貴州省貴陽(yáng)市第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期適應(yīng)性月考（三）數(shù)學(xué)試卷(002)

這是一份貴州省貴陽(yáng)市第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期適應(yīng)性月考（三）數(shù)學(xué)試卷(002)，共12頁(yè)。試卷主要包含了在中，若，則為，設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系是，已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，已知函數(shù)，則下列正確的是等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1.答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)在答題卡上填寫(xiě)清楚.
2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，在試題卷上作答無(wú)效.
3.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.
一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1.已知集合，，則（ ）
A.B.C.D.
2.若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且，則的值為（ ）
A.B.C.D.
3.在平面直角坐標(biāo)系中，角以軸的非負(fù)半軸為始邊，終邊過(guò)點(diǎn)，則等于（ ）
A.B.C.D.
4.在中，若，則為（ ）
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
5.設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系是（ ）
A.B.C.D.
6.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則（ ）
A.B.C.D.
7.某校高二年級(jí)有80名同學(xué)參加2024年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽，參賽的男生有45人，女生有35人.根據(jù)統(tǒng)計(jì)分析，男生成績(jī)的平均數(shù)為，方差為，女生成績(jī)的平均數(shù)為，方差為，參賽選手總體成績(jī)的方差為，則（ ）
A.B.
C.D.
8.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，則的最小值是（ ）
A.B.C.D.
二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）
9.已知等差數(shù)列和等比數(shù)列的前項(xiàng)和分別為.和，且，則下列正確的是（ ）
A.B.C.D.
10.已知函數(shù)，則下列正確的是（ ）
A.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)B.的定義域?yàn)?br>C.有兩個(gè)零點(diǎn)D.存在等差數(shù)列，滿足
11.已知，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A.若，，且，則
B.存在，使得的圖象左移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)
C.當(dāng)時(shí)，函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，，，則的值是
D.若在上恰有2個(gè)極大值點(diǎn)和1個(gè)極小值點(diǎn)，則的取值范圍為
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）
12.已知命題：“，”為真命題，則的取值范圍是______.
13.如圖，已知為雙曲線右支上一點(diǎn)，過(guò)分別作雙曲線的兩條漸近線的平行線，與兩條漸近線分別交于點(diǎn)，，則四邊形OAPB的面積為_(kāi)_____.
14.已知，，且，，則的值為_(kāi)_____.
四、解答題（共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）
15.（本小題滿分13分）
已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；
（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
16.（本小題滿分15分）
如圖，已知正四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)都是2，過(guò)點(diǎn)B，D的平面滿足.
（1）作出平面截該正四棱錐所得的截面，要求寫(xiě)出作法并證明；
（2）求平面與底面ABCD所成的銳二面角的大小.
17.（本小題滿分15分）
已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，，使得對(duì)于定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，均有成立，則稱(chēng)函數(shù)為“可平衡”函數(shù)；有序數(shù)對(duì)稱(chēng)為函數(shù)的“平衡”數(shù)對(duì).
（1）若，判斷是否為“可平衡”函數(shù)，并說(shuō)明理由；
（2）已知為函數(shù)的“平衡”數(shù)對(duì)，求取最小值時(shí)的值.
18.（本小題滿分17分）
已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且離心率.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若點(diǎn)F為橢圓E的右焦點(diǎn)，過(guò)F作兩條互相垂直的直線，且分別與橢圓E相交得到弦AB，CD.設(shè)弦AB，CD的中點(diǎn)分別為M，N.證明：直線MN必過(guò)定點(diǎn).
19.（本小題滿分17分）
某校組織了投籃活動(dòng)幫助高三學(xué)生緩解壓力，該活動(dòng)的規(guī)則如下：
①每個(gè)投籃人一次投一球，連續(xù)投多次；
②當(dāng)投中2次時(shí)，這個(gè)投籃人的投籃活動(dòng)結(jié)束.
已知某同學(xué)一次投籃命中率為，每次投籃之間相互獨(dú)立.記該同學(xué)投籃次數(shù)為隨機(jī)變量.
（1）求該同學(xué)投籃次數(shù)為4次時(shí)結(jié)束比賽的概率；
（2）求該同學(xué)投籃次數(shù)（不超過(guò)）的分布列；
（3）在（2）的前提下，若，求的最小值.
貴陽(yáng)第一中學(xué)2025屆高考適應(yīng)性月考卷（三）
數(shù)學(xué)評(píng)分細(xì)則
一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
【解析】
1.由題意得，，所以，即，故選B.
2.，故選D.
3.由已知得，則，故選C.
4.若，則或，為等腰三角形或直角三角形，故選D.
5.，，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，故選A.
6.因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以解得所以，故選C.
7.設(shè)樣本總體均值為，分層方差與整體方差關(guān)系：，所以，故選D.
8.過(guò)，分別作準(zhǔn)線的垂線交于，，延長(zhǎng)AB交準(zhǔn)線于，記準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為.由圖可知：，，則
化簡(jiǎn)得：，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，故選A.
