2024.11
注意事項：
1.答題前，考生務(wù)必在答題卡上將自己的學(xué)校、姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色簽字筆填寫清楚，考生考試條形碼由監(jiān)考老師粘貼在答題卡上的“條形碼粘貼處”.
2.選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡上對應(yīng)題目標(biāo)號的位置上，如需改動，用橡皮擦擦干凈后再填涂其它答案；非選擇題用0.5毫米黑色簽字筆在答題卡的對應(yīng)區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域答題的答案無效；在草稿紙上、試卷上答題無效.
一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合要求）
1.函數(shù)，的值域為（ ）
A.B.C.D.
2.已知集合，，則（ ）
A.B.C.D.
3.若函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條不間斷的曲線，則“”是“函數(shù)在區(qū)間上有零點”的（ ）
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
4.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A.B.C.D.
5.已知，，且，則的最小值為（ ）
A.B.C.D.12
6.已知圖①對應(yīng)的函數(shù)為，則圖②對應(yīng)的函數(shù)是（ ）
圖① 圖②
A.B.C.D.
7.已知函數(shù)是偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，則不等式的解集為（ ）
A.B.
C.D
8.若實數(shù)，，滿足，.用表示，，中最小的數(shù)，則的最大值為（ ）
A.B.C.D.
二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）
9.下列命題中，是真命題的有（ ）
A.，B.，
C.，D.，
10.已知角滿足，，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A.B.
C.D.
11.定義在上的函數(shù)同時滿足以下條件：①；②；③當(dāng)時，.則下列結(jié)論正確的有（ ）
A.在上單調(diào)遞增B.
C.（）D.
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）
12.已知函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為______.
13.已知的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，，，則使得有兩組解的的值為______.（寫出滿足條件的一個整數(shù)值即可）
14.已知非空集合，.若，則的值______.
四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
15.（本小題滿分13分）
中國是茶的故鄉(xiāng)，茶文化源遠(yuǎn)流長，博大精深.某興趣小組，為了了解當(dāng)?shù)鼐用駥炔璧膽B(tài)度，隨機調(diào)查了100人，并將結(jié)果整理如下：
（1）是否有90%的把握認(rèn)為該地居民喜歡喝茶與年齡有關(guān)？
（2）以樣本估計總體，用頻率代替概率.該興趣小組在當(dāng)?shù)叵矚g喝茶的人群中，隨機選出2人參加茶文化藝術(shù)節(jié).抽取的2人中，35歲以下的人數(shù)記為，求的分布列與期望.
參考公式：，其中.
參考數(shù)據(jù)：
16.（本小題滿分15分）
已知函數(shù)（），且.
（1）求的值及的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）將的圖象向右平移個單位，再將所得圖象上每個點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象.當(dāng)時，求不等式的解集.
17.（本小題滿分15分）
如圖，在棱長為2的正方體中，、、分別為棱、、的中點.
（1）求證：平面；
（2）求二面角的正切值.
18.（本小題滿分17分）
在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，.
（1）判斷的形狀；
（2）已知，，，點、是邊上的兩個動點（、不重合，且點靠近，點靠近）.記，，.
①當(dāng)時，求線段長的最小值；
②是否存在常數(shù)和，對于所有滿足題意的、，都有成立？若存在，求出和的值；若不存在，請說明理由.
參考公式：.
19.（本小題滿分17分）
已知函數(shù)，.
（1）當(dāng)時，求的極值；
（2）若實數(shù)滿足：存在，使得成立.
①求的取值范圍；
②請比較與的大小，并說明理由.
2024—2025學(xué)年第一學(xué)期期中檢測
高三數(shù)學(xué)參考答案
2024.11
15.【答案】（1）零假設(shè)為：該地居民喜歡喝茶與年齡沒有關(guān)系.
根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可以求得.
根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷不成立，因此可以認(rèn)為成立，
即沒有90%的把握認(rèn)為該地居民喜歡喝茶與年齡有關(guān).
（2）的取值可能為0，1，2.
則；；.
所以的分布列為：
所以的期望為.
16.【答案】（1），
因為，所以，，可得，，
又，所以，
所以，
由，，可得，，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為（）.
（2）因為圖象向右平移個單位得到，
再將圖象上各個點橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?倍得到，所以；
所以不等式為，不等式化為，
所以，所以，所以，
結(jié)合函數(shù)在上的圖象得，
所以原不等式的解集為.
