1.已知集合，，則( )
A. B. C. D.
2.命題“，”的否定為( )
A. ，B. ，
C. ，D. ，
3.函數(shù)的定義域為( )
A. B.
C. D.
4.下列各組函數(shù)中是同一個函數(shù)的是( )
A. 與
B. 與
C. 與
D. 與
5.已知，則的最小值為( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
6.已知函數(shù)與在同一坐標(biāo)系下的大致圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能為( )
A. B.
C. D.
7.已知是定義在R上的偶函數(shù)，，且對，，都有，則不等式的解集為( )
A. B.
C. D.
8.若集合U的三個子集A、B、C滿足，則稱為集合U的一組“親密子集”.已知集合，則U的所有“親密子集”的組數(shù)為( )
A. 9B. 12C. 15D. 18
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。
9.已知a，b，c，d均為實數(shù)，下列命題正確的有( )
A. 若，，則B. 若，，則
C. 若，則D. 若，則
10.已知函數(shù)，則( )
A. 在上單調(diào)遞減B. 的值域為
C. 的圖象關(guān)于直線對稱D. 的圖象關(guān)于點對稱
11.已知函數(shù)的定義域為D，區(qū)間，若存在非零常數(shù)t，使得對任意，，都有，則稱函數(shù)是區(qū)間I上的“衰減函數(shù)”.下列說法正確的有( )
A. 函數(shù)是上的“衰減函數(shù)”
B. 若函數(shù)是上的“衰減函數(shù)”，則t的最大值為1
C. 已知函數(shù)為偶函數(shù)，且當(dāng)時，，若是上的“衰減函數(shù)”，則a的最大值為
D. 已知函數(shù)為奇函數(shù)，且當(dāng)時，，若是上的“衰減函數(shù)”，則a的最小值為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.若函數(shù)為奇函數(shù)，則實數(shù)a的值為__________.
13.若函數(shù)的最小值為，則實數(shù)m的取值范圍為__________.
14.已知函數(shù)在上的最大值為5，則a的值為__________;令，，若用且將區(qū)間分成4個小區(qū)間，且恒成立，則實數(shù)M的最小值為__________.
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題13分
設(shè)集合，
若，求
若“”是“”的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍.
16.本小題15分
已知函數(shù)
若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍;
求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.
17.本小題15分
已知某工廠生產(chǎn)一種電子元件，每年需投入固定成本5萬元，當(dāng)年產(chǎn)量為單位：萬件時，需額外投入可變成本單位：萬元根據(jù)市場調(diào)研，每個元件售價為7元;在年產(chǎn)量x不超過8萬件時，在年產(chǎn)量x超過8萬件時，假設(shè)該元件的年銷量等于年產(chǎn)量.
注：年利潤=年銷售收入-固定成本-可變成本
求年利潤關(guān)于年產(chǎn)量x的函數(shù)解析式;
當(dāng)x為何值時，年利潤最大?最大年利潤是多少?
18.本小題17分
若定義在R上的函數(shù)滿足
求函數(shù)的解析式;
用定義法證明：在區(qū)間上單調(diào)遞減;
已知函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).利用上述結(jié)論，求函數(shù)圖象的對稱中心注：
19.本小題17分
已知函數(shù)的定義域為，且對定義域內(nèi)任意x，y都有
設(shè)，證明：函數(shù)為偶函數(shù);
若滿足：當(dāng)時，
ⅰ求不等式的解集;
ⅱ若，使得對，都有，求實數(shù)t的取值范圍.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本題考查交集運算，屬于基礎(chǔ)題.
化簡B，由交集運算即可求解.
【解答】
解：，
則
2.【答案】B
【解析】【分析】
本題考查存在量詞命題的否定，屬于基礎(chǔ)題.
利用存在量詞命題的否定為全稱量詞命題即可解答.
【解答】
解：因為存在量詞命題的否定為全稱量詞命題，
則命題“，”的否定為，
3.【答案】A
【解析】【分析】
本題考查函數(shù)的定義域，屬于基礎(chǔ)題.
由題意得，解不等式組即可.
【解答】
解：因為函數(shù)，
則，解得，
故定義域為
4.【答案】C
【解析】【分析】
本題考查判斷兩個函數(shù)是否為同一個函數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.
對選項逐個判斷即可.
