湖北省武漢市重點(diǎn)中學(xué)5G聯(lián)合體2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷及參考答案-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

命題學(xué)校：武漢市育才高中命題教師：趙勝軍審題教師：孫成靜
考試時(shí)間：2024年11月8日試卷滿分：150分
?？荚図樌?br>注意事項(xiàng)：
1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．
2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．
3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．
4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．直線的傾斜角為（）
A．0B．C．D．
2．已知空間向量，且，則（）
A．10B．6C．4D．
3．已知直線與直線，則“”是“”的（）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
4．已知向量，，向量在向量上的投影向量為（）．
A．B．
C．D．
5．如圖，在直三棱柱中，，，，，則與所成的角的余弦值為（）
A．B．C．D．
6．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為是上的任意一點(diǎn)，則錯(cuò)誤的是（）
A．的離心率為B．
C．的最大值為D．使為直角的點(diǎn)有2個(gè)
7．已知互不相同的20個(gè)樣本數(shù)據(jù)，若去掉其中最大和最小的數(shù)據(jù)，設(shè)剩下的18個(gè)樣本數(shù)據(jù)的方差為，平均數(shù)為；去掉的兩個(gè)數(shù)據(jù)的方差為，平均數(shù)為；原樣本數(shù)據(jù)的方差為，平均數(shù)為，若，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（）
A．
B．剩下的18個(gè)樣本數(shù)據(jù)與原樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)不變
C．
D．剩下18個(gè)數(shù)據(jù)的22%分位數(shù)大于原樣本數(shù)據(jù)的22%分位數(shù)
8．已知P為棱長為1的正方體的內(nèi)切球表面一動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分．
9．已知事件A，B滿足，，則（）
A．若，則
B．若A與B互斥，則
C．若P(AB)=0.1，則A與B相互獨(dú)立
D．若A與B相互獨(dú)立，則
10．（多選）如圖，在邊長為1的正方體中，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則（）
A．點(diǎn)到直線的距離為B．直線到直線的距離為
C．點(diǎn)到平面的距離為D．直線到平面的距離為
11．?dāng)?shù)學(xué)美的表現(xiàn)形式不同于自然美或藝術(shù)美那樣直觀，它蘊(yùn)藏于特有的抽象概念、公式符號(hào)、推理論證、思維方法等之中，揭示了規(guī)律性，是一種科學(xué)的真實(shí)美.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線就是一條形狀優(yōu)美的曲線，對(duì)于此曲線，下列說法正確的有（）
A．曲線圍成的圖形有條對(duì)稱軸
B．曲線圍成的圖形的周長是
C．若是曲線上任意一點(diǎn)，的最小值是
D．曲線上的任意兩點(diǎn)間的距離不超過
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．同時(shí)拋擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子，則兩顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為4的概率為；
13．過點(diǎn)且與圓：相切的直線方程為
14．已知四棱錐的底面是平行四邊形ABCD，過棱PC的中點(diǎn)和點(diǎn)作一平面，分別交棱PB和PD于點(diǎn)和.
①設(shè)，則 .（用向量表示）
②記四棱錐的體積為，四棱錐的體積為，則的取值范圍是 .
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．某高校的入學(xué)面試中有3道難度相當(dāng)?shù)念}目，李明答對(duì)每道題目的概率都是0.6．若每位面試者共有三次機(jī)會(huì)，一旦某次答對(duì)抽到的題目，則面試通過，否則就一直抽題到第3次為止．用Y表示答對(duì)題目，用N表示沒有答對(duì)題目，假設(shè)對(duì)抽到的不同題目能否答對(duì)是獨(dú)立的，那么
(1)在樹狀圖中填寫樣本點(diǎn)，并寫出樣本空間；
(2)求李明第二次答題通過面試的概率；
(3)求李明最終通過面試的概率．
16．為了落實(shí)習(xí)主席提出“綠水青山就是金山銀山”的環(huán)境治理要求，某市政府積極鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，計(jì)劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案，擬確定一個(gè)合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)x（噸），使居民的月用水量不超過x的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出x的部分按議價(jià)收費(fèi).為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年200位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中.
(1)求直方圖中a，b的值；
(2)由頻率分布直方圖估計(jì)該市居民用水的平均數(shù)（每組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值作為代表）；
(3)若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)x（噸），估計(jì)x的值，并說明理由.
17．已知中，；
(1)求邊AB的中線所在直線的方程；
(2)求經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(3)已知圓與（2）中圓相交于，求直線AB的方程，并求AB.
18．在中，，，，分別是上的點(diǎn)，滿足且經(jīng)過的重心，將沿折起到的位置，使，是的中點(diǎn)，如圖所示.
(1)求證：平面；
(2)求與平面所成角的大?。?br>(3)在線段上是否存在點(diǎn)，使平面與平面成角余弦值為？若存在，求出的長度；若不存在，請(qǐng)說明理由.
19．有一個(gè)半徑為4的圓形紙片，設(shè)紙片上一定點(diǎn)到紙片圓心的距離為，將紙片折疊，使圓周上一點(diǎn)M與點(diǎn)F重合，以點(diǎn)F，E所在的直線為x軸，線段EF中點(diǎn)為原點(diǎn)O，建立平面直角坐標(biāo)系．
(1)記折痕與ME的交點(diǎn)P的軌跡為曲線C，求曲線C的方程．
(2)若直線與曲線C交于A，B兩點(diǎn)．
（?。┊?dāng)k為何值時(shí)，為常數(shù)d，并求出d的值．
（ⅱ）以A，B為切點(diǎn)，作曲線C的兩條切線，設(shè)其交點(diǎn)為Q，當(dāng)時(shí)，證明：
1．A
【分析】由題及傾斜角定義可得答案.
【詳解】斜率為0，則傾斜角為0.
故選：A
2．C
【分析】運(yùn)用空間向量平行的坐標(biāo)結(jié)論計(jì)算.
【詳解】因?yàn)?，所?
即，則.
故選：C.
3．A
【分析】由垂直關(guān)系求出a的值，再結(jié)合充分、必要條件的概念即可得答案.
【詳解】若，則，解得或，
所以“”是“”的充分不必要條件．
故選：A.
4．A
【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算及投影向量的公式計(jì)算即可.
【詳解】由題意可知，，
所以向量在向量上的投影向量為.
故選：A
5．D
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用計(jì)算出與所成的角的余弦值.
【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
則，
則與所成的角的余弦值為
.
故選：D
6．D
【分析】AB選項(xiàng)，由題可得a，b，c，后由離心率計(jì)算式，橢圓定義可判斷選項(xiàng)正誤；C選項(xiàng)，由橢圓方程結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式可判斷選項(xiàng)正誤；D選項(xiàng)，即判斷以原點(diǎn)為圓心，半焦距為半徑的圓與橢圓是否有兩個(gè)交點(diǎn).
【詳解】，則.
AB選項(xiàng)，，故A正確；，故B正確；
C選項(xiàng)，由題可知，，設(shè)Px,y，
則，
由題可得，則，故C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，因?yàn)橹苯?，則P在以原點(diǎn)為圓心，半焦距為半徑的圓上，
則，與聯(lián)立，可得.
則滿足條件的點(diǎn)P為，
共4個(gè)，故D錯(cuò)誤.
故選：D
7．D
【分析】設(shè)20個(gè)樣本數(shù)據(jù)從小到大排列分別為，再根據(jù)中位數(shù)、平均數(shù)、第22百分位數(shù)與方差的定義與公式推導(dǎo)即可.
【詳解】設(shè)20個(gè)樣本數(shù)據(jù)從小到大排列分別為，則剩下的18個(gè)樣本數(shù)據(jù)為，
對(duì)于A，依題意，，，，
由，得，即，
于是，因此，即，A正確；
對(duì)于B，原樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，剩下的18個(gè)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，B正確；
對(duì)于C，因?yàn)椋瑒t，，，
于是，，
因此，即，C正確；
對(duì)于D，因?yàn)?，則剩下18個(gè)數(shù)據(jù)的分位數(shù)為，
又，則原樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)為，D錯(cuò)誤.
故選：D
8．B
【分析】如圖建立坐標(biāo)系，可將轉(zhuǎn)化為在方向上的投影向量長度的倍，結(jié)合圖形可得答案
【詳解】如圖以A為原點(diǎn)，分別為x，y，z軸建系，
則，
則，又，
則.
表示在方向上的投影向量的長度.
如圖當(dāng)P在G或F時(shí)，即當(dāng)A，O，P共線時(shí)，取最值.
因，內(nèi)切球半徑為.則,
則，則.
故選：B

