1．（3分）在下列實數中：0，，﹣3.1415，，，π，無理數有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
2．（3分）下列等式成立的是（ ）
A．＝﹣2B．＝±4C．＝4D．＝1
3．（3分）如果x2+mx+是一個關于x的完全平方式，那么m的值為（ ）
A．B．±C．D．±
4．（3分）如圖，從電線桿離地面6米處向地面拉一條10米長的鋼纜，地面鋼纜固定點A到電線桿底部B的距離AB是（ ）米．
A．6B．7C．8D．9
5．（3分）下列運算，結果正確的是（ ）
A．（x3）2＝x6B．（2ab2）3＝8a3b5
C．x8÷x2＝x4D．b3?b3＝2b3
6．（3分）若（x+a）2＝x2﹣10x+b，則a、b的值分別為（ ）
A．2，4B．5，﹣25C．﹣2，25D．﹣5，25
7．（3分）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，D是AB的中點，過點D作BC的平行線交AC于點E，作BC的垂線交BC于點F，若AB＝CE，且△DFE的面積為1，則BC的長為（ ）
A．2B．5C．4D．10
8．（3分）下列四組線段中，可以構成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3B．2，3，4
C．4，5，6D．5a，12a，13a（a＞0）
9．（3分）如圖，在△ABC中，點D在AC上，沿AC將△ABC對折，點B與點E重合，則圖中全等的三角形有（ ）
A．3對B．2對C．4對D．1對
10．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，S△ABC＝60，AD⊥BC于點D，EF垂直平分AB，交AB于點E、AC于點F，在EF上確定一點P，使PB+PD最小，則這個最小值為（ ）
A．10B．11C．12D．13
二、填空題（每小題3分，共15分）
11．（3分）實數﹣2的整數部分是 ．
12．（3分）計算：的結果是 ．
13．（3分）現有四個命題：
①過一點有且只有一條直線與已知直線平行；
②三角形的三條角平分線交于一點；
③如果a⊥b，a⊥c，那么b∥c；
④在同一平面內，如果兩直線不相交，那么它們就平行．
其中是假命題的是 ．
14．（3分）如圖，棱長為1的正方體中，一只螞蟻從A頂點出發(fā)沿著正方體的外表面爬到B頂點的最短路程是 ．
15．（3分）如圖，△ABC≌△DEF（點A、B分別與點D、E對應），AB＝AC＝5，BC＝6，△ABC固定不動，△DEF運動，并滿足點E在BC邊從B向C移動（點E不與B、C重合），DE始終經過點A，EF與AC邊交于點M，當△AEM是等腰三角形時，BE＝ ．
三、解答題（本大題共8個小題，滿分75分）
16．（8分）計算：
（1）；
（2）3x5y3?（﹣4x2y2）÷（﹣2x2y）3．
17．（8分）因式分解：
（1）（x﹣1）（x﹣3）+1；
（2）（a+b）（a﹣b）+4（b﹣1）．
18．（9分）先化簡，再求值：
已知x﹣y＝1，求（x+y）（x﹣y）+（y﹣1）2﹣x（x﹣2）的值．
19．（9分）如圖，在△ABC中，分別以AC，BC為邊作等邊△ACD和等邊△BCE，連接AE，BD交于點F．
（1）求證：△ACE≌△DCB；
（2）求∠AFB的度數．
20．（10分）（1）用尺規(guī)作AB邊的中垂線，交BC于點P．
（2）直接寫出PC，PA，BC之間的數量關系．
21．（10分）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對邊長，且a+b＝7，c＝5，求Rt△ABC的面積．
22．（10分）若x滿足（60﹣x）（x﹣40）＝20，求（60﹣x）2+（x﹣40）2的值．
解：設60﹣x＝a，x﹣40＝b，
則ab＝20，a+b＝60﹣x+x﹣40＝20．
∴（60﹣x）2+（x﹣40）2．
＝a2+b2
＝（a+b）2﹣2ab
＝202﹣2×20
＝360．
