1．（3分）下面四個(gè)圖形分別是節(jié)能、節(jié)水、低碳和綠色食品標(biāo)志，在這四個(gè)標(biāo)志中，是軸對稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）若a＜b，則下列不等式中成立的是（ ）
A．a(chǎn)﹣3＞b﹣3B．a(chǎn)+3＞b+3C．﹣3a＞﹣3bD．
3．（3分）等腰三角形的底角等于50°，則這個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù)是（ ）
A．50°B．65°C．80°D．100°
4．（3分）如圖，點(diǎn)E、H、G、N共線，∠E＝∠N，EF＝NM，添加一個(gè)條件，不能判斷△EFG≌△NMH的是（ ）
A．EH＝NGB．∠F＝∠MC．FG＝MHD．FG∥HM
5．（3分）如圖，△ABC中，D為AB中點(diǎn)，E在AC上，且BE⊥AC．若DE＝5，AE＝8，則BE的長度是（ ）
A．5B．5.5C．6D．6.5
6．（3分）給出下列命題：①三角形任何兩邊之和大于第三邊；②三角形任何一外角等于兩內(nèi)角之和；③兩邊和一角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，下列屬于真命題的是（ ）
A．①③B．②③C．①②D．①
7．（3分）如圖，在△ABC中，∠ACB為鈍角．用直尺和圓規(guī)在邊AB上確定一點(diǎn)D．使∠ADC＝2∠B，則符合要求的作圖痕跡是（ ）
A．B．
C．D．
8．（3分）若一個(gè)直角三角形的兩邊長分別為3和4，則它的第三邊長為（ ）
A．5B．C．5或4D．5或
9．（3分）如圖，在矩形ABCD中，BC＝6，CD＝3，將△BCD沿對角線BD翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)C′處，BC′交AD于點(diǎn)E，則線段DE的長為（ ）
A．3B．C．5D．
10．（3分）如圖，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，且∠AOB＝40°，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線OA和射線OB上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PMN周長取最小值時(shí)，則∠MPN的度數(shù)為（ ）
A．140°B．100°C．50°D．40°
二、填空題（本大題有6小題，每小題4分，共24分）
11．（4分）“x的3倍與y的差是負(fù)數(shù)”用不等式表示為 ．
12．（4分）已知三角形的三邊長分別為3，5，x，若x是整數(shù)，則x的值可取 （只填一個(gè)）．
13．（4分）“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”的逆命題是 ．
14．（4分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別是a，b，c，且滿足（a﹣b）2+|b﹣c|2＝0，則△ABC是 三角形．
15．（4分）如圖，△ABC的周長為24，AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，垂足為E，若AE＝3，則△ADB的周長是 ．
16．（4分）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，點(diǎn)D是BC上一動(dòng)點(diǎn)，將△ABD沿AD折疊得到△ADE，當(dāng)△ADE與△ABC重疊部分是直角三角形時(shí)，∠BAD的度數(shù)為 ．
三、解答題（本大題共有8小題，共66分）
17．（8分）解不等式（組），把解集在數(shù)軸上表示出來．
（1）3﹣x＜2x+6；
（2）．
18．（6分）如圖，在正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、M、N都在格點(diǎn)上．
（1）作△ABC關(guān)于直線MN對稱的圖形△A′B′C′；
（2）在直線MN上找一點(diǎn)P，使PA+PC的值最小，標(biāo)出點(diǎn)P的位置（保留作圖痕跡）．
19．（6分）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝90°，AD＝AB＝4，BC＝6，CD＝2，求∠ADC的度數(shù)．
20．（6分）2如圖，AB＝AE，∠B＝∠E，∠BCA＝∠EDA，AF⊥CD．
（1）求證：△ABC≌△AED；
（2）試說明∠BAF與∠EAF的數(shù)量關(guān)系．
