1．（3分）下面的交通標志中，軸對稱圖形是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）若a＞b，則下列不等式中成立的是（ ）
A．a﹣5＜b﹣5B．C．a+5＞b+5D．﹣a＞﹣b
3．（3分）對于命題“如果x2＞0，那么x＞0．”能夠說明它是假命題的反例是（ ）
A．x＝﹣1B．x＝0C．x＝1D．x＝0.5
4．（3分）若三角形兩邊長分別是5和8，則第三邊長可能是（ ）
A．1B．3C．8D．13
5．（3分）如圖，線段AD與BC相交于點O，OA＝OC，OB＝OD，連結AB，CD，不添加輔助線，判定△ABO≌△CDO的依據(jù)是（ ）
A．SSSB．SASC．AASD．ASA
6．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，則∠A的度數(shù)是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
7．（3分）如圖，在△ABC中，∠ACB的平分線CD交AB于點D，DE∥BC，若DE＝8，則線段CE的長度是（ ）
A．4B．8C．12D．16
8．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的中線，若∠A＝26°，則∠BDC的度數(shù)是（ ）
A．50°B．51°C．52°D．53°
9．（3分）如圖，在△ABC中，分別以點A，C為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧分別交于點E，F(xiàn)，直線EF分別交AC與BC于點D和G，連結AG，若AD＝2，△ABG的周長為9，則△ABC的周長是（ ）
A．12B．13C．14D．15
10．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝8，AD是△ABC的角平分線，E，F(xiàn)分別在AC，AB邊上．AF＝4，AE＝6，連結DF，DE．若DE＝DF，則△ABC的面積是（ ）
A．B．24C．30D．
二、填空題（本題有8小題，每小題4分，共32分）
11．（4分）“x的3倍與5的差不大于9”用不等式表示為 ．
12．（4分）命題“如果a＝1，那么|a|＝1．”的逆命題為 ．
13．（4分）若△ABC≌△DEF，A與D，B與E分別是對應頂點，∠A＝50°，∠B＝70°，則∠F＝ °．
14．（4分）等腰三角形的兩條邊長分別為3和4，則這個等腰三角形的周長是 ．
15．（4分）如圖，已知△ABC≌△DAE，A與D，C與E分別是對應頂點，點E在線段AC上，BC＝4，DE＝10，則CE的長為 ．
16．（4分）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，分別以線段AB，BD，DC，CA為邊向外作正方形，其中3個正方形的面積如圖所示，則第四個正方形的面積為 ．
17．（4分）如圖，在△ABC中，AB＝BC，由圖中的尺規(guī)作圖得到射線BD，BD與AC交于點E，點F為BC的中點，連接EF，若BE＝AC＝2，則EF的長為 ．
18．（4分）如圖，等邊三角形ABC的邊長為6，點O是△ABC的中心，∠FOG＝120°，繞點O旋轉∠FOG，分別交線段AB、BC于D、E兩點，連接DE，則△BDE周長的最小值為 ．
三、填空題（本題有6小題，共58分）
19．（8分）解下列不等式，并把解表示在數(shù)軸上．
（1）9x﹣1＜4x+9；
（2）﹣3x﹣5≤2（2+3x）．
20．（8分）已知：如圖，點E，F(xiàn)在線段BC上，BF＝CE，AB＝DC，AE＝DF．
（1）求證：△ABE≌△DCF；
（2）若∠AEB＝40°，求∠AOF的度數(shù)．
21．（6分）
22．（10分）近期，國風礦物質顏料在網絡上大火，引得各繪畫愛好者爭先購買．其中“巖灰”和“石綠”風靡一時，1瓶“巖灰”和1瓶“石綠”總價100元，“石綠”比“巖灰”單價高40元．
（1）分別求出“巖灰”和“石綠”的銷售單價；