（1）若x滿足（70﹣x）（x﹣20）＝﹣30，求（70﹣x）2+（x﹣20）2的值；
（2）若x滿足，求（3﹣4x）2+4（2x﹣5）2的值．友情提示（2）中的4（2x﹣5）2可通過逆用積的乘方公式變成[2（2x﹣5）]；
（3）若x滿足（2023﹣x）2+（2020﹣x）2＝2061，求（2023﹣x）（2020﹣x）的值．
23．（11分）【基本模型】如圖，ABCD是正方形，∠EAF＝45°，當E在BC邊上，F在CD邊上時，如圖1，BE、DF與EF之間的數量關系為 ．
【模型運用】當E點在BC的延長線上，F在CD的延長線上時，如圖2，請你探究BE、DF與EF之間的數量關系，并證明你的結論： ．
【拓展延伸】如圖3，已知AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E在線段BC上，F在線段CD上，，請你直接寫出BE、DF與EF之間的數量關系．
2023-2024學年河南省周口市淮陽區(qū)重點中學八年級（上）期中數學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（下面各題均有四個答案，其中只有一個是正確的，請將正確答案的序號填涂在答題卡相應位置．每小題3分，共30分）
1．【分析】根據無理數的概念判斷．
【解答】解：在所列實數中無理數有，π這2個數，
故選：B．
【點評】此題主要考查了無理數的定義，注意帶根號的要開不盡方才是無理數，無限不循環(huán)小數為無理數．如π，，0.8080080008…（每兩個8之間依次多1個0）等形式．
2．【分析】分別根據算術平方根的定義化簡即可判斷．
【解答】解：A.＝2，故本選項不合題意；
B.＝4，故本選項不合題意；
C.＝2，故本選項不合題意；
D.＝1，故本選項符合題意．
故選：D．
【點評】本題主要考查了算術平方根和二次根式的性質，熟練掌握二次根式的性質是解答本題的關鍵．
3．【分析】先根據兩平方項確定出這兩個數，再根據完全平方公式的乘積二倍項即可確定m的值．
【解答】解：∵x2+mx+＝x2+mx+（）2，
∴mx＝±2x?，
解得m＝±．
故選：B．
【點評】本題考查了完全平方式，根據平方項確定出這兩個數是解題的關鍵，也是難點，熟記完全平方公式對解題非常重要．
4．【分析】從題意可知，電線桿，鋼纜和固定點A到電線桿底部B的線段，構成了直角三角形，鋼纜是斜邊，根據勾股定理可求出解．
【解答】解：∵鋼纜是電線桿，鋼纜，線段AB構成的直角三角形的斜邊，
又∵鋼纜長度為10米，從電線桿到鋼纜的上端為6米，
∴（米），
故選：C．
【點評】本題考查勾股定理的應用，解題的關鍵是正確解三角形．
5．【分析】根據冪的乘方與積的乘方、同底數冪的乘法、同底數冪的除法，可以計算出正確的結果，然后即可判斷哪個選項符合題意．
【解答】解：（x3）2＝x6，故選項A正確，符合題意；
（2ab2）3＝8a3b6，故選項B錯誤，不符合題意；
x8÷x2＝x6，故選項C錯誤，不符合題意；
b3?b3＝b6，故選項D錯誤，不符合題意；
故選：A．
【點評】本題考查冪的乘方與積的乘方、同底數冪的乘法、同底數冪的除法，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵．
6．【分析】已知等式左邊利用完全平方公式展開，再利用多項式相等的條件求出a與b的值即可．
【解答】解：已知等式整理得：x2+2ax+a2＝x2﹣10x+b，
可得2a＝﹣10，a2＝b，
解得：a＝﹣5，b＝25，
故選：D．
【點評】此題考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．
7．【分析】過A作AH⊥BC于H，根據已知條件得到AE＝CE，求得DE＝BC，求得DF＝AH，根據三角形的面積公式得到DE?DF＝2，得到AB?AC＝8，求得AB＝2（負值舍去），根據勾股定理即可得到結論．
【解答】解：過A作AH⊥BC于H，
∵D是AB的中點，
∴AD＝BD，
∵DE∥BC，
∴AE＝CE，
∴DE＝BC，
∵DF⊥BC，