21．（8分）如圖，在△ABC中，AE是邊BC上的高．
（1）若AD是∠BAC的平分線，∠B＝40°，∠C＝50°，求∠DAE的度數(shù)；
（2）若AD是BC邊上的中線，，，求S△AEC．
22．（10分）某電器超市銷售A、B兩種型號的電風(fēng)扇，A型號每臺進(jìn)價(jià)為200元，B型號每臺進(jìn)價(jià)為150元，下表是近兩天的銷售情況：
（進(jìn)價(jià)、售價(jià)均保持不變，利潤＝銷售收入﹣進(jìn)貨成本）
（1）求A、B兩種型號的電風(fēng)扇的銷售單價(jià)；
（2）若超市準(zhǔn)備用不多于5400元的金額再采購這兩種型號的電風(fēng)扇共30臺，求A種型號的電風(fēng)扇最多能采購多少臺？
（3）在（2）的條件下，超市銷售完這30臺電風(fēng)扇能否實(shí)現(xiàn)利潤不少于1060元的目標(biāo)？若能，請給出相應(yīng)的采購方案；若不能，請說明理由．
23．（10分）對m、n定義一種新運(yùn)算“?”，規(guī)定：m?n＝am﹣bn+5．（a，b均為非零常數(shù)），等式右邊的運(yùn)算是通常的四則運(yùn)算，例如：5?6＝5a﹣6b+5．
（1）已知2?3＝1，3?（﹣1）＝10．
①求a、b的值；
②若關(guān)于x的不等式組有且只有兩個(gè)整數(shù)解，求字母t的取值范圍；
（2）若運(yùn)算“?”滿足加法交換律，即對于我們所學(xué)過的任意數(shù)m、n，結(jié)論“m?n＝n?m”都成立，試探究a、b應(yīng)滿足的關(guān)系．
24．（12分）如圖1，△ABC和△CDE均為等腰三角形，AC＝BC，CD＝CE，AC＞CD，∠ACB＝∠DCE＝α，且點(diǎn)A、D、E在同一直線上，連接BE．
（1）求證：AD＝BE．
（2）如圖2，若α＝90°，CM⊥AE于M．若CM＝7，BE＝10，試求AB的長．
（3）如圖3，若α＝120°，CM⊥AE于M，BN⊥AE于N，，CM＝b，直接寫出AE的值（用a，b的代數(shù)式表示）．
2024-2025學(xué)年浙江省寧波市余姚市子陵教育集團(tuán)八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題有10小題，每小題3分，共30分）
1．（3分）下面四個(gè)圖形分別是節(jié)能、節(jié)水、低碳和綠色食品標(biāo)志，在這四個(gè)標(biāo)志中，是軸對稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進(jìn)行分析即可．
【解答】解：選項(xiàng)A、C、D的圖形不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形．
選項(xiàng)B的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形．
故選：B．
2．（3分）若a＜b，則下列不等式中成立的是（ ）
A．a(chǎn)﹣3＞b﹣3B．a(chǎn)+3＞b+3C．﹣3a＞﹣3bD．
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)進(jìn)行分析判斷．
【解答】解：A、在不等式a＜b的兩邊都減3，不等號的方向不變，即a+1＞b+1，原變形錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、在不等式a＜b的兩邊同時(shí)都加3，不等號的方向不變，即a+3＜b+3，原變形錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)不符合題意；
C、在不等式a＜b的兩邊同時(shí)乘以﹣3，不等號的方向改變，即﹣3a＞﹣3b，原變形正確，故本選項(xiàng)符合題意；
D、在不等式a＜b的兩邊同時(shí)乘以，不等號的方向不變，即，原變形錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：C．
3．（3分）等腰三角形的底角等于50°，則這個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù)是（ ）
A．50°B．65°C．80°D．100°
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可確定．
【解答】解：∵等腰三角形的底角等于50°，
∴180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴等腰三角形的頂角為80°，
故選：C．
4．（3分）如圖，點(diǎn)E、H、G、N共線，∠E＝∠N，EF＝NM，添加一個(gè)條件，不能判斷△EFG≌△NMH的是（ ）