（2）某同學欲購買兩種顏料共10瓶，預算資金不超過400元，則該同學最多可以購買多少瓶“石綠”？
23．（12分）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，連接BD，點E在線段BD上，連結CE，∠1＝∠2，AB＝EC．
（1）求證：△ABD≌△ECB．
（2）若∠1＝20°，∠ADB＝25°．
①求∠DEC的度數(shù)．
②當，DE＝2時，求△CDE的面積．
24．（14分）如圖1，P是等邊△ABC內一點，連結AP，BP．將線段BP繞點B順時針旋轉60°得到線段BP′，連結CP'．
（1）求證：△APB≌△CP′B．
（2）如圖2，連結CP，PP′．
①當∠APB＝130°，且△CP′P為等腰三角形時，求出∠CPB的度數(shù)．
②當PB＝2，AB＝6，且PB∥CP′時，請直接寫出點A到點P′的距離．
2024-2025學年浙江省溫州市第二中學八年級（上）期中數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本題有10小題，每小題3分，共30分）
1．（3分）下面的交通標志中，軸對稱圖形是（ ）
A．B．C．D．
【分析】平面內，如果一個圖形沿一條直線對折，直線兩旁的部分能夠完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線就是這個圖形的對稱軸，據(jù)此解答即可．
【解答】解：C是軸對稱圖形，A、B、D不是軸對稱圖形；
故選：C．
【點評】此題考查了軸對稱圖形，掌握軸對稱圖形的定義是解題的關鍵．
2．（3分）若a＞b，則下列不等式中成立的是（ ）
A．a﹣5＜b﹣5B．C．a+5＞b+5D．﹣a＞﹣b
【分析】根據(jù)不等式的性質逐一判斷即可得到答案．
【解答】解：A、∵a＞b，∴a﹣5＞b﹣5，故此選項不符合題意；
B、∵a＞b，∴，故此選項不符合題意；
C、∵a＞b，∴a+5＞b+5，故此選項符合題意；
D、∵a＞b，∴﹣a＜﹣b，故此選項不符合題意；
故選：C．
【點評】本題考查了不等式的性質，不等式兩邊都乘以或除以同一個負數(shù)，不等號的方向改變是解題關鍵．
3．（3分）對于命題“如果x2＞0，那么x＞0．”能夠說明它是假命題的反例是（ ）
A．x＝﹣1B．x＝0C．x＝1D．x＝0.5
【分析】滿足條件，但不能得出結論的即為說明命題是假命題的反例．
【解答】解：當x＝﹣1時，滿足條件x2＞0，但不能得出x＞0的結論，
故能說明命題“如果x2＞0，那么x＞0”是假命題的反例是x＝﹣1，
故選：A．
【點評】本題考查反證法，解此題關鍵要懂得反證法的意義及步驟．在假設結論不成立時要注意考慮結論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定．
4．（3分）若三角形兩邊長分別是5和8，則第三邊長可能是（ ）
A．1B．3C．8D．13
【分析】根據(jù)三角形的三邊關系：任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，即可得答案．
【解答】解：根據(jù)三角形的三邊關系得：8﹣5＜x＜8+5，
解得：3＜x＜13，
故第三邊長可能是8．
故選：C．
【點評】此題主要考查了三角形的三邊關系，只要掌握三角形的三邊關系定理即可．
5．（3分）如圖，線段AD與BC相交于點O，OA＝OC，OB＝OD，連結AB，CD，不添加輔助線，判定△ABO≌△CDO的依據(jù)是（ ）
A．SSSB．SASC．AASD．ASA
【分析】根據(jù)OA＝OC，∠AOB＝∠DOC，OB＝OD可依據(jù)“SAS”判定△ABO≌△CDO，由此可得出答案．
【解答】解：∵AD與BC相交于點O，
∴∠AOB＝∠DOC
在△AOB和△COD中，
，
∴△ABO≌△CDO（SAS），
故選：B．
【點評】此題主要考查了全等三角形的判定與性質，準確識圖，熟練掌握全等三角形的判定方法是解決問題的關鍵．