∴DF∥AH，DF⊥DE，
∴BF＝HF，
∴DF＝AH，
∵△DFE的面積為1，
∴DE?DF＝1，
∴DE?DF＝2，
∴BC?AH＝2DE?2DF＝4×2＝8，
∴AB?AC＝8，
∵AB＝CE，
∴AB＝AE＝CE＝AC，
∴AB?2AB＝8，
∴AB＝2（負值舍去），
∴AC＝4，
∴BC＝＝2，
故選：A．
【點評】本題考查了三角形中位線定理，三角形的面積的計算，勾股定理，平行線的判定和性質，正確的識別圖形是解題的關鍵．
8．【分析】先求出兩小邊的平方和，再求出最長邊的平方，最后看看是否相等即可．
【解答】解：A、12+22≠32，故不是直角三角形，不符合題意；
B、22+32≠42，故不是直角三角形，不符合題意；
C、42+52≠62，故不是直角三角形，不符合題意；
D、（5a）2+（12a）2＝（13a）2，故是直角三角形，符合題意．
故選：D．
【點評】此題主要考查了勾股定理逆定理，關鍵是掌握如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個三角形就是直角三角形．
9．【分析】由折疊的性質可得AB＝AE，BC＝CE，∠BAC＝∠CAE，∠ACB＝∠ACE，由“SAS”可證△ABD≌△AED，△BCD≌△ECD，即可求解．
【解答】解：∵沿AC將△ABC對折，點B與點E重合，
∴△ABC≌△AEC，
∴AB＝AE，BC＝CE，∠BAC＝∠CAE，∠ACB＝∠ACE，
在△ABD和△AED中，
，
∴△ABD≌△AED（SAS），
同理可得△BCD≌△ECD，
∴全等的三角形有3對，
故選：A．
【點評】本題考查了折疊的性質，全等三角形的判定和性質，掌握折疊的性質是本題的關鍵．
10．【分析】根據三角形的面積公式得到AD＝12，由EF垂直平分AB，得到點A，B關于直線EF對稱，于是得到AD的長度＝PB+PD的最小值，即可得到結論．
【解答】解：∵AB＝AC，BC＝10，S△ABC＝60，AD⊥BC于點D，
∴AD＝12，
∵EF垂直平分AB，
∴點A，B關于直線EF對稱，
∴EF與AD的交點即為P的，此時PA＝PB，PB+PD＝PA+PD＝AD，AD的長度＝PB+PD的最小值，
即PB+PD的最小值為12，
故選：C．
【點評】本題考查了軸對稱﹣最短路線問題，線段的垂直平分線的性質，等腰三角形的性質，知道AD的長度＝PB+PD的最小值是解題的關鍵．
二、填空題（每小題3分，共15分）
11．【分析】首先得出的取值范圍，進而得出﹣2的整數部分．
【解答】解：∵5＜＜6，
∴﹣2的整數部分是：3．
故答案為：3．
【點評】此題主要考查了估計無理數大小，得出的取值范圍是解題關鍵．
12．【分析】直接利用積的乘方運算法則將原式變形得出答案．
【解答】解：原式＝[（﹣2）（+2）]2020
＝1．
【點評】此題主要考查了二次根式的混合運算，正確掌握二次根式的混合運算法則是解題關鍵．
13．【分析】根據平行線的判定及性質、平行公理、三角形角平分線判斷即可．
【解答】解：①過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，原命題是假命題；
②三角形的三條角平分線交于一點，是真命題；
③在同一平面內，如果a⊥b，a⊥c，那么b∥c，是假命題；
④在同一平面內，如果兩直線不相交，那么它們就平行，是真命題；
故答案為：①③．
【點評】本題主要考查命題與定理知識，熟練掌握平行線的判定及性質、平行公理、三角形角平分線是解答此題的關鍵．
14．【分析】首先將正方體展開，然后根據勾股定理求得最短路徑即可．
【解答】解：將正方體展開，根據“兩點之間，線段最短”知，線段AB即為最短路線．
AB＝＝．
故答案為：．
【點評】本題考查了最短路徑問題，解題的關鍵是能夠將立體圖形轉化為平面圖形進行計算，難度不大．
15．【分析】首先由∠AEF＝∠B＝∠C，且∠AME＞∠C，可得AE≠AM，然后分別從AE＝EM與AM＝EM去分析，注意利用全等三角形與相似三角形的性質求解即可求得答案；
【解答】解：∵∠AEF＝∠B＝∠C，且∠AME＞∠C，
∴∠AME＞∠AEF，