9．BC
【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合概率的性質(zhì)、互斥事件、相互獨(dú)立事件的概率公式，逐項(xiàng)分析判斷即可.
【詳解】對(duì)于A，由，得，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，由A與B互斥，得，B正確；
對(duì)于C，由，得，則A與B相互獨(dú)立，C正確；
對(duì)于D，由A與B相互獨(dú)立，得相互獨(dú)立，則，D錯(cuò)誤.
故選：BC
10．ABD
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線的單位方向向量，由點(diǎn)到直線距離的向量公式求解可判斷A；先證明，然后由由點(diǎn)到直線距離的向量公式求解可判斷B；求出平面的法向量，由點(diǎn)到平面的向量公式可判斷CD.
【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，A1,0,0．
因?yàn)?，，?br>設(shè)，所以，
所以點(diǎn)到直線的距離為，故A正確．
因?yàn)?，，所以?br>所以，所以點(diǎn)到直線的距離即為直線到直線的距離．
，．
設(shè)，所以，
所以直線到直線的距離為，故B正確．
設(shè)平面的一個(gè)法向量，
又，，所以
取，則，，所以，
所以．
又，所以點(diǎn)到平面的距離為，故C錯(cuò)誤．
因?yàn)?，平面，所以平面?br>所以到平面的距離即為點(diǎn)到平面的距離．
又平面的單位法向量，，
所以直線到平面的距離為，故D正確．
故選：ABD
11．BCD
【分析】分情況去掉絕對(duì)值，可得曲線的四段關(guān)系式，進(jìn)而作出曲線的圖像，即可判斷各選項(xiàng).
【詳解】當(dāng)，時(shí)，曲線方程可化為，
即，是以為圓心，為半徑的圓在第一象限的半圓，
同理可作出其他象限內(nèi)的圖象，且在曲線上，如圖所示，

