎn)F，
∵PC是△PAB的角平分線，
∴CD＝CE，
∴，，，，
∴BC?PF＝PB?CE，PA?CD＝AC?PF，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由折疊知AD＝DE＝5，CE＝AC，
∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，
∴BC＝2CE＝2AC，
由折疊知CD是∠ACB的角平分線，
∴，
∴，
∴BD＝2AD＝10，
∴AB＝AD+BD＝15，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，
∴AC2+（2AC）2＝152，
∴；
（3）解：∵AD為∠BAC的角平分線，
∴，∠BAD＝∠DAC，
∵△ABC中，AB＝6，AC＝4，BD＝3，
∴，
∴CD＝2，
∵AD的垂直平分線EF交BC延長(zhǎng)線于F，
∴AF＝DF，
∴∠FAD＝∠FDA，
∵∠FAD＝∠FAC+∠DAC，∠FDA＝∠B+∠BAD，
∴∠B＝∠FAC，
∵∠AFB＝∠CFA，
∴△FBA∽△FAC，
∴，
∴，
∴AF＝6，
故答案為：6．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似形綜合應(yīng)用，主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，角平分線的定義，勾股定理，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
如何利用閑置紙板箱制作儲(chǔ)物盒
準(zhǔn)備素材
小明收集到閑置紙板箱如圖①所示．將其拆解出的如圖②和圖③兩種矩形紙板，兩種紙板的長(zhǎng)和寬如圖所示．
設(shè)計(jì)方案
小明分別將圖②和圖③兩種矩形紙板以不同的方式制作儲(chǔ)物盒．
圖②矩形紙板的制作方式
圖③矩形紙板的制作方式
如圖④，裁去紙板角上4個(gè)相同的小正方形，折成一個(gè)無蓋長(zhǎng)方體儲(chǔ)物盒．
如圖⑤，將紙板四個(gè)角裁去4個(gè)相同的小矩形，折成一個(gè)有蓋的長(zhǎng)方體儲(chǔ)物盒．
目標(biāo)達(dá)成
小明利用兩種不同的制作方式進(jìn)一步探究．
初步應(yīng)用
小明按照矩形紙板②的制作方式，制作了如圖④所示的儲(chǔ)物盒的底面積是816cm2，求這個(gè)儲(chǔ)物盒的容積．
儲(chǔ)物收納
小明按照矩形紙板③的制作方式，制作了如圖⑤所示儲(chǔ)物盒，若EF和HG兩邊恰好重合且無重疊部分，盒子的底面積為800cm2．小明家里一個(gè)玩具攀爬小火車的實(shí)物圖和尺寸大小如圖⑥所示，通過計(jì)算判斷這個(gè)玩具能否完全放入該儲(chǔ)物盒．

小明思路：關(guān)聯(lián)“平行線、等腰三角形”，過點(diǎn)B作BD∥PA，交PC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，利用“三角形相似”．
小紅思路：關(guān)聯(lián)“角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等”，過點(diǎn)C分別作CD⊥PA交PA于點(diǎn)D，作CE⊥PB交PB于點(diǎn)E，利用“等面積法”．
如何利用閑置紙板箱制作儲(chǔ)物盒
準(zhǔn)備素材
小明收集到閑置紙板箱如圖①所示．將其拆解出的如圖②和圖③兩種矩形紙板，兩種紙板的長(zhǎng)和寬如圖所示．
設(shè)計(jì)方案
小明分別將圖②和圖③兩種矩形紙板以不同的方式制作儲(chǔ)物盒．
圖②矩形紙板的制作方式
圖③矩形紙板的制作方式
如圖④，裁去紙板角上4個(gè)相同的小正方形，折成一個(gè)無蓋長(zhǎng)方體儲(chǔ)物盒．
如圖⑤，將紙板四個(gè)角裁去4個(gè)相同的小矩形，折成一個(gè)有蓋的長(zhǎng)方體儲(chǔ)物盒．
目標(biāo)達(dá)成
小明利用兩種不同的制作方式進(jìn)一步探究．
初步應(yīng)用
小明按照矩形紙板②的制作方式，制作了如圖④所示的儲(chǔ)物盒的底面積是816cm2，求這個(gè)儲(chǔ)物盒的容積．
儲(chǔ)物收納
小明按照矩形紙板③的制作方式，制作了如圖⑤所示儲(chǔ)物盒，若EF和HG兩邊恰好重合且無重疊部分，盒子的底面積為800cm2．小明家里一個(gè)玩具攀爬小火車的實(shí)物圖和尺寸大小如圖⑥所示，通過計(jì)算判斷這個(gè)玩具能否完全放入該儲(chǔ)物盒．

小明思路：關(guān)聯(lián)“平行線、等腰三角形”，過點(diǎn)B作BD∥PA，交PC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，利用“三角形相似”．
小紅思路：關(guān)聯(lián)“角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等”，過點(diǎn)C分別作CD⊥PA交PA于點(diǎn)D，作CE⊥PB交PB于點(diǎn)E，利用“等面積法”．

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江蘇省鹽城市大豐區(qū)實(shí)驗(yàn)初中教育集團(tuán)聯(lián)考2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期10月期中考試數(shù)學(xué)試題

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江蘇省鎮(zhèn)江市丹陽(yáng)市華南實(shí)驗(yàn)學(xué)校2023-2024學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題(無答案)

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