∴AE≠AM；
當AE＝EM時，則△ABE≌△ECM，
∴CE＝AB＝5，
∴BE＝BC﹣EC＝6﹣5＝1，
當AM＝EM時，則∠MAE＝∠MEA，
∴∠MAE+∠BAE＝∠MEA+∠CEM，
即∠CAB＝∠CEA，
又∵∠C＝∠C，
∴△CAE∽△CBA，
∴＝，
∴CE＝＝，
∴BE＝6﹣＝；
∴BE＝1或．
故答案為1或．
【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定和性質、等腰三角形的性質，熟練掌握性質定理是解題的關鍵．
三、解答題（本大題共8個小題，滿分75分）
16．【分析】（1）先計算立方根、算術平方根，取絕對值符號，再合并同類二次根式即可得；
（2）先計算乘法和乘方，再計算除法可得．
【解答】解：（1）原式＝﹣3+4﹣（3﹣）﹣
＝1﹣3+﹣
＝﹣2；
（2）原式＝﹣12x7y5÷（﹣8x6y3）＝xy2．
【點評】本題主要考查實數與整式的混合運算，解題的關鍵是掌握整式混合運算順序和運算法則．
17．【分析】（1）先利用整式乘法展開括號，合并之后，再通過完全平方公式進行因式分解；
（2）先利用整式乘法展開括號，合并之后，再進行分組分解，通過完全平方公式、平方差公式進行因式分解．
【解答】解：（1）（x﹣1）（x﹣3）+1
＝x2﹣4x+4
＝（x﹣2）2；
（2）（a+b）（a﹣b）+4（b﹣1）
＝a2﹣b2+4b﹣4
＝a2﹣（b2﹣4b+4）
＝a2﹣（b﹣2）2
＝[a+（b﹣2）][a﹣（b﹣2）]
＝（a+b﹣2）（a﹣b+2）．
【點評】本題考查因式分解，正確進行因式分解是解題關鍵．
18．【分析】根據平方差公式、完全平方公式和單項式乘多項式可以化簡題目中的式子，然后將x﹣y＝1代入化簡后的式子即可解答本題．
【解答】解：（x+y）（x﹣y）+（y﹣1）2﹣x（x﹣2）
＝x2﹣y2+y2﹣2y+1﹣x2+2x
＝2x﹣2y+1，
當x﹣y＝1時，原式＝2（x﹣y）+1＝2×1+1＝3．
【點評】本題考查整式的混合運算—化簡求值，解答本題的關鍵是明確整式化簡求值的方法．
19．【分析】（1）由“SAS”可證△ACE≌△DCB；
（2）由全等三角形的性質可得∠AEC＝∠DBC，可求∠AEB+∠DBE＝120°，由外角的性質可求解．
【解答】（1）證明：∵△ADC和△CEB都是等邊三角形，
∴AC＝DC，CE＝CB，∠ACD＝∠BCE＝60°，
∴∠ACE＝∠DCB，
在△ACE和△DCB中，
，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
（2）解：∵△ACE≌△DCB，
∴∠AEC＝∠DBC，
∴∠AEB+∠DBE＝120°，
∴∠AFB＝∠AEB+∠DBE＝120°．
【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質，等邊三角形的性質，掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵．
20．【分析】（1）利用尺規(guī)，根據要求作出圖形即可．
（2）根據線段的垂直平分線的性質解決問題即可．
【解答】解：（1）如圖，直線PQ即為所求作．
（2）結論：BC＝PA+PC．
理由：∵PQ垂直平分線段AB，
∴PA＝PB，
∴PA+PB＝PB+PC＝BC．
【點評】本題考查作圖﹣基本作圖，線段的垂直平分線的性質等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．
21．【分析】利用勾股定理列出關系式，再利用完全平方公式變形，將a+b與c的值代入求出2ab的值，即可確定出直角三角形的面積．
【解答】解：∵a+b＝7，
∴（a+b）2＝49，
∴2ab＝49﹣（a2+b2）＝49﹣c2＝49﹣25＝24
∴ab＝6．
答：Rt△ABC的面積是6．
【點評】本題考查了勾股定理，這里不要去分別求a，b的值，熟練運用完全平方公式的變形和勾股定理．
22．【分析】（1）根據例題的解題思路進行計算，即可解答；