A選項(xiàng)：曲線圍成的圖形有條對(duì)稱軸，分別是直線，，，，A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)：曲線圍成的圖形的周長為，B正確；
C選項(xiàng)：到直線的距離為，
且點(diǎn)到直線的距離為，
由圓的性質(zhì)，曲線上任意一點(diǎn)到直線的距離最小值為，即，
所以的最小值是，C正確；
D選項(xiàng)：綜上，易知曲線上任意兩點(diǎn)間的距離最大值為，D正確；
故選：BCD.
12．
【分析】按古典概型概率公式求解.
【詳解】同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，基本事件共有個(gè)；
設(shè)兩枚骰子點(diǎn)數(shù)之和為4為事件，則事件包含：，，共3個(gè)基本事件，
所以.
故答案為：
13．或
【分析】首先將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，再分切線的斜率存在與不存在兩種情況討論，分別求出切線方程.
【詳解】圓：即，圓心為，半徑，
當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，直線恰好與圓相切；
當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線為，即，則，
解得，所求切線方程為，
綜上可得過點(diǎn)與圓相切的直線方程為或.
故答案為：或
14．
【分析】①根據(jù)向量加法的平行四邊形法則可得，從而得解；
②設(shè),利用空間向量基本定理中的推論四點(diǎn)共面得到, 設(shè),利用體積分割轉(zhuǎn)化將表示為然后利用得到的關(guān)系將此式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，適當(dāng)整理，利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性即可求得其取值范圍.
【詳解】根據(jù)題意，底面是平行四邊形ABCD，
所以，即得，
如圖所示，設(shè)，
，又A，M，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面，不共面，
，
設(shè)，則
，
由，求得，
當(dāng)時(shí)，取得最小值為，此時(shí)，當(dāng)，或時(shí)，
即當(dāng)或時(shí)取得最大值為，
故答案為：，