A．EH＝NGB．∠F＝∠MC．FG＝MHD．FG∥HM
【分析】根據(jù)三角形全等的判定方法即可求解．
【解答】解：在△EFG與△NMH中，已知，∠E＝∠N，EF＝NM，
A．由EH＝NG可得EG＝NH，所以添加條件EH＝NG，根據(jù)SAS可證△EFG≌△NMH，故本選項(xiàng)不符合題意；
B．添加條件∠F＝∠M，根據(jù)ASA可證△EFG≌△NMH，故本選項(xiàng)不符合題意；
C．添加條件FG＝MH，不能證明△EFG≌△NMH，故本選項(xiàng)符合題意；
D．由FG∥HM可得∠EGF＝∠NHM，所以添加條件FG∥HM，根據(jù)AAS可證△EFG≌△NMH，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：C．
5．（3分）如圖，△ABC中，D為AB中點(diǎn)，E在AC上，且BE⊥AC．若DE＝5，AE＝8，則BE的長度是（ ）
A．5B．5.5C．6D．6.5
【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線求出AB長，根據(jù)勾股定理求出BE即可．
【解答】解：∵BE⊥AC，
∴∠BEA＝90°，
∵DE＝5，D為AB中點(diǎn)，
∴AB＝2DE＝10，
∵AE＝8，
∴由勾股定理得：BE＝＝6，
故選：C．
6．（3分）給出下列命題：①三角形任何兩邊之和大于第三邊；②三角形任何一外角等于兩內(nèi)角之和；③兩邊和一角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，下列屬于真命題的是（ ）
A．①③B．②③C．①②D．①
【分析】利用三角形的三邊關(guān)系、外角的性質(zhì)、全等三角形的判定方法等知識分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．
【解答】解：①三角形任何兩邊之和大于第三邊，正確，是真命題，符合題意；
②三角形任何一外角等于不相鄰的兩內(nèi)角之和，故原命題錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意；
③兩邊和夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，故原命題錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意．
真命題有①，
故選：D．
7．（3分）如圖，在△ABC中，∠ACB為鈍角．用直尺和圓規(guī)在邊AB上確定一點(diǎn)D．使∠ADC＝2∠B，則符合要求的作圖痕跡是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由∠ADC＝2∠B且∠ADC＝∠B+∠BCD知∠B＝∠BCD，據(jù)此得DB＝DC，由線段的中垂線的性質(zhì)可得答案．
【解答】解：∵∠ADC＝2∠B且∠ADC＝∠B+∠BCD，
∴∠B＝∠BCD，
∴DB＝DC，
∴點(diǎn)D是線段BC中垂線與AB的交點(diǎn)，
故選：B．
8．（3分）若一個(gè)直角三角形的兩邊長分別為3和4，則它的第三邊長為（ ）
A．5B．C．5或4D．5或
【分析】分為兩種情況：①斜邊是4有一條直角邊是3，②3和4都是直角邊，根據(jù)勾股定理求出即可．
【解答】解：分為兩種情況：①斜邊是4有一條直角邊是3，由勾股定理得：第三邊長是＝；
②3和4都是直角邊，由勾股定理得：第三邊長是＝5；
即第三邊長是5或，
故選：D．
9．（3分）如圖，在矩形ABCD中，BC＝6，CD＝3，將△BCD沿對角線BD翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)C′處，BC′交AD于點(diǎn)E，則線段DE的長為（ ）
A．3B．C．5D．
【分析】首先根據(jù)題意得到BE＝DE，然后根據(jù)勾股定理得到關(guān)于線段AB、AE、BE的方程，解方程即可解決問題．
【解答】解：設(shè)ED＝x，則AE＝6﹣x，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC；
由題意得：∠EBD＝∠DBC，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴EB＝ED＝x；
由勾股定理得：
BE2＝AB2+AE2，
即x2＝9+（6﹣x）2，
解得：x＝3.75，
∴ED＝3.75．
故選：B．