【解答】
解：對于A、與的對應(yīng)法則不同，不是同一個函數(shù)；
對于B、的定義域為R，的定義域為，定義域不同，不是同一個函數(shù)；
對于C、，故和的定義域和對應(yīng)法則都相同，是同一個函數(shù)；
對于D、的定義域為，的定義域為，定義域不同，不是同一個函數(shù).
5.【答案】D
【解析】【分析】
本題考查基本不等式求最值，屬于基礎(chǔ)題.
利用基本不等式即可求解.
【解答】
解：由題意，得，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，
故的最小值為
6.【答案】D
【解析】【分析】
本題考查函數(shù)圖像的識別，屬于基礎(chǔ)題.
由題意得，，，，利用二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，結(jié)合選項即可判斷.
【解答】
解：由題意得，，，，
故函數(shù)的開口向下，對稱軸方程為，且過，
由選項可知，只有D滿足題意，
故選D
7.【答案】B
【解析】【分析】
本題考查利用函數(shù)的性質(zhì)解不等式，屬于一般題.
求出的單調(diào)性，且，由不等式得或，解不等式即可.
【解答】
解：因為對，，都有，
則在遞增，
又是定義在R上的偶函數(shù)，，
則在遞減，且，
由不等式，即，
則或，解得或，
故解集為
8.【答案】D
【解析】【分析】
本題考查集合的新定義問題，屬于中檔題.
結(jié)合新定義對集合C分類計算即可.
【解答】
解：當(dāng)集合時，
①當(dāng)集合B中有兩個元素時，集合或或，集合B取任意一種情況，集合A均有3種可能，此時有9組，
②當(dāng)集合B中有一個元素時，即或或，
集合A均為，此時有3組，
當(dāng)集合C中有兩個元素，即集合或或時，
集合C取任意一種情況，集合B均有兩種可能，且集合A均為，此時有6組，
綜上，集合的所有“親密子集”的組數(shù)為組.
9.【答案】ACD
【解析】【分析】
本題考查不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.
對選項逐個判斷即可.
【解答】
解：對于A、由，得，又，則，故A正確；
對于B、取，，，，則，故B錯誤；
對于C、若，則，則，故C正確；
對于D、若，則，
則，故D正確
10.【答案】BD
【解析】【分析】
本題考查函數(shù)的單調(diào)性、值域和對稱性，屬于基礎(chǔ)題.
化，然后對選項逐個判斷即可.
【解答】
解：，
對于A、在和上單調(diào)遞減，故A錯誤；
對于B、因為，則的值域為，故B正確；
對于C、的圖象不關(guān)于直線對稱，故C錯誤;
對于D、的圖象關(guān)于點對稱，故D正確.
11.【答案】ACD
【解析】【分析】
本題考查了利用函數(shù)的奇偶性求解析式、利用函數(shù)的單調(diào)性求最值、由函數(shù)最值求參，屬于較難題．
對于根據(jù)題意分析說明，時滿足；
對于B，由函數(shù)是上的“衰減函數(shù)，，可得，即，
對于C，D，求出當(dāng)時的解析式，結(jié)合定義列不等式求解即可.
【解答】
解：對于由題意可得，函數(shù)的定義域為，
，則，
，，，
在上單調(diào)遞減.
，故為區(qū)間上的衰減函數(shù)，故A正確.
對于函數(shù)的定義域為R，對，則，
若是區(qū)間上的衰減函數(shù)，則，
即，
可得對恒成立，
所以，解得，
當(dāng)時，不符合，所以
所以t的最大值為故B錯誤.
對于由題意可得：當(dāng)時，，
函數(shù)為偶函數(shù)，，
則當(dāng)時，，
若是上的"衰減函數(shù)"，則對任意，，
，即，即在上恒成立.
所以，解得，
所以a的最大值為，故C正確;
對于D，由題意，函數(shù)為奇函數(shù)，且當(dāng)時，，
則當(dāng)時，，
若是上的“衰減函數(shù)”，
則對任意，，，
即，得在上恒成立，
所以，解得，
故a的最小值為，故D正確.
故選：
12.【答案】0
【解析】【分析】
本題考查函數(shù)的奇偶性，屬于基礎(chǔ)題.
利用即可求解.
【解答】
解：若函數(shù)為奇函數(shù)，
則恒成立，即恒成立，
解得
13.【答案】
【解析】【分析】
本題考查分段函數(shù)的最值，基本不等式，屬于一般題.
