2022-2023學(xué)年度第一學(xué)期期中學(xué)業(yè)水平診斷高一數(shù)學(xué)第Ⅰ卷（共60分）一、選擇題（本題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的．）1. 已知集合，則（    ）A.  B.  C.  D. 2. 已知x，，則“x和y均為有理數(shù)”是“xy為有理數(shù)”的（    ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件3. 下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（    ）A. ， B. ，C ， D. ，4. 下列命題中，正確的是（    ）A. 若，則.B. 若，則.C. 若，則.D. 若，則.5. 已知函數(shù)，若，則是（    ）A. 奇函數(shù)，在和單調(diào)遞增B. 奇函數(shù)，在和單調(diào)遞減C. 偶函數(shù)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減D. 偶函數(shù)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增6. 已知函數(shù)，若，則（    ）A -4 B. -1 C. -4或-1 D. -4或7. 定義在R上的函數(shù)滿足：①，②，③，則不等式的解集是（    ）A. 或 B. 或C. 或 D. 或8. 已知，，且，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（    ）A.  B. C 或 D. 或二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．）9. 滿足集合，且，則集合（    ）A.  B.  C.  D. 10. 已知函數(shù)，，設(shè)函數(shù)則（    ）A. 是偶函數(shù)B. 方程有四個(gè)實(shí)數(shù)根C. 在區(qū)間上單調(diào)遞增D. 有最大值，沒有最小值11 已知，，且，則（    ）A.  B. C.  D. 12. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>R，對任意的實(shí)數(shù)x，y，有，且當(dāng)時(shí)，，則（    ）A. B. 對任意的，恒成立C. 函數(shù)在上單調(diào)遞增D. 若，則不等式的解集為第Ⅱ卷（共90分）三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分．）13. 已知集合，，則B中元素的個(gè)數(shù)為______．14. 若命題“”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．15. 已知，且，則的最小值為______．16. 高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽(yù)，函數(shù)稱為高斯函數(shù)，其中，表示不超過x的最大整數(shù)，例如：，．①若函數(shù)，則的值域?yàn)?/span>______；②若函數(shù)，則方程所有的解為______．四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17. 已知函數(shù)的定義域?yàn)榧?/span>A，集合．（1）求集合A；（2）請?jiān)谙旅孢@兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在橫線處，并給出問題的解答．①充分條件，②必要條件．是否存在實(shí)數(shù)m，使得是的______？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．18. 已知是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．（1）求解析式；（2）求不等式的解集．19. 已知函數(shù)，二次函數(shù)滿足，且不等式的解集為．（1）求，的解析式；（2）設(shè)，根據(jù)定義證明：在上為增函數(shù)．20. 已知某企業(yè)原有職工500人，每人每年可為企業(yè)創(chuàng)利6.5萬元．為應(yīng)對新冠疫情給企業(yè)帶來的不利影響，該企業(yè)決定實(shí)施減員增效策略，分流出一部分職工待崗，待崗人數(shù)不超過原有職工的4%，并且每年給每位待崗職工發(fā)放生活補(bǔ)貼0.5萬元．據(jù)評估，當(dāng)待崗職工人數(shù)x不超過原有職工2%時(shí)，留崗職工每人每年可為企業(yè)多創(chuàng)利萬元；當(dāng)待崗職工人數(shù)x超過原有職工2%時(shí)，留崗職工每人每年可為企業(yè)多創(chuàng)利0.96萬元．設(shè)該企業(yè)實(shí)施減員增效策略后，年利潤為y（單位：萬元）．．（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）為使企業(yè)的年利潤y最大，應(yīng)安排多少職工待崗？21. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>R，且對任意的實(shí)數(shù)x，y，滿足．（1）證明：；（2）著名數(shù)學(xué)家柯西在十九世紀(jì)上半葉研究過上述函數(shù)的性質(zhì)，且證明了當(dāng)該函數(shù)的圖象在R上連續(xù)不斷時(shí)，．若函數(shù)的圖象在R上連續(xù)不斷，對任意x，，，．設(shè)．①證明：；②已知，求在上的最小值．22. 給定，若存在實(shí)數(shù)使得成立，則定義為的點(diǎn)．已知函數(shù)．（1）當(dāng)，時(shí)，求的點(diǎn)；（2）設(shè)，，若函數(shù)在上存在兩個(gè)相異的點(diǎn)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；（3）對于任意的，總存在，使得函數(shù)存在兩個(gè)相異的點(diǎn)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．    
答案 1-8 BADDC  AAB  9.AC  10.ABD  11.ACD  12.BCD13. 314. 15. 16. 17.（1）函數(shù)有意義，，解得，所以集合.（2）選擇①：是的充分條件，則，由（1）知，，解得，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為.選擇②：是的必要條件，則，由（1）知，，解得，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為．18.（1）當(dāng)時(shí)，有，而是偶函數(shù)，則，所以函數(shù)的解析式是.（2）依題意，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而是偶函數(shù)，由得：，于是得，即有，整理得：，解得，所以不等式的解集為.19.（1）依題意，，因此，設(shè)二次函數(shù)，不等式為：，則是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)根，且，于是得，即，又，解得，，，于是得，所以，.（2）由（1）知，，任取，且，因，有，，，則，因此，所以函數(shù)在上為增函數(shù)．20.（1）依題意，，，即有且，當(dāng)待崗人數(shù)不超過2%，即時(shí)，，當(dāng)待崗人數(shù)超過2%，即時(shí)，，所以y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是.（2）當(dāng)且時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，而，則當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?/span>，因此當(dāng)時(shí)，，所以為使企業(yè)年利潤最大，應(yīng)安排5人待崗.21.（1）令，得．（2）①因?yàn)?/span>，且，所以．②因?yàn)?/span>的圖象在R上連續(xù)不斷，所以的圖象在R上連續(xù)不斷，又，結(jié)合題目條件可知，．又，所以．從而．的對稱軸為．當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，；綜上，當(dāng)時(shí)，取最小值，當(dāng)時(shí)，取最小值．22.（1）當(dāng)，時(shí)，，依題意，，即，解得或，所以當(dāng)，時(shí)，的點(diǎn)為1和3.（2）當(dāng)，時(shí)，，依題意，在上有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)解，即在上有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)解，令，因此函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，而，因此，解得，所以實(shí)數(shù)t的取值范圍是．（3）因函數(shù)總存在兩個(gè)相異的點(diǎn)，則方程，即恒有兩個(gè)不等實(shí)根，依題意，對任意的，總存在使成立，即對任意的，總存在使成立，而恒成立，于是得存在，不等式成立，而，從而得不等式在上有解，又二次函數(shù)開口向上，因此或，解得或，解得，或，則有或，所以實(shí)數(shù)t的取值范圍是或． 

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