一、選擇題（本題共10小題，在每小題所給出的四個選項(xiàng)中，只有一個是正確的，每小題4分，滿分40分，錯選、不選、多選，均記0分．）
1. 第33屆夏季奧運(yùn)會將于2024年7月26日至8月11日在法國巴黎舉行，如圖所示巴黎奧運(yùn)會項(xiàng)目圖標(biāo)中，軸對稱圖形是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A、不是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；
B、是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；
C、不是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；
D、不是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意.
故選：B．
2. 根據(jù)下列已知條件，能畫出唯一的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，D. ，，
【答案】D
【解析】，，，兩邊及其中一邊的對角不能畫出唯一，
故A不符合題意；
∵，，，∴，故B不符合題意；
，，一邊一角不能畫出唯一，故C不符合題意；
當(dāng)，，時，根據(jù)“”可判斷的唯一性，
故D符合題意.
故選：D．
3. 如圖，與關(guān)于直線對稱，的周長為，若，，則的長是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵與關(guān)于直線對稱，∴，
∵的周長，∴.
故選：C．
4. 如圖，，，分別是的高、角平分線、中線，則下列各式中錯誤的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】∵CD，CE，CF分別是的高、角平分線、中線，
∴，，，
∴選項(xiàng)A、B、D正確，但不符合題意，選項(xiàng)C錯誤，符合題意.
故選：C．
5. 已知△ABC兩條邊的長分別為5和8，若第三邊長為5的倍數(shù)，則第三邊的長度是（ ）
A. 5B. 5或10C. 10或15D. 15
【答案】B
【解析】由題意，可得8﹣5＜c＜5+8，即3＜c＜13，
∵第三邊長為5的倍數(shù)，∴第三邊長是5或10．
故選：B．
6. 如圖，以直角三角形的一條直角邊和斜邊為一邊作正方形M和N，它們的面積分別為9平方厘米和25平方厘米，則直角三角形的面積為（ ）
A. 6平方厘米B. 12平方厘米C. 24平方厘米D. 3平方厘米
【答案】A
【解析】根據(jù)勾股定理可得直角三角形的另一邊長為：＝4（厘米），
可得這個直角三角形的面積為：××4＝6（平方厘米）．
故選：A.
7. 已知三邊長a，b，c，且滿足，則此三角形一定是（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形
C. 等邊三角形D. 不等邊三角形
【答案】A
【解析】，，，，
，，，∴，此三角形是等腰三角形．
故選：A．
8. 如圖，數(shù)學(xué)課上老師布置了“測量錐形瓶內(nèi)部底面的內(nèi)徑”的探究任務(wù)，善思小組想到了以下方案：如圖，用螺絲釘將兩根小棒，的中點(diǎn)固定，只要測得，之間的距離，就可知道內(nèi)徑的長度．此方案依據(jù)的數(shù)學(xué)定理或基本事實(shí)是（ ）
A. 邊角邊B. 三角形的穩(wěn)定性
C. 邊邊邊D. 全等三角形的對應(yīng)角相等
【答案】A
【解析】∵O是與的中點(diǎn)，∴，，
∵，∴．
故選：A．
9. 等腰三角形的底邊長為6，面積是21，腰的垂直平分線分別交，于點(diǎn)E，F(xiàn)，若點(diǎn)D為底邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段上一動點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】B
【解析】如圖，連接，．
∵是等腰三角形，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，∴，
∴，∴，
∵是線段的垂直平分線，∴點(diǎn)B關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為點(diǎn)A，
∴，∴，
∴當(dāng)A，M，D三點(diǎn)共線時最小，
∴的長為的最小值，∴的最小值為.
故選：B．
10. 如圖，在紙片中，，，，將紙片按圖示方式折疊，使點(diǎn)A恰好落在斜邊上的點(diǎn)E處，為折痕，則下列四個結(jié)論：①平分；②；③；④的周長為4，其中正確的個數(shù)有（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】∵在紙片中，，∴，
由折疊的性質(zhì)可得，
∴，平分，
∴的周長，故①②④正確；
由對折可得：，∴，∴，故③錯誤；
∴正確的只有①②④.
故選：C．
二、填空題（本題共5小題，每小題4分，共20分.）
11. 如圖，等邊三角形紙片ABC邊長為8，點(diǎn)E，F(xiàn)是BC邊的三等分點(diǎn)．分別過點(diǎn)E，F(xiàn)沿著平行于BA，CA的方向各剪一刀，則剪下的△DEF的周長是_______．
【答案】8
【解析】∵△ABC為等邊三角形，∴∠B＝∠C＝60°，AB=BC=AC，
∵DE∥AB，∴∠DEF＝∠B＝60°，
∵DF∥AC，∴∠DFE＝∠C＝60°，∴△DEF為等邊三角形，∴DE＝DF＝EF，
∵點(diǎn)E，F(xiàn)是BC邊的三等分點(diǎn)，∴BC＝3EF，
∵AB＝8，∴△DEF的周長為：DE+DF+EF＝3EF＝AB＝8.