6．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，則∠A的度數(shù)是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【分析】根據(jù)三角形內角和定理及∠C＝90°可求出∠A+∠B＝90°，結合已知條件∠B＝2∠A，即可求出∠A的度數(shù)．
【解答】解：在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°，
∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠B＝2∠A，
∴∠A+2∠A＝90°，
∴∠A＝30°，
故選：A．
【點評】本題考查了三角形內角和定理，熟知三角形三個內角的和是180°是解題的關鍵．
7．（3分）如圖，在△ABC中，∠ACB的平分線CD交AB于點D，DE∥BC，若DE＝8，則線段CE的長度是（ ）
A．4B．8C．12D．16
【分析】先根據(jù)∠ACB的平分線CD交AB于點D得出∠ACD＝∠BCD，再由DE∥BC得出∠BCD＝∠EDC，故可得出∠EDC＝∠ACD，進而得出結論．
【解答】解：∵∠ACB的平分線CD交AB于點D，DE＝8，
∴∠ACD＝∠BCD，
∵DE∥BC，
∴∠BCD＝∠EDC，
∴∠EDC＝∠ACD，
∴CE＝DE＝8．
故選：B．
【點評】本題考查的是平行線的性質，等腰三角形的判定與性質，熟知以上知識是解題的關鍵．
8．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的中線，若∠A＝26°，則∠BDC的度數(shù)是（ ）
A．50°B．51°C．52°D．53°
【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質可得AD＝CD，從而可得∠A＝∠DCA＝26°，然后利用三角形的外角性質進行計算，即可解答．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的中線，
∴AD＝CD＝AB，
∴∠A＝∠DCA＝26°，
∵∠BDC是△ACD的一個外角，
∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝52°，
故選：C．
【點評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線，三角形的外角性質，根據(jù)題目的已知條件并結合圖形進行分析是解題的關鍵．
9．（3分）如圖，在△ABC中，分別以點A，C為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧分別交于點E，F(xiàn)，直線EF分別交AC與BC于點D和G，連結AG，若AD＝2，△ABG的周長為9，則△ABC的周長是（ ）
A．12B．13C．14D．15
【分析】由作圖過程可知，直線EF為線段AC的垂直平分線，則AG＝CG，AC＝2AD＝4，進而可得AB+BC＝9，再根據(jù)△ABC的周長為AB+BC+AC可得答案．
【解答】解：由作圖過程可知，直線EF為線段AC的垂直平分線，
∴AG＝CG，AC＝2AD＝4．
∵△ABG的周長為9，
∴AB+BG+AG＝AB+BG+CG＝AB+BC＝9，
∴△ABC的周長為AB+BC+AC＝9+4＝13．
故選：B．
【點評】本題考查作圖—基本作圖、線段垂直平分線的性質，熟練掌握線段垂直平分線的性質是解答本題的關鍵．
10．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝8，AD是△ABC的角平分線，E，F(xiàn)分別在AC，AB邊上．AF＝4，AE＝6，連結DF，DE．若DE＝DF，則△ABC的面積是（ ）
A．B．24C．30D．
【分析】過D作DH⊥AC于H，由角平分線的性質推出DH＝DB，判定Rt△DEH≌Rt△DFB（HL），得到EH＝BF，判定Rt△DHA≌Rt△DBA（HL），推出AH＝AB，
得到BF+4＝6﹣BF，求出BF＝1，得到AB＝AF+BF＝5，由勾股定理求出BC＝＝，即可求出△ABC的面積＝AB?BC＝．