二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）
【解析】
9.因?yàn)榈炔顢?shù)列的前項(xiàng)和；等比數(shù)列的前項(xiàng)和且，所以等比數(shù)列的公比，即.不妨設(shè)，，是不為0的常數(shù)，則，，所以，，故選AC.
10.對(duì)于A，因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
A正確；對(duì)于B，由題知的定義域?yàn)?，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，令，則，如圖1，作函數(shù)與的圖象知有兩個(gè)交點(diǎn)，所以有兩個(gè)零點(diǎn)，C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)滿足題意，D正確，故選ACD.
11.因?yàn)?，所以周期，?duì)于A，由條件知，周期為，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，函數(shù)圖象左移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的函數(shù)為，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則，解得，，又，所以，B正確；對(duì)于C，函數(shù)，令，，可得：，.，令，可得一條對(duì)稱(chēng)軸方程為，令，可得一條對(duì)稱(chēng)軸方程為，函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，可知，關(guān)于其中一條對(duì)稱(chēng)軸是對(duì)稱(chēng)的，即，，關(guān)于其中一條對(duì)稱(chēng)軸是對(duì)稱(chēng)的，即，那么正確；對(duì)于D，令，由條件得，解得，故D正確，故選BCD.
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）
【解析】
12.由題知，，恒成立.當(dāng)時(shí)，滿足題意；當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)開(kāi)口向下，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，即可，解得.綜上，.
13.由題意得兩條漸近線的方程分別為，.因?yàn)?，，且，所以四邊形OAPB為矩形.設(shè)，則，，所以.因?yàn)?，所?
14.，且，.又，，，，
.，.
四、解答題（共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）
15.（本小題滿分13分）
解：（1）當(dāng)時(shí)，，，……（2分）
故.
又，……（4分）
所以所求切線方程為：，即.……（6分）
（2）當(dāng)時(shí)，.……（8分）
令（舍負(fù)），……（10分）
則
的增區(qū)間為，減區(qū)間為.……（13分）
16.（本小題滿分15分）
（1）證明：如圖，連接AC交BD于，取線段SC的中點(diǎn)，取線段EC的中點(diǎn)，連接AE，OF.
……（3分）
在正方形ABCD中，，
又.……（5分）
平面ABCD于.
又，平面.……（7分）
又，
平面BDF，故平面BDF即為所求平面.……（9分）
（2）解：建系如圖，，，
由（1）可知，分別為平面，平面ABCD的法向量.……（11分）
設(shè)平面與底面ABCD所成的銳二面角為，
則，，（14分）
故.……（15分）
17.（本小題滿分15分）
解：（1）若，由題意對(duì)于定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)成立，
即對(duì)于定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)成立，……（2分）
即對(duì)任意的實(shí)數(shù)均成立，故，……（5分）
故存在，使得為“可平衡”函數(shù).……（6分）
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，，使得對(duì)于定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，均有成立，
則，
.（9分）
為函數(shù)的“平衡”數(shù)對(duì)，
.……（11分）
令，
在上單調(diào)遞減，……（13分）
故當(dāng)，即時(shí)，取最小值.……（15分）
18.（本小題滿分17分）
解：（1）依題意，，且，所以，.……（3分）
又橢圓E：過(guò)點(diǎn)，所以，
所以橢圓的方程為.……（5分）
（2）當(dāng)直線AB不垂直于坐標(biāo)軸時(shí)，設(shè)直線AB的方程為，，，
由，得直線CD的方程為，……（6分）
由消去得：，……（8分）
則，，故，
于是，由代替，得，……（10分）
當(dāng)，即時(shí)，直線，過(guò)點(diǎn)；……（12分）
當(dāng)，即時(shí)，直線MN的斜率為，……（14分）
直線，
令，，
因此直線MN恒過(guò)點(diǎn).……（16分）
當(dāng)直線AB，CD之一垂直于軸，另一條必垂直于軸，直線MN為軸，過(guò)點(diǎn)，
所以直線MN恒過(guò)點(diǎn).……（17分）
19.（本小題滿分17分）
解：（1）根據(jù)題意，該同學(xué)投籃次數(shù)為4次時(shí)結(jié)束比賽，即投籃的前三次中只有一次投中，第四次必定投中，……（2分）
所以投籃次數(shù)為4次時(shí)結(jié)束比賽的概率為.（4分）
（2）依題意，隨機(jī)變量的分布列如下表，
……（9分）
（3）由（2）得：，
……（11分）
化簡(jiǎn)得，
即.
記①，
則②，
由①-②，可得，
即，解得，
由此可得，，即.……（14分）
設(shè)，
因?yàn)?，可得?shù)列是遞減數(shù)列.……（16分）
又，，
所以整數(shù)n的最小值為4.……（17分）
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
C
D
A
C
D
A
題號(hào)
9
10
11
答案
AC
ACD
BCD
題號(hào)
12
13
14
答案
2
+
0
-
極大值
2
3
4
…
…