10．（3分）如圖，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，且∠AOB＝40°，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線OA和射線OB上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PMN周長取最小值時(shí)，則∠MPN的度數(shù)為（ ）
A．140°B．100°C．50°D．40°
【分析】分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對稱點(diǎn)P1、P2，連P1、P2，交OA于M，交OB于N，△PMN的周長＝P1P2，然后得到等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝100°，即可得出∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝100°．
【解答】解：分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對稱點(diǎn)P1、P2，連接P1P2，交OA于M，交OB于N，則
OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O，
根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，可得MP＝P1M，PN＝P2N，則
△PMN的周長的最小值＝P1P2，
∴∠P1OP2＝2∠AOB＝80°，
∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝100°，
∴∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝100°，
故選：B．
二、填空題（本大題有6小題，每小題4分，共24分）
11．（4分）“x的3倍與y的差是負(fù)數(shù)”用不等式表示為 3x﹣y＜0 ．
【分析】根據(jù)用字母表示數(shù)或數(shù)量關(guān)系及書寫規(guī)程即可求解．
【解答】解：x的3倍表示為3x，
∴根據(jù)題意得，3x﹣y＜0，
故答案為：3x﹣y＜0．
12．（4分）已知三角形的三邊長分別為3，5，x，若x是整數(shù)，則x的值可取 3（答案不唯一） （只填一個(gè)）．
【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系解答即可．
【解答】解：由三角形三邊關(guān)系定理得5﹣3＜x＜5+3，即2＜x＜8．
∵x是整數(shù)，
∴x可以取3．
故答案為：3（答案不唯一）．
13．（4分）“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”的逆命題是 兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等 ．
【分析】把一個(gè)命題的條件和結(jié)論互換就得到它的逆命題．
【解答】解：“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”的條件是：內(nèi)錯(cuò)角相等，結(jié)論是：兩直線平行．
將條件和結(jié)論互換得逆命題為：兩條直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．
故答案為：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．
14．（4分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別是a，b，c，且滿足（a﹣b）2+|b﹣c|2＝0，則△ABC是 等邊 三角形．
【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a﹣b＝0，且b﹣c＝0，進(jìn)而判斷出△ABC的形狀．
【解答】解：∵（a﹣b）2+|b﹣c|2|＝0，
∴a﹣b＝0，且b﹣c＝0，
∴a＝b＝c，
∴△ABC是等邊三角形，
故答案為：等邊．
15．（4分）如圖，△ABC的周長為24，AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，垂足為E，若AE＝3，則△ADB的周長是 18 ．
【分析】根據(jù)線段垂直平分線得出AD＝DC，AC＝2AE＝8，根據(jù)△ABC的周長求出AB+BC＝16，求出△ABD的周長＝AB+BC，代入求出即可．
【解答】解：∵AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，垂足為E，AE＝3，
∴AD＝DC，AC＝2AE＝6，
∵△ABC的周長為24，
∴AB+BC+AC＝24，
∴AB+BC＝24﹣6＝18，