【解答】解：過D作DH⊥AC于H，
∵∠B＝90°，
∴DB⊥AB，
∵AD是△ABC的角平分線，
∴DH＝DB，
∵DE＝DF，
∴Rt△DEH≌Rt△DFB（HL），
∴EH＝BF，
∵DH＝DB，DA＝DA，
∴Rt△DHA≌Rt△DBA（HL），
∴AH＝AB，
∵AF＝4，AE＝6，
∴BF+4＝6﹣EH＝6﹣BF，
∴BF＝1，
∴AB＝AF+BF＝5，
∴BC＝＝＝，
∴△ABC的面積＝AB?BC＝．
故選：D．
【點評】本題考查全等三角形的判定和性質，角平分線的性質，勾股定理，三角形的面積，關鍵是判定Rt△DEH≌Rt△DFB（HL），推出EH＝BF，判定Rt△DHA≌Rt△DBA（HL），推出AH＝AB．
二、填空題（本題有8小題，每小題4分，共32分）
11．（4分）“x的3倍與5的差不大于9”用不等式表示為 3x﹣5≤9 ．
【分析】根據(jù)“x的3倍與5的差不大于9”，即可列出關于x的一元一次不等式，此題得解．
【解答】解：根據(jù)題意得：3x﹣5≤9．
故答案為：3x﹣5≤9．
【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元一次不等式，根據(jù)各數(shù)量之間的關系，正確列出一元一次不等式是解題的關鍵．
12．（4分）命題“如果a＝1，那么|a|＝1．”的逆命題為 如果|a|＝1，那么a＝1 ．
【分析】把原命題的條件和結論交換位置，即可得到原命題的逆命題，由此即可得到答案．
【解答】解：“如果a＝1，那么|a|＝1．”的逆命題為：如果|a|＝1，那么a＝1．
故答案為：如果|a|＝1，那么a＝1．
【點評】本題考查命題與定理，關鍵是掌握由原命題得到逆命題的方法．
13．（4分）若△ABC≌△DEF，A與D，B與E分別是對應頂點，∠A＝50°，∠B＝70°，則∠F＝ 60 °．
【分析】根據(jù)全等三角形的性質解答即可．
【解答】解：∵∠A＝50°，∠B＝70°，
∴∠ACB＝180°﹣50°﹣70°＝60°，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠F＝∠ACB＝60°，
故答案為：60．
【點評】此題主要考查了全等三角形的性質，解題的關鍵是掌握全等三角形的對應邊相等，全等三角形的對應角相等．
14．（4分）等腰三角形的兩條邊長分別為3和4，則這個等腰三角形的周長是 10或11 ．
【分析】分3是腰長與底邊長兩種情況討論求解即可．
【解答】解：①3是腰長時，三角形的三邊分別為3、3、4，
∵此時能組成三角形，
∴周長＝3+3+4＝10；
②3是底邊長時，三角形的三邊分別為3、4、4，
此時能組成三角形，
所以周長＝3+4+4＝11．
綜上所述，這個等腰三角形的周長是10或11．
故答案為：10或11．
【點評】本題考查了等腰三角形的性質，難點在于要分情況討論．
15．（4分）如圖，已知△ABC≌△DAE，A與D，C與E分別是對應頂點，點E在線段AC上，BC＝4，DE＝10，則CE的長為 6 ．
【分析】根據(jù)全等三角形的性質和線段的和差即可得到結論．
【解答】解：∵△ABC≌△DAE，
∴AC＝DE＝10，AE＝BC＝4，
∴CE＝AC﹣AE＝10﹣4＝6，
故答案為：6．
【點評】本題考查了全等三角形的性質，熟練掌握全等三角形的性質是解題的關鍵．
16．（4分）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，分別以線段AB，BD，DC，CA為邊向外作正方形，其中3個正方形的面積如圖所示，則第四個正方形的面積為 2 ．
【分析】根據(jù)正方形的面積和勾股定理，得出AD2+BD2＝AB2＝15，AD2+CD2＝AC2＝12，由此得到BD2﹣CD2＝15﹣12＝3，再根據(jù)BD2＝5，得出CD2＝5﹣3＝2，得到第四個正方形的面積．
【解答】解：∵AD是BC邊上的高，
∴AD⊥BC，
∴AD2+BD2＝AB2＝15，AD2+CD2＝AC2＝12，
∴BD2﹣CD2＝15﹣12＝3，
∵BD2＝5，
