考生注意：
1.本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.
2.答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內項目填寫清楚.
3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.
4.本卷命題范圍：選擇性必修第一冊第一章和第二章.
一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 在空間直角坐標系中，點關于軸對稱的點的坐標是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】在空間直角坐標系中，點關于軸對稱的點的坐標為.
故選：C.
2. 直線的一個方向向量為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，得，所以直線的斜率為，
又當直線斜率存在時，直線的一個方向向量為，所以直線的一個方向向量為，
故選：C.
3. 若直線的一個方向向量為，直線的一個方向向量為，則直線所成角的大小為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】設直線所成角為，
所以，
所以.
故選：B.
4. 已知圓關于直線對稱，則實數(shù)（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】A
【解析】由，得，故圓心為，
又因為圓關于直線對稱，
故圓心在直線上，則.
故選：A.
5. 已知點，若過點的直線與線段AB相交，則該直線斜率的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D. [1,4]
【答案】D
【解析】記為點，則直線PA的斜率，直線PB的斜率，
因為直線過點，且與線段AB相交，結合圖象，可得直線的斜率的取值范圍是[1,4].
故選：D．
6. 已知直線的一個方向向量為，平面的一個法向量為，則直線與平面的關系是（ ）
A. B.
C. D. 或
【答案】D
【解析】因，
所以，則或.
故選：D.
7. 如圖，在正方體中，分別是棱的中點，則點到直線的距離為（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】B
【解析】如圖，以為原點，的方向為軸建立空間直角坐標系，如下所示：
易知，
，;
取，
，
則，
所以點到直線的距離為．
故選：B.
8. 已知，是圓上兩點，且，若直線上存在點使得，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由題意可知:圓的圓心為，半徑，
設中點為，則，且，可得，
又因為，可知為等腰直角三角形，
則，可得，
故點的軌跡是以原點為圓心，為半徑的圓，
因為直線上存在點使得，
即直線與圓有交點，
即圓心到直線的距離，解得或.

故選：A.
二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知直線過點，且在軸上的截距是軸上的截距的3倍，則直線的方程為（ ）
A B.
C. D.
【答案】BD
【解析】當截距為0時，設直線的方程為，
將點代入可得，所以，即;
當截距不等于0時，設直線的方程為，
將點代入可得，解得，
所以直線的方程為，即，
所以直線的方程為或.
故選：BD.
10. 下列圓中與圓相切的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】由題知，圓的圓心為，半徑為4.
A選項，的圓心為，半徑為2，
故，
由于，所以圓與內切，A正確；
B選項，的圓心為，半徑為1，故，
由于，故圓與外切，B正確；
C選項，的圓心為，半徑為4，故，
由于，故圓與不相切，C錯誤;
D選項，的圓心為，半徑為1，
故，
由于，故圓與不相切，D錯誤.
故選：AB．
11. 如圖，四棱錐中，底面，底面為正方形，且，分別為的中點，則（ ）
A.
B. 與所成角的余弦值是
C. 點到平面的距離為
D. 過點的平面截四棱錐的截面面積為
【答案】AC
【解析】如圖，以點為原點，以所在直線為軸建立空間直角坐標系，
則，
，，所以，故A正確；
，則與所成角的余弦值為，故B錯誤；
，設平面的法向量為n=x,y,z，
則令，可得，
則點到平面的距離為，故C正確；
設過點的平面與線段的交點為，
則，
因為共面，則共面，
故存在唯一實數(shù)對使得，
即，
所以 解得，
所以，則，因為，
所以，
所以過點的平面截四棱錐的截面面積為
，故D錯誤．故選：AC.
三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知，則線段的中點坐標為___________.
【答案】
【解析】因為，所以線段的中點坐標為，
故答案為：.
13. 若直線與直線平行，則與之間的距離為___________.
【答案】
【解析】因為直線與直線平行，
所以直線斜率存在，且，得到，此時，
即，滿足，
所以與之間的距離，
故答案為：.
14. 空間直角坐標系中，過點且一個法向量為的平面的方程為，閱讀上面材料，解決下面問題：已知平面的方程為，直線是兩平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值為___________.
【答案】
【解析】法一:因為平面的方程為，
所以平面的一個法向量，
又直線:上有兩個點，
所以直線的方向向量為，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
故答案為：．
法二:由題知兩平面與的法向量分別為
，
設直線的一個方向向量，
則
即
取，則，
又平面的法向量，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
故答案為：．
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 求滿足下列條件的圓的標準方程.
（1）圓心為，經(jīng)過點；
（2）圓心在直線上，且與軸交于點.
解：（1）由兩點間的距離公式可得圓的半徑
故圓的標準方程為
（2）因為圓與y軸交于點，所以圓心在直線y=3上.
又圓心在直線上，所以圓心的坐標為，
所以圓的半徑，
故圓的標準方程為.
16. 已知向量，，.
（1）當時，若向量與垂直，求實數(shù)的值；
（2）若向量與向量、共面，求實數(shù)的值.
解：（1）因為，所以，解得，即.
由，且，
得，解得.
（2）因向量與向量、共面，所以設，
因此，
即，
解得，故的值為.
17. 已知的三個頂點是.
（1）求BC邊上的高所在直線的方程;
（2）若直線過點，且點A，B到直線的距離相等，求直線的方程.
解：（1）因為，所以BC邊上的高所在直線的斜率為1，
所以BC邊上高所在直線為，即.
（2）因為點A，B到直線的距離相等，
所以直線與AB平行或過AB的中點，
①當直線與AB平行，
所以，
所以，即.
②當直線過AB的中點，
所以，所以，即.
綜上，直線的方程為或.
18. 已知以點為圓心圓與軸交于點，與軸交于點N，O為坐標原點.（M，N與不重合）
（1）求證：的面積為定值;
（2）設直線與圓交于點A，B，若，求實數(shù)的值；
（3）在（2）的條件下，設P，Q分別是直線和圓上的動點，求|PQ|的最小值及此時點的坐標.
解：（1）由圓的方程，
化簡得，
其與軸，軸的交點分別為:，
所以為定值.
（2）如圖①所示，因為，所以.
又OC的斜率，所以，解得（負數(shù)舍去），
（3）如圖②所示，由②知:圓的方程為:，圓心，半徑.
設點關于直線的對稱點為，
則中點為，且解得，即，
則，
又點到圓上點的最短距離為，
則的最小值為，
此時直線的方程為:，即.
點為直線與直線的交點，則解得即點
19. 在中，，，，分別是上的點，滿足且經(jīng)過的重心，將沿折起到的位置，使，是的中點，如圖所示.
（1）求證：平面；
（2）求與平面所成角的大??；
（3）在線段上是否存在點，使平面與平面成角余弦值為？若存在，求出的長度；若不存在，請說明理由.
解：（1）因為在中，，，且，
所以，，則折疊后，，
又平面，
所以平面，平面，
所以，
又已知，且都面內，
所以平面；
（2）由（1），以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系.
因為，
故，
由幾何關系可知，，，，
故，，，，，，
，，，
設平面的法向量為，
則，
即，
不妨令，則，，.
設與平面所成角的大小為，
則有，
設為與平面所成角，故，
即與平面所成角的大小為；
（3）假設在線段上存在點，使平面與平面成角余弦值為.
在空間直角坐標系中，，，，
設，則，，
設平面的法向量為，則有，
即，
不妨令，
則，，
所以，
設平面的法向量為，則有，
即，
不妨令，則，，所以，
若平面與平面成角余弦值為.
則滿足，
化簡得，解得或，即或，
故在線段上存在這樣的點，使平面與平面成角余弦值為. 此時的長度為或.

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