∴△ADB的周長是AB+AD+BD＝AB+CD+BD＝AB+BC＝18，
故答案為：18．
16．（4分）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，點(diǎn)D是BC上一動(dòng)點(diǎn)，將△ABD沿AD折疊得到△ADE，當(dāng)△ADE與△ABC重疊部分是直角三角形時(shí)，∠BAD的度數(shù)為 25°或50°或75° ．
【分析】分三種情況：當(dāng)∠ADC＝90°時(shí)；當(dāng)∠AFD＝90°時(shí)；當(dāng)∠AHD＝90°時(shí)；分別求解即可得出答案．
【解答】解：如圖，當(dāng)∠ADC＝90°時(shí)，
，
∵∠B＝40°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣40°＝50°；
如圖，當(dāng)∠AFD＝90°時(shí)，
，
由折疊的性質(zhì)可得：△ABD≌△AED，∠BAD＝∠EAD，
∵∠B＝40°，
∴∠BAF＝90°﹣∠B＝50°，
∴；
如圖，當(dāng)∠AHD＝90°時(shí)，
，
由折疊的性質(zhì)可得：∠B＝∠E＝40°，∠ADB＝∠ADE，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝40°，
∴∠HDC＝90°﹣∠C＝50°，
∴，
∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝75°；
綜上所述，∠BAD的度數(shù)為25°或50°或75°，
故答案為：25°或50°或75°．
三、解答題（本大題共有8小題，共66分）
17．（8分）解不等式（組），把解集在數(shù)軸上表示出來．
（1）3﹣x＜2x+6；
（2）．
【分析】（1）根據(jù)移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1的步驟求出不等式的解集，然后根據(jù)在數(shù)軸上表示不等式解集的方法畫出數(shù)軸即可；
（2）分別求出不等式組中兩個(gè)不等式的解集，進(jìn)而得到不等式組的解集，然后根據(jù)在數(shù)軸上表示不等式解集的方法畫出數(shù)軸即可．
【解答】解：（1）移項(xiàng)得：﹣x﹣2x＜6﹣3，
合并同類項(xiàng)得：﹣3x＜3，
系數(shù)化為1得：x＞﹣1，
在數(shù)軸上表示解集為：
（2），
解不等式①得：x＜3，
解不等式②得：x≥﹣1，
所以不等式組的解集為：﹣1≤x＜3，
在數(shù)軸上表示解集為：
18．（6分）如圖，在正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、M、N都在格點(diǎn)上．
（1）作△ABC關(guān)于直線MN對稱的圖形△A′B′C′；
（2）在直線MN上找一點(diǎn)P，使PA+PC的值最小，標(biāo)出點(diǎn)P的位置（保留作圖痕跡）．
【分析】（1）利用軸對稱的性質(zhì)分別作出A，B，C的對應(yīng)點(diǎn)A1，B1，C1即可；
（2）連接A1C交直線MN于點(diǎn)P，可得A1P＝AP，即得△PAC的周長＝AP+CP+AC＝A1P+CP+AC＝A1P+AC，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知此時(shí)△PAC的周長最小，故點(diǎn)P即為所求．
【解答】解：（1）如圖所示，即為所求；
（2）如圖所示，點(diǎn)P即為所求．
19．（6分）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝90°，AD＝AB＝4，BC＝6，CD＝2，求∠ADC的度數(shù)．
【分析】連接BD，根據(jù)勾股定理求出BD，根據(jù)勾股定理的逆定理判斷∠CDB＝90°，計(jì)算即可．
【解答】解：連接BD，
∵∠A＝90°，AD＝AB＝4，
∴∠ADB＝45°，
在Rt△ADB中，BD2＝AD2+AB2＝16+16＝32，
在△CDB中，CB2﹣DC2＝62﹣22＝32，
∴CB2﹣DC2＝BD2，
∴∠CDB＝90°，
∴∠ADC＝∠ADB+∠CDB＝135°．
20．（6分）2如圖，AB＝AE，∠B＝∠E，∠BCA＝∠EDA，AF⊥CD．
（1）求證：△ABC≌△AED；
（2）試說明∠BAF與∠EAF的數(shù)量關(guān)系．
【分析】（1）根據(jù)AAS即可證明△ABC≌△AED；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AC＝AD，∠BAC＝∠EAD，運(yùn)用等腰三角形性質(zhì)及角的和差解答問題．