∴CD2＝5﹣3＝2，
∴第四個正方形的面積為2，
故答案為：2．
【點評】本題考查了勾股定理，利用正方形的面積是解題的關鍵．
17．（4分）如圖，在△ABC中，AB＝BC，由圖中的尺規(guī)作圖得到射線BD，BD與AC交于點E，點F為BC的中點，連接EF，若BE＝AC＝2，則EF的長為 ．
【分析】先利用等腰三角形的三線合一性質可得∠BEC＝90°，CE＝AE＝1，然后在Rt△BEC中，利用勾股定理可得BC＝，再利用直角三角形斜邊上的中線性質進行計算，即可解答．
【解答】解：∵AB＝BC，BD平分∠ABC，
∴∠BEC＝90°，CE＝AE＝AC＝1，
在Rt△BEC中，BE＝2，
∴BC＝＝＝，
∵點F為BC的中點，
∴EF＝BC＝，
故答案為：．
【點評】本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質，直角三角形斜邊上的中線，根據(jù)題目的已知條件并結合圖形進行分析是解題的關鍵．
18．（4分）如圖，等邊三角形ABC的邊長為6，點O是△ABC的中心，∠FOG＝120°，繞點O旋轉∠FOG，分別交線段AB、BC于D、E兩點，連接DE，則△BDE周長的最小值為 9 ．
【分析】連接OB，OC，作OE⊥DM交DE與M點，先根據(jù)等邊三角形的性質判定△BOD≌△COE，得到OD＝OE，BD＝EC，得出△BDE周長為6+OE，將問題轉化為求OE最小值，當OE⊥BC時，OE最小，利用勾股定理求出OE值即可．
【解答】解：連接OB，OC，作OE⊥DM交DE與M點，如圖：
∵等邊三角形ABC的邊長為6，點O是△ABC的中心，∠FOG＝120°，
∴∠B＝∠C，OC＝OB，
∴∠OBD＝∠OCE，
∴∠BOC＝∠DOE＝120°，
∴∠BOE+∠COE＝∠BOE+∠BOD，
∴∠BOD＝∠COE，
∴△BOD≌△COE（ASA），
∴OD＝OE，BD＝EC，
∴∠ODE＝∠OED＝30°，
∴OM＝OE，EM＝OE，
∴△BDE周長BE+BD+DE＝BE+EC+DE＝6+2EM＝6+OE，
∴當OE取最小值時△BDE周長最小，
∴當OE⊥BC時，OE最小，△BDE周長最小，
當OE⊥BC時，∠OBE＝∠B＝30°，BE＝BC＝3，
∴OE＝，
∴6+OE＝9，
∴△BDE周長最小值為9．
故答案為：9．
【點評】本題主要考查等邊三角形的性質，圖形的旋轉，三角形全等的判定，勾股定理，動點問題，熟練掌握等邊三角形的性質時解答此題的關鍵．
三、填空題（本題有6小題，共58分）
19．（8分）解下列不等式，并把解表示在數(shù)軸上．
（1）9x﹣1＜4x+9；
（2）﹣3x﹣5≤2（2+3x）．
【分析】（1）根據(jù)不等式的性質解一元一次不等式，然后在數(shù)軸上表示出不等式的解集；
（2）根據(jù)不等式的性質解一元一次不等式，然后在數(shù)軸上表示出不等式的解集．
【解答】解：（1）9x﹣1＜4x+9，
移項，得：9x﹣4x＜9+1，
合并同類項，得：5x＜10，
系數(shù)化為1，得：x＜2，
解在數(shù)軸上的表示如圖：
；
（2）﹣3x﹣5≤2（2+3x）
去括號，得：﹣3x﹣5≤4+6x，
移項，得：﹣3x﹣6x≤4+5，
合并同類項，得：﹣9x≤9，
系數(shù)化為1，得：x≥﹣1，
解在數(shù)軸上的表示如圖：
．
【點評】本題考查一元一次不等式的解法和解集在數(shù)軸上的表示，用到了數(shù)形結合思想，應注意點的表示用空心還是實心圓圈．
20．（8分）已知：如圖，點E，F(xiàn)在線段BC上，BF＝CE，AB＝DC，AE＝DF．
（1）求證：△ABE≌△DCF；
（2）若∠AEB＝40°，求∠AOF的度數(shù)．
【分析】（1）利用SSS即可證明△ABE≌△DCF；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質及三角形外角性質求解即可．
【解答】（1）證明：∵BF＝CE，
∴BE＝CF，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SSS）；