（2）將轉化為（3﹣4x）[2（2x﹣5）]＝9，即（3﹣4x）（4x﹣10）＝9，再根據例題的解題思路進行計算，即可解答；
（3）根據例題的解題思路進行計算，即可解答．
【解答】解：（1）設70﹣x＝m，x﹣20＝n，則mn＝﹣30，m+n＝（70﹣x）+（x﹣20）＝50，
∵m2+n2＝（m+n）2﹣2mn，
∴m2+n2＝502﹣2×（﹣30）＝2560；
（2）∵，
∴（3﹣4x）[2（2x﹣5）]＝9，即（3﹣4x）（4x﹣10）＝9，
設3﹣4x＝s，4x﹣10＝t，則s+t＝﹣7，st＝9，
∵（3﹣4x）2+4（2x﹣5）2＝（3﹣4x）2+22×（2x﹣5）2＝（3﹣4x）2+（4x﹣10）2，
∴（3﹣4x）2+4（2x﹣5）2＝s2+t2
＝（s+t）2﹣2st
＝（﹣7）2﹣2×9
＝31；
（3）設2023﹣x＝p，2020﹣x＝q，則p﹣q＝3，p2+q2＝2061，
∴2pq＝（p2+q2）﹣（p﹣q）2
＝2061﹣32
＝2052，
∴pq＝1026，
∴（2023﹣x）（2020﹣x）＝1026．
【點評】本題考查了完全平方公式的運用，解題的關鍵是靈活運用公式解決問題．
23．【分析】【基本模型】結論：EF＝BE+DF．將△ADF繞點A順時針旋轉，使AD與AB重合，得到△ABF′，然后求出∠EAF′＝∠EAF＝45°，利用“邊角邊”證明△AEF和△AEF′全等，根據全等三角形對應邊相等可得EF＝EF′，從而得解；
【模型運用】結論：EF＝BE﹣DF，證明方法類似（1）；
【拓展延伸】結論：EF＝BE+DF．將△ADF繞點A順時針旋轉，使AD與AB重合，得到△ABF′，根據旋轉變換的性質可得△ADF和△ABF′全等，根據全等三角形對應角相等可得∠BAF′＝∠DAF，對應邊相等可得AF′＝AF，BF′＝DF，對應角相等可得∠ABF′＝∠D，再根據∠EAF＝∠BAD證明∠EAF′＝∠EAF，并證明E、B、F′三點共線，然后利用“邊角邊”證明△AEF和△AEF′全等，根據全等三角形對應邊相等可得EF′＝EF，從而得解．
【解答】解：【基本模型】結論：EF＝BE+DF．
理由：如圖1，將△ADF繞點A順時針旋轉，使AD與AB重合，得到△ABF′，
∵∠EAF＝45°，
∴∠EAF′＝∠EAF＝45°，
在△AEF和△AEF′中，
，
∴△AEF≌△AEF′（SAS），
∴EF＝EF′，
又EF′＝BE+BF′＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF．
故答案為：EF＝BE+DF；
【模型運用】結論：EF＝BE﹣DF．
理由：如圖2，將△ADF繞點A順時針旋轉，使AD與AB重合，得到△ABF′，
∵∠EAF＝45°，
∴∠EAF′＝∠EAF＝45°，
在△AEF和△AEF′中，
，
∴△AEF≌△AEF′（SAS），
∴EF＝EF′，
又EF′＝BE﹣BF′＝BE﹣DF，
∴EF＝BE﹣DF．
故答案為：EF＝BE﹣DF；
【拓展延伸】結論：EF＝BE+DF．
理由：如圖3，將△ADF繞點A順時針旋轉，使AD與AB重合，得到△ABF′，
則△ADF≌△ABF′，
∴∠BAF′＝∠DAF，AF′＝AF，BF′＝DF，∠ABF′＝∠D，
又∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠EAF＝∠DAF+∠BAE＝∠BAE+∠BAF′，
∴∠EAF＝∠EAF′，
又∵∠ABC+∠D＝180°，
∴∠ABF′+∠ABE＝180°，
∴F′、B、E三點共線，
在△AEF與△AEF′中，
，
∴△AEF≌△AEF′（SAS），
∴EF＝EF′，
又∵EF′＝BE+BF′，
∴EF＝BE+DF．
【點評】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，旋轉變換的性質，利用旋轉變換構造出全等三角形是解題的關鍵，也是本題的難點．

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