【解答】（1）證明：在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（AAS）；
（2）解：∠BAF＝∠EAF，理由如下：
∵△ABC≌△AED，
∴AC＝AD，∠BAC＝∠EAD，
∵AF⊥CD，
∴∠CAF＝∠DAF，
∴∠BAC+∠CAF＝∠EAD+∠DAF，
∴∠BAF＝∠EAF．
21．（8分）如圖，在△ABC中，AE是邊BC上的高．
（1）若AD是∠BAC的平分線，∠B＝40°，∠C＝50°，求∠DAE的度數(shù)；
（2）若AD是BC邊上的中線，，，求S△AEC．
【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和先求∠BAC，再用外角性質(zhì)和直角三角形性質(zhì)求出∠DAE；
（2）利用三角形中線定義及三角形面積公式求解即可．
【解答】解：（1）∵∠B＝40°，∠C＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣40°﹣50°＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BAC＝45°，
∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝85°，
∵AE是邊BC上的高，
∴∠DAE+∠ADE＝90°，
∴∠DAE＝5°．
（2）∵AD是BC邊上的中線，，
∴S△ABD＝S△ACD＝6cm2，
∵，S△ACD＝S△ADE+S△AEC，
∴S△AEC＝4cm2．
22．（10分）某電器超市銷售A、B兩種型號的電風(fēng)扇，A型號每臺進(jìn)價(jià)為200元，B型號每臺進(jìn)價(jià)為150元，下表是近兩天的銷售情況：
（進(jìn)價(jià)、售價(jià)均保持不變，利潤＝銷售收入﹣進(jìn)貨成本）
（1）求A、B兩種型號的電風(fēng)扇的銷售單價(jià)；
（2）若超市準(zhǔn)備用不多于5400元的金額再采購這兩種型號的電風(fēng)扇共30臺，求A種型號的電風(fēng)扇最多能采購多少臺？
（3）在（2）的條件下，超市銷售完這30臺電風(fēng)扇能否實(shí)現(xiàn)利潤不少于1060元的目標(biāo)？若能，請給出相應(yīng)的采購方案；若不能，請說明理由．
【分析】（1）設(shè)A種型號電風(fēng)扇的銷售單價(jià)為x元，B種型號電風(fēng)扇的銷售單價(jià)為y元，根據(jù)近兩天的銷售情況表，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)采購A種型號電風(fēng)扇a臺，則采購B種型號電風(fēng)扇（30﹣a）臺，根據(jù)總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量結(jié)合總價(jià)不超過5400元，即可得出關(guān)于a的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)總利潤＝每臺利潤×數(shù)量結(jié)合總利潤不少于1060元，即可得出關(guān)于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范圍，結(jié)合（2）的結(jié)論及a為整數(shù)，即可得出各采購方案．
【解答】解：（1）設(shè)A種型號電風(fēng)扇的銷售單價(jià)為x元，B種型號電風(fēng)扇的銷售單價(jià)為y元，
依題意，得：，
解得：．
答：A種型號電風(fēng)扇的銷售單價(jià)為240元，B種型號電風(fēng)扇的銷售單價(jià)為180元．
（2）設(shè)采購A種型號電風(fēng)扇a臺，則采購B種型號電風(fēng)扇（30﹣a）臺，
依題意，得：200a+150（30﹣a）≤5400，
解得：a≤18．
答：A種型號的電風(fēng)扇最多能采購18臺．
（3）依題意，得：（240﹣200）a+（180﹣150）（30﹣a）≥1060，
解得：a≥16．
∵a≤18，
∴16≤a≤18．
∵a為整數(shù)，
∴a＝16，17，18．
∴共有三種采購方案，方案1：采購A種型號電風(fēng)扇16臺，B種型號電風(fēng)扇14臺；方案2：采購A種型號電風(fēng)扇17臺，B種型號電風(fēng)扇13臺；方案3：采購A種型號電風(fēng)扇18臺，B種型號電風(fēng)扇12臺．
23．（10分）對m、n定義一種新運(yùn)算“?”，規(guī)定：m?n＝am﹣bn+5．（a，b均為非零常數(shù)），等式右邊的運(yùn)算是通常的四則運(yùn)算，例如：5?6＝5a﹣6b+5．
（1）已知2?3＝1，3?（﹣1）＝10．
①求a、b的值；