（2）解：∵△ABE≌△DCF，
∴∠AEB＝∠DFC＝40°，
∴∠AOF＝∠AEB+∠DFC＝80°．
【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質、三角形內角和定理，熟記全等三角形的判定定理與性質定理是解題的關鍵．
21．（6分）
【分析】以A為圓心，AC為半徑作弧就熬BC于點D，以A為圓心，AB為半徑作弧交BC于點E，連接AD，AE即可．
【解答】解：圖形如圖所示：
理由：過點A作AH⊥CD于點H．
由作圖可知AC＝AD，AB＝AE，
∴CH＝DH，BH＝EH，
∴DE＝BC，∠ACD＝∠ADC，∠ABE＝∠AEB，
∵∠ACD＝∠ABE+∠BAC，∠ADC＝∠AEB+∠DAE，
∴∠EAD＝∠BAC．
【點評】本題考查作圖﹣應用與設計作圖，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．
22．（10分）近期，國風礦物質顏料在網絡上大火，引得各繪畫愛好者爭先購買．其中“巖灰”和“石綠”風靡一時，1瓶“巖灰”和1瓶“石綠”總價100元，“石綠”比“巖灰”單價高40元．
（1）分別求出“巖灰”和“石綠”的銷售單價；
（2）某同學欲購買兩種顏料共10瓶，預算資金不超過400元，則該同學最多可以購買多少瓶“石綠”？
【分析】（1）設“巖灰”的銷售單價為x元，“石綠”的銷售單價為y元，根據(jù)1瓶“巖灰”和1瓶“石綠”總價100元，“石綠”比“巖灰”單價高40元，列出二元一次方程組，解方程組即可；
（2）設該同學可以購買m瓶“石綠”，則購買（10﹣m）瓶“巖灰”，根據(jù)預算資金不超過400元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）設“巖灰”的銷售單價為x元，“石綠”的銷售單價為y元，
由題意等：，
解得：，
答：“巖灰”的銷售單價為30元，“石綠”的銷售單價為70元；
（2）設該同學可以購買m瓶“石綠”，則購買（10﹣m）瓶“巖灰”，
由題意得：70m+30（10﹣m）≤400，
解得：m≤2.5，
∵m為正整數(shù)，
∴m的最大值為2，
答：該同學最多可以購買2瓶“石綠”．
【點評】本題考查了二元一次方程組的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）找出數(shù)量關系，正確列出一元一次不等式．
23．（12分）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，連接BD，點E在線段BD上，連結CE，∠1＝∠2，AB＝EC．
（1）求證：△ABD≌△ECB．
（2）若∠1＝20°，∠ADB＝25°．
①求∠DEC的度數(shù)．
②當，DE＝2時，求△CDE的面積．
【分析】（1）由AD∥BC，得∠ADB＝∠EBC，而∠1＝∠2，AB＝EC，即可根據(jù)“AAS”證明△ABD≌△ECB；
（2）①由∠ADB＝∠EBC＝25°，∠1＝∠2＝20°，求得∠DEC＝∠EBC+∠2＝45°；
②作DF⊥EC于點F，則∠DFE＝90°，所以∠FDE＝∠DEC＝45°，則EF＝DF，由DE＝DF＝2，求得DF＝，而AB＝EC＝，所以S△CDE＝EC?DF＝．
【解答】（1）證明：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠EBC，
在△ABD和△ECB中，
，
∴△ABD≌△ECB（AAS）．
（2）解：①∵∠ADB＝∠EBC＝25°，∠1＝∠2＝20°，
∴∠DEC＝∠EBC+∠2＝25°+20°＝45°，
∴∠DEC的度數(shù)是45°．
②作DF⊥EC于點F，則∠DFE＝90°，
∴∠FDE＝∠DEC＝45°，
∴EF＝DF，
∵DE＝＝DF＝2，
∴DF＝，
∵AB＝EC＝，
∴S△CDE＝EC?DF＝××＝，
∴△CDE的面積是．
【點評】此題重點考查平行線的性質、全等三角形的判定與性質、三角形內角和定理、勾股定理、三角形的面積公式等知識，正確地作出輔助線是解題的關鍵．