17.【答案】（1）證明：正方體中，
，分別為棱，的中點，所以，
平面，平面，
所以，所以，
正方形中，為的中點，為的中點，
所以，所以，設(shè)、交點為，
則，
所以，即；
又、平面，，
所以平面.
（注：用空間向量法證明亦可）
（2）方法一：在中，過點作于，連.
由（1）知平面，故，
又、平面，所以平面，所以，
所以為二面角的平面角.
在中，，所以，
在，，所以，
所以，所以.
所以，所以，
在中，，，
所以，，
在中，，所以，
在中，.
所以二面角的正切值為.
方法二：如圖，以點為原點，分別以、、為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系.
因為正方體棱長為2，，，分別為棱，，的中點.
所以，，，，.
所以，.
由（1）知平面.
所以是平面的一個法向量，
設(shè)是平面的法向量，
則取，得，
所以，
所以二面角的余弦值為，
所以二面角的正切值為.
18.【答案】（1）在中，因為，且，
所以，
即，，
所以或者.
當(dāng)時，所以，為直角三角形；
當(dāng)時，所以，為等腰三角形.
綜上所述，為直角三角形或等腰三角形.
（2）①因為，所以，又，，所以，.
如圖，設(shè)，，
方法一：在中，由正弦定理，得，
所以.
在中，由正弦定理，得，
所以
.
因為，所以，
故當(dāng)，即時，.
方法二：在中，由正弦定理，得，
所以.
在中，由正弦定理，得，
所以
.
因為，所以，
故當(dāng)，即時，.
方法三：在中，由正弦定理，得，
所以.
在中，由正弦定理，得，
所以.
所以
，
因為，所以，
故當(dāng)，即時，.
②假設(shè)存在常數(shù)，，對于所有滿足題意的，，
都有成立，
則存在常數(shù)，，對于所有滿足題意的，，利用參考公式，有
.
由題意，是定值，所以，是定值，
對于所有滿足題意的，成立，故有，
因為，從而，
即，，所以.
故，.
思路二：也可以賦值：因為對于所有滿足題意的，，
都有，
取，則，則，
所以，
取，，則，，
則，即，所以.
再證明等式恒成立.
19.【答案】（1）當(dāng)時，，則，
所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，取極小值0，無極大值.
（注：不交代極大值，扣1分）
（2）①方法一：由（1）可知（當(dāng)且僅當(dāng)時取“＝”）.
在上式中，用代，則有（當(dāng)且僅當(dāng)時取“＝”）.
.
1° 若，則當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
又，則，
故不存在，使得成立，故不符合；
2° 若，則當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
又，則，
故不存在，使得成立，故不符合；
3° 若，則當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
又，令，即，此時，則，
所以存在，使得成立，故符合.
綜上所述，的取值范圍為.
方法二：因為存在，使得，
則存在，使得.
令，則，
令，則.
1° 若，則，單調(diào)遞增，
又，所以，即，單調(diào)遞增，
又，所以，故不存在，使得成立.
2° 若，令，則，則單調(diào)遞增.
若，即時，，即，單調(diào)遞增，
又，所以，即，單調(diào)遞增，
又，所以，故不存在，使得成立；
若，即時，
因為，，
又單調(diào)遞增，的圖象連續(xù)不間斷，
所以由零點存在性定理可知，使得，
所以當(dāng)時，，即，單調(diào)遞減，
又，所以當(dāng)時，，即，單調(diào)遞減，
又，所以當(dāng)時，，
故存在，使得成立.
綜上所述，的取值范圍為.
（注：若根據(jù)直觀想象給出一定的敘述，答案正確，給3分；若僅有答案且正確，沒有必要的敘述，給2分）
②因為，則當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
由①可知，則、，
所以要比較與的大小，即比較與的大小，
即比較與的大小.
令，則比較與的大小.
易知在上單調(diào)遞增，即比較與的大小，
即比較與的大小，即比較與的大小.
令（），則，所以當(dāng)時，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，單調(diào)遞減，又.
所以當(dāng)時，，即，
由在上單調(diào)遞增，可知，即，
又在上單調(diào)遞增，所以.
類似地，可得：當(dāng)時，；
當(dāng)或4時，；
當(dāng)時，.
（注：漏1種情況，扣1分；至多扣2分）
不喜歡喝茶
喜歡喝茶
合計
35歲以上（含35歲）
30
30
60
35歲以下
25
15
40
合計
55
45
100
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
D
A
B
C
B
C
D
BD
ABD
BCD
題號
12
13
14
答案
6，7，8，9任意一個均可
0
1
2

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