對x進(jìn)行分類討論，利用二次函數(shù)和基本不等式即可求解.
【解答】
解：當(dāng)時，，
又，
所以對稱軸方程，即
當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
所以，解得，
綜上，實數(shù)m的取值范圍為
14.【答案】1 ； 5
【解析】【分析】
本題考查二次函數(shù)的最值，一元二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于較難題.
結(jié)合二次函數(shù)的最值直接求解a的值，結(jié)合絕對值不等式的意義，將代數(shù)式轉(zhuǎn)化即可求解.
【解答】
解：函數(shù)的圖象開口向上，且對稱軸為，
所以在上的最大值為，
解得；
所以，，，，即，，
且，
的幾何意義即為相鄰兩自變量對應(yīng)函數(shù)值差的絕對值的累計和，若要累計和達(dá)到最大值，則，，中必有一個自變量取1，
則
所以，M的最小值為
15.【答案】解：由得，，所以
當(dāng)時，，
，
所以或
因為“”是“”的充分不必要條件，所以，.
令，得，
因為，解得，所以
所以，且，解得
【解析】本題主要考查交并補(bǔ)混合運算以及充分不必要條件的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題
求出集合A，B，求出，再根據(jù)集合補(bǔ)集的運算求解即可
由題意得，列不等式組求解即可.
16.【答案】解：當(dāng)時，，單調(diào)遞增;
當(dāng)時，，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，
若函數(shù)為R上的增函數(shù)，只需，解得
當(dāng)時，函數(shù)，對稱軸為
所以，當(dāng)，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以
當(dāng)，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以
綜上，當(dāng)時，的最小值為
當(dāng)時，的最小值為
【解析】本題考查了分段函數(shù)的單調(diào)性以及利用函數(shù)的單調(diào)性求最值，是中檔題.
需要兩段函數(shù)均為增函數(shù)，且，取交集求出參數(shù)的取值范圍；
分和兩種情況研究函數(shù)的最小值即可.
17.【答案】解：當(dāng)時，
當(dāng)時，
所以
當(dāng)時，，
當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減.所以，
當(dāng)時，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“=”.
因為，
當(dāng)該電子元件的年產(chǎn)量為6萬件時，最大年利潤為13萬元.
【解析】本題主要考查利用分段函數(shù)模型解決實際問題，屬于中檔題
由題意列出解析式，再寫成分段函數(shù)的結(jié)構(gòu);
分別求出每一段的最大值，即可得到利潤的最大值，及取最大值時的產(chǎn)量.
18.【答案】解：因為，①
將上式中的x用替代，得，②
②①得：，所以
任取，且，
則
，
因為，所以，，，，，
所以，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；
設(shè)函數(shù)圖象的對稱中心為，則函數(shù)為奇函數(shù)，
，
因為，代入整理得，對任意恒成立.所以，且，
解得，
所以，函數(shù)圖象的對稱中心為
【解析】本題主要考查求函數(shù)解析式，證明函數(shù)的單調(diào)性以及利用函數(shù)的奇偶性解決參數(shù)問題，屬于中檔題.
根據(jù)題意x用替代得到方程，然后作差求解即可；
利用函數(shù)的單調(diào)性的定義即可證明；
設(shè)函數(shù)圖象的對稱中心為，利用函數(shù)的奇偶性得到，對任意恒成立，再求解得到a，b值，即可求解.
19.【答案】解：由，得，
令，得，所以
令，得，所以
令，得
又的定義域關(guān)于原點對稱，
所以是上的偶函數(shù).
由知，
，且，
，
因為，當(dāng)時，，所以，
又，所以，即
所以，在上單調(diào)遞減.
因為，
所以，即
因為為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，且，
所以，
又，，解得或所以，
不等式的解集為
由，得，
即，對恒成立，
所以
因為在上單調(diào)遞減，，所以
所以，使得成立，即成立，
令，，則或
即，解得或
由，解得或
所以或，即t的取值范圍是
【解析】本題考查函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的綜合應(yīng)用，考查恒成立和存在性問題，屬于較難題.
利用賦值法和奇偶性的定義即可求證;
利用單調(diào)性的定義求出在上單調(diào)遞減，結(jié)合奇偶性得，解不等式即可;
求出，由單調(diào)性得，得，使得成立，令，，由或即可求解.

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