②若關(guān)于x的不等式組有且只有兩個(gè)整數(shù)解，求字母t的取值范圍；
（2）若運(yùn)算“?”滿足加法交換律，即對于我們所學(xué)過的任意數(shù)m、n，結(jié)論“m?n＝n?m”都成立，試探究a、b應(yīng)滿足的關(guān)系．
【分析】（1）①依據(jù)題意，由2?3＝1，3?（﹣1）＝10，可得，進(jìn)而計(jì)算可以得解；
②依據(jù)題意，結(jié)合（1）可得，，即，又不等式組有且只有兩個(gè)整數(shù)解，從而可得2≤＜3，進(jìn)而計(jì)算可以得解；
（2）依據(jù)題意，由m?n＝n?m，從而ma﹣nb+5＝na﹣mb+5，變形為（a+b）（m﹣n）＝0，又m，n為任意數(shù)，故m﹣n不一定等于0，進(jìn)而可得a+b＝0，即可得解．
【解答】解：（1）①由題意，∵2?3＝1，3?（﹣1）＝10，
∴可得方程組．
∴解得．
∴a＝1，b＝2．
②由題意，∵a＝1，b＝2，
∴不等式組可化為．
∴．
又∵上面的不等式組有且只有兩個(gè)整數(shù)解，
∴2≤＜3．
∴23≤t＜26．
（2）由m?n＝n?m，
∴ma﹣nb+5＝na﹣mb+5．
∴ma﹣nb﹣na+mb＝0．
∴m（a+b）﹣n（a+b）＝0．
∴（a+b）（m﹣n）＝0．
又∵m，n為任意數(shù)，
∴（m﹣n）不一定等于0．
∴a+b＝0．
24．（12分）如圖1，△ABC和△CDE均為等腰三角形，AC＝BC，CD＝CE，AC＞CD，∠ACB＝∠DCE＝α，且點(diǎn)A、D、E在同一直線上，連接BE．
（1）求證：AD＝BE．
（2）如圖2，若α＝90°，CM⊥AE于M．若CM＝7，BE＝10，試求AB的長．
（3）如圖3，若α＝120°，CM⊥AE于M，BN⊥AE于N，，CM＝b，直接寫出AE的值（用a，b的代數(shù)式表示）．
【分析】（1）證明△ACD≌△BCE（SAS），即可得出AD＝BE；
（2）設(shè)AE交BC于點(diǎn)H，由全等三角形的性質(zhì)得出∠CAD＝∠CBE，AD＝BE＝10，證出∠AEB＝∠ACH＝90°，△CDE是等腰直角三角形，得出CM＝DM＝ME＝7，得出DE＝2CM＝14，求出AE＝24，由勾股定理即可得出答案；
（3）由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得出∠CDM＝∠CEM＝30°．∠CMD＝90°，DM＝EM．由直角三角形的性質(zhì)求出DE＝2DM＝2b．BE＝2a．即可得出答案．
【解答】（1）證明：∵∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE；
（2）解：設(shè)AE交BC于點(diǎn)H，如圖2，
由（1）得：△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，AD＝BE＝10，
∵∠AHC＝∠BHE，
∴∠AEB＝∠ACH＝90°，
∵∠ACB＝∠DCE＝α＝90°，CD＝CE，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∵CM⊥DE，
∴CM＝DM＝ME＝7，
∴DE＝2CM＝14，
∵AE＝AD+DE＝10+14＝24，∠AEB＝90°，
∴AB＝＝＝26；
（3）解：AE＝2a+2b；理由如下：
∵△ACB和△DCE均為等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝120°，
∴∠CDM＝∠CEM＝×（180°﹣120°）＝30°．
∵CM⊥DE，
∴∠CMD＝90°，DM＝EM．
在Rt△CMD中，∠CMD＝90°，∠CDM＝30°，
∴CD＝2CM＝2b，
∴DM＝＝＝b，
∴DE＝2DM＝2b．
∵∠BEC＝∠ADC＝180°﹣30°＝150°，∠BEC＝∠CEM+∠AEB，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CEM＝150°﹣30°＝120°，
∴∠BEN＝180°﹣120°＝60°．
在Rt△BNE中，∠BNE＝90°，∠BEN＝60°，
∴∠NBE＝90°﹣∠BEN＝30°，
∴BE＝2NE，
∴BN＝＝NE＝a，
∴NE＝a，
∴BE＝2a．
∵AD＝BE，AE＝AD+DE，
∴AE＝BE+DE＝2a+2b．銷售時(shí)段
銷售數(shù)量
銷售收入
A種型號
B種型號
第一天
3臺
5臺
1620元
第二天
4臺
10臺
2760元
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銷售數(shù)量
銷售收入
A種型號
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