12. 如圖，點(diǎn)O是的重心，則______．（填“”“”或“”）
【答案】
【解析】根據(jù)重心是三角形中線的交點(diǎn)，得到.
13. 如圖，在方格紙中，隨機(jī)選擇標(biāo)有序號①②③④⑤中的一個小正方形涂黑，與圖中陰影部分構(gòu)成軸對稱圖形的小正方形為_________（填序號）．
【答案】②④⑤
【解析】在序號①②③④⑤中的一個小正方形涂黑，有5種結(jié)果，其中與圖中的陰影部分構(gòu)成軸對稱圖形的有②④⑤這3種結(jié)果.
14. 如圖，將沿所在的直線翻折得到，再將沿所在的直線翻折得到，若點(diǎn)在同一條直線上，．有下列結(jié)論：
①，②，③．
其中正確的說法是___________．（填序號即可）
【答案】①②③
【解析】①由翻折可知：，∴，
故①正確；
②由翻折可知：點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，∴，故②正確；
③由翻折可知：，
∵，∴，
∴，∴，
∴，故③正確．
綜上所述，正確的說法是：①②③．
15. 在鈍角中，是邊上的高，是邊上的高，這兩條高所在的直線相交于點(diǎn)O，若，，，則的長為________．
【答案】或或
【解析】當(dāng)為鈍角頂點(diǎn)時，圖形如下：
∵是邊上高，是邊上的高，∴，
∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，
∵，，∴；
當(dāng)為鈍角頂點(diǎn)時，
同理可得，∴，
∵，，∴；
當(dāng)為鈍角頂點(diǎn)時，
同理可得，∴，
∵，，∴.
三、解答題（第16，17，18，19題每題10分；第20，21題每題12分，第22，23題每題13分；滿分90分）解答要寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．
16. 如圖，已知∠α和線段a，用尺規(guī)作一個三角形，使其一個內(nèi)角等于∠α，另一個內(nèi)角等于2∠α，且這兩個內(nèi)角的夾邊等于a．
解：如圖，△ABC即為所求．
17. 如圖，，求證：．
證明：，，，
在和中，，，.
18. 如圖所示，已知在四邊形中， ，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，，且．
（1）求的度數(shù)；
（2）若，試判斷與之間的關(guān)系，并說明理由．
解：（1），，，，
，，
，.
（2），且．理由：
，，，．
19. 如圖，已知為的平分線，，點(diǎn)P在上，于M，于N，求證：．
證明：∵為的平分線，∴，
在和中，，∴，
∴，
∵點(diǎn)P在上，，∴．
20. 如圖所示，已知在ΔABC中，，且高經(jīng)過高的中點(diǎn)，若，求、的長.
解：∵，，，∴，
在中，，∴，
同理，，
∵，∴，
∵，∴，.
21. 圖1是某超市購物車，圖為其側(cè)面簡化示意圖，測得支架，，兩輪中心的距離，滾輪半徑．
（1）判斷的形狀，并說明理由．
（2）若購物車上籃子的左邊緣與點(diǎn)的距離，，且，和都與地面平行，求購物車上籃子的左邊緣到地面的距離．
解：（1）是直角三角形，理由如下：
∵，，，∴，
∴是直角三角形.
（2）∵，，且，
由勾股定理可得，，
∵，，，直角三角形，
∴邊上的高，
∵滾輪半徑，
∴購物車上籃子的左邊緣到地面的距離．
22. 如圖，在中，AD是的角平分線，AD的垂直平分線交AB于點(diǎn)E，交CB的延長線于點(diǎn)F，連接DE，AF．
（1）判斷DE與AC的位置關(guān)系，并證明你所得的結(jié)論；
（2）求證：．
解：（1）DEAC，理由：
∵AD是∠BAC的角平分線，∴∠CAD=∠BAD，
∵EF垂直平分AD，∴AE=DE，∴∠BAD=∠EDA，∴∠CAD=∠EDA，
∴DE//AC.
（2）證明：∵EF垂直平分AD，∴EA=ED，F(xiàn)A=FD，
在△AEF和△DEF中，，∴△AEF≌△DEF（SSS），∴∠EAF=∠EDF，
∵DEAC，∴∠C=∠EDF，∴∠C=∠EAF．
23. 已知與均為等腰直角三角形，如圖1所示放置，使得一直角邊重合，連接，．
（1）試說明；
（2）延長，交于點(diǎn)F，試說明；
（3）若如圖2放置，與還成立嗎？請說明理由．
解：（1）證明：∵與均為等腰直角三角形，
∴，，，
在和中，，∴，∴.
（2）∵，∴，
∵，
∴，
∴.
（3），成立．
理由如下：∵與均為等腰直角三角形，
∴，，，
∴，即，
在和中，，∴，
∴，，
∴
，
∴，．

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