24．（14分）如圖1，P是等邊△ABC內一點，連結AP，BP．將線段BP繞點B順時針旋轉60°得到線段BP′，連結CP'．
（1）求證：△APB≌△CP′B．
（2）如圖2，連結CP，PP′．
①當∠APB＝130°，且△CP′P為等腰三角形時，求出∠CPB的度數(shù)．
②當PB＝2，AB＝6，且PB∥CP′時，請直接寫出點A到點P′的距離．
【分析】（1）根據(jù)SAS可證明△APB≌△CP′B；
（2）①先根據(jù)全等三角形的性質得∠CP'B＝130°，從而可得∠CP'P＝70°，最后根據(jù)△CP′P為等腰三角形分三種情況討論即可解答；
②如圖3，過點B作BD⊥PP'于D，則∠ADB＝∠BDP'＝90°，先證明A，P，P'三點共線，再根據(jù)30°的直角三角形的性質可得DP'＝1，利用勾股定理計算BD和AD的長即可解答．
【解答】（1）證明：由旋轉得：PB＝P′B，∠PBP′＝60°，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°，
∴∠ABC＝∠PBP'，
∴∠ABP＝∠CBP'，
在△APB和△CP'B中，
，
∴△APB≌△CP′B（SAS），
（2）解：①∵PB＝P′B，∠PBP′＝60°，
∴△BPP'是等邊三角形，
∴∠BPC＝∠BP'P＝60°，
由（1）知：△BAP≌△BCP′，
∴∠CP'B＝∠APB＝130°，
∴∠CP'P＝130°﹣60°＝70°，
∵△CP′P為等腰三角形，
∴PC＝PP'或PC＝P'C或PP'＝CP'，
當PC＝PP'時，∠PCP'＝∠CP'P＝70°，
∴∠CPP'＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∴∠CPB＝40°+60°＝100°；
當PC＝P'C時，∠CPP'＝∠CP'P＝70°，
∴∠CPB＝60°+70°＝130°；
當PP'＝CP'時，∠CPP'＝∠PCP'＝＝55°，
∴∠CPB＝55°+60°＝115°；
綜上，當△CP′P為等腰三角形時，∠CPB的度數(shù)為100°或130°或115°；
②如圖3，過點B作BD⊥PP'于D，則∠ADB＝∠BDP'＝90°，
∵PB∥P'C，
∴∠CP'P＝∠BPP'＝60°，
∴∠BP'C＝∠CP'P+∠BP'P＝120°，
由（1）知：△APB≌△CP′B，
∴∠CP'B＝∠APB＝120°，
∵∠BPP'＝60°，
∴∠APB+∠BPP'＝120°+60°＝180°，
∴A，P，P'三點共線，
Rt△BDP'中，∠BP'P＝60°，
∴∠DBP'＝30°，
∴DP'＝P'B＝PB＝×2＝1，
由勾股定理得：BD＝＝，
AD＝＝＝，
∴AP'＝AD+DP'＝+1．
【點評】本題是三角形的綜合題，考查了旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，勾股定理等知識，熟練掌握旋轉的性質和全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．尺規(guī)作圖問題
問題呈現(xiàn)
如圖，已知直線BC和直線外一點A，連結AB，AC．
（1）用無刻度的直尺和圓規(guī)在直線BC上取點D，點E（點D在點E的左側），使得∠EAD＝∠BAC，且DE＝BC（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡）；
（2）請根據(jù)自己的作法說明作圖正確的理由．
我的畫法

我的理由
尺規(guī)作圖問題
問題呈現(xiàn)
如圖，已知直線BC和直線外一點A，連結AB，AC．
（1）用無刻度的直尺和圓規(guī)在直線BC上取點D，點E（點D在點E的左側），使得∠EAD＝∠BAC，且DE＝BC（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡）；
（2）請根據(jù)自己的作法說明作圖正確的理由．
我的畫法

我的理由

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