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：設(shè),利用空間向量基本定理中的推論四點(diǎn)共面得到, 設(shè),利用體積分割轉(zhuǎn)化將表示為然后利用得到的關(guān)系將此式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，適當(dāng)整理，利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性即可求得其取值范圍.
15．(1)樹狀圖見解析，樣本空間為
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)題意，列出樹狀圖，并寫出樣本空間即可；
（2）由第二次通過面試，即第一次沒有通過，第二次通過，結(jié)合相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，即可求解；
（3）先求出未通過面試的概率，結(jié)合對(duì)立事件的概率求法，即可求解.
【詳解】（1）解：根據(jù)題意，可得樹狀圖及樣本點(diǎn)，如圖所示，
其樣本空間為.
（2）解：由題意知，，
所以第二次答題通過面試的概率.
（3）解：由題意，李明未通過的概率為，
所以李明通過面試的概率為.
16．(1)，
(2)噸
(3)
【分析】（1）結(jié)合圖中數(shù)據(jù)，由直方圖中所有長方形的面積之和為1列出等式，即可求出答案；
（2）由頻率分布直方圖中平均數(shù)的求法，直接計(jì)算即可；
（3）結(jié)合圖中數(shù)據(jù)易知標(biāo)準(zhǔn)在中，由此即可求出的估計(jì)值.
【詳解】（1）由頻率分布直方圖可得
，
又，則，.
（2）該市居民用水的平均數(shù)估計(jì)為：
（噸）.
（3）因的頻率為，
的頻率為，
故的估計(jì)值為（噸）．
所以有的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)（噸）．
17．(1)
(2)
(3).
【分析】（1）先求出AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出中線的斜率，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程即可求解；
（2）根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)表示求出AB的斜率，進(jìn)而可得直線AB、BC的中垂線方程，聯(lián)立方程組，解之可得，結(jié)合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解；
（3）根據(jù)兩圓的方程相減可得，利用點(diǎn)線距公式和幾何法求弦長計(jì)算即可求解.
【詳解】（1）AB中點(diǎn)為，所以其中線方程為.
（2），直線AB的中垂線方程為，
同理直線BC的中垂線方程為，
，解得，即，
所以所求圓標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（3）由題意，圓與的方程相減，得，
直線AB的距離為，
所以.
18．(1)證明見解析
(2)
(3)存在，或
【分析】（1）應(yīng)用線面垂直的判定定理證明線面垂直關(guān)系，再由性質(zhì)定理得到線線垂直關(guān)系，進(jìn)而再利用判定定理證明所求證的線面垂直關(guān)系；
（2）以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.用向量法求與平面所成角的大??；
（3）假設(shè)存在點(diǎn)，使平面與平面成角余弦值為，設(shè)，分別求解兩平面的法向量，用表示余弦值解方程可得.
【詳解】（1）因?yàn)樵谥?，，，且?br>所以，，則折疊后，，
又平面，
所以平面，平面，所以，
又已知，且都在面內(nèi)，所以平面；
（2）由（1），以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.
因?yàn)椋剩?br>由幾何關(guān)系可知，，，，
故，，，，，，
，，，
設(shè)平面的法向量為，則，即，
不妨令，則，，.
設(shè)與平面所成角的大小為，
則有，
設(shè)為與平面所成角，故，
即與平面所成角的大小為；
（3）假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使平面與平面成角余弦值為.
在空間直角坐標(biāo)系中，，，，
設(shè)，則，，
設(shè)平面的法向量為，則有，即，
不妨令，則，，所以，
設(shè)平面的法向量為，則有，即，
不妨令，則，，所以，
若平面與平面成角余弦值為.
則滿足，
化簡得，解得或，即或，
故在線段上存在這樣的點(diǎn)，使平面與平面成角余弦值為. 此時(shí)的長度為或.
19．(1)
(2)（?。?，5；（ⅱ）證明見解析
【分析】（1）利用橢圓的定義判斷軌跡，即可求出方程．
（2）（ⅰ）聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出，寫出關(guān)于k的表達(dá)式分析可得．（ⅱ）分情況討論，當(dāng)切線斜率存在時(shí)，根據(jù)切線與橢圓只有一個(gè)切點(diǎn)，利用以及根與系數(shù)的關(guān)系，得到QA，QB的斜率關(guān)系，即可證得．
【詳解】（1）由題意可知，，
所以P點(diǎn)軌跡是以F，E為焦點(diǎn)，4為長軸長的橢圓，
即，，所以，
所以曲線C的方程，即橢圓方程為．

（2）（?。┯上?，，
由，得，
設(shè)，，則，，
所以
，
當(dāng)為常數(shù)d時(shí)，即與無關(guān)，
令，得，此時(shí)恒成立，
即當(dāng)時(shí)，．
（ii）證明：設(shè)，則
當(dāng)兩切線中有一條切線斜率不存在時(shí)，即與x軸垂直時(shí)，切線方程為，
即，得，
所以另一條切線方程為，即與x軸平行，
顯然，兩切線垂直，即．
當(dāng)斜率存在時(shí)，，設(shè)切線方程為，
由，
消去y，得，
由，
化簡得．
設(shè)兩條切線的斜率分別為，，
因?yàn)?，所以?br>所以兩條切線相互垂直，即．
綜上，．

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為、；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；
（3）列出韋達(dá)定理；
（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.

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