九年級數(shù)學(xué)試題（卷）
試題總分:120分 考試時間:120分
一、選擇題（共8個小題，每小題3分，共24分，每小題只有一個選項符合題意）
1．若是方程的一個根，則此方程的另一個根是( )
A．-1B．0C．1D．2
2．已知，則的值為（ ）
A．B．C．D．
3．從2，3,4，5中任意選兩個數(shù)，記作和，那么點（，）在函數(shù)圖象上的概率是( )
A．B．C．D．
4．如圖是由幾個相同的小正方體搭成的幾何體的三視圖，則搭成這個幾何體的小正方體的個數(shù)是（ ）
A．5B．6C．7D．8
5．如圖，點是菱形的邊上一點，連接并延長，交的延長線于點．已知，，則的長為（ ）
A．6B．12C．9D．4.5
6．如圖，把菱形沿折疊，使點落在上的點處，若，則的大小為（ ）．
A．B．C．D．
7．如圖，正方形和矩形的面積相等，且四邊形也為正方形，點在上，與交于點．歐幾里得在《幾何原本》中利用該圖得到了：．設(shè)，．若，則圖中陰影部分的周長為（ ）

A．25B．26C．28D．30
8．如圖，矩形的對角線交于點，，，為等邊三角形，點是直線上一點，連接，則線段的最小值為（ ）
A．1B．C．2D．
二、填空題（共5個小題，每小題3分，共15分）
9．已知線段，，則a，b的比例中項線段長是 .
10．在一個不透明的口袋中裝有4個紅球和若干白球，它們除顏色外其他完全相同．通過多次摸球試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在左右，則口袋中白球可能有 個．
11．我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝在1275年提出一個問題：“直田積（矩形面積）八百六十四步（平方步），只云闊（寬不及長一十二步（寬比長少一十二步），問闊及長各幾步．”意思是一塊田是矩形，矩形面積為，長比寬多，如果設(shè)寬為，則列出的方程為 ．
12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的邊在y軸上，邊與x軸交于點D，且，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點A，若，則反比例函數(shù)表達(dá)式為 ．
13．如圖，正方形的邊長為2．為與點不重合的動點，以為一邊作正方形．設(shè)，點、與點的距離分別為、，則的最小值為 ．
三、解答題（共13小題，計81分，解答應(yīng)寫出過程）
14．解方程：
15．關(guān)于的一元二次方程的兩實數(shù)根分別為、，且，求的值．
16．如圖，在中，，，請用尺規(guī)作圖法在邊上求作一點D，使得．（保留作圖痕跡，不寫作法）

17．如圖，在菱形中，點E，F(xiàn)分別在邊，上，，連接，．
求證：．

18．已知關(guān)x的一元二次方程有實數(shù)根．求實數(shù)a的取值范圍．
19．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點坐標(biāo)分別是，，請在所給直角坐標(biāo)系中按要求畫圖和解答下列問題：

(1)畫出關(guān)于軸成軸對稱的，并直接寫出點的坐標(biāo)；
(2)以原點為位似中心，在原點的另一側(cè)畫出的位似三角形，使它與的相似比為，并寫出點的坐標(biāo)．
20．如圖，在和中，，．若，，的周長為9，求的周長．

21．已知反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象交于點和點，
(1)求這兩個函數(shù)的關(guān)系式；
(2)觀察圖象，寫出使得成立的自變量x的取值范圍．
22．從2021年起，江蘇省高考采用“”模式：“3”是指語文、數(shù)學(xué)、外語3科為必選科目，“1”是指在物理、歷史2科中任選科，“2”是指在化學(xué)、生物、思想政治、地理4科中任選2科．
（1）若小麗在“1”中選擇了歷史，在“2”中已選擇了地理，則她選擇生物的概率是________；
（2）若小明在“1”中選擇了物理，用畫樹狀圖的方法求他在“2中選化學(xué)、生物的概率．
23．在“鄉(xiāng)村振興”工作中，某養(yǎng)殖場加強對蛋雞的科學(xué)管理，蛋雞的產(chǎn)蛋率不斷提高，2021年10月份和12月份的產(chǎn)蛋量分別是4萬千克與4.84萬千克，求養(yǎng)殖場這兩個月蛋雞產(chǎn)蛋量的月平均增長率．
24．如圖，身高1.6m的小王晚上沿箭頭方向散步至一路燈下，他想通過測量自己的影長來估計路燈的高度，具體做法如下；先從路燈底部向東走20步到M處，發(fā)現(xiàn)自己的影子端點剛好在兩盞路燈的中間點P處，繼續(xù)沿剛才自己的影子走5步到P處，此時影子的端點在Q處．
(1)根據(jù)題意畫圖，找出路燈的位置．
(2)求路燈的高和影長．
25．某體育用品商店銷售一批運動鞋，零售價每雙250元，如果一次購買超過8雙，那么每多買一雙，所購運動鞋的單價降低10元，但單價不能低于160元．
（1）當(dāng)小明買這種運動鞋10雙時，運動鞋的單價為 元：
（2）如果一位顧客購買這種運動鞋支付了2700元，這名顧客買了多少雙鞋？
26．某數(shù)學(xué)興趣小組在數(shù)學(xué)課外活動中，對多邊形內(nèi)兩條互相垂直的線段做了如下探究：
(1)【觀察與猜想】如圖1，在正方形中，點，分別是，上的兩點，連接，，，則的值為________；
(2)【類比探究】如圖2，在矩形中，，，點是上的一點，連接，，．求的值：
(3)【拓展延伸】如圖3，在四邊形中，，點為上一點，連接，過點作的垂線交的延長線于點，交的延長線于點，且，，，求的長；
參考答案與解析
1．C
【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)另一個根為，根據(jù)，即可求解．
【詳解】解：設(shè)另一個根為，依題意，，
∴，
故選：C．
【點睛】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
2．B
【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)及分式的性質(zhì)化簡可得結(jié)果.
【詳解】解：
故選B
【點睛】本題考查了比例的性質(zhì)及分式的化簡求值，把轉(zhuǎn)化為再整體代入是解題關(guān)鍵.
3．D
【詳解】試題分析：畫樹狀圖得：
∵共有12種等可能的結(jié)果，點（a，b）在函數(shù)圖象上的有（3，4），（4，3）；
∴點（a，b）在函數(shù)圖象上的概率是：=．
故選D．
考點：1．列表法與樹狀圖法；2．反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征．
4．B
【分析】根據(jù)俯視圖可知這個幾何體，底面有5個正方體，根據(jù)主視圖及左視圖，可知上面有1個正方體，即可得出答案．
【詳解】解：根據(jù)俯視圖可知這個幾何體，底面有5個正方體，根據(jù)主視圖及左視圖，可知上面有1個正方體，
搭成這個幾何體的小正方體的個數(shù)是6，
故選：B．
【點睛】本題考查了三視圖還原幾何體，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．
5．C
【分析】由，，可得，，根據(jù)菱形的性質(zhì)，可得，，列出比例關(guān)系，可得結(jié)論．
【詳解】解：∵，
∴，
∵是菱形，
∴，，，
∴，，
∴，
∴
∴．
故選：C．
【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
6．A
【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，已知菱形的對角相等，故推出，從而得出．又因為，故，，易得解．
【詳解】解：根據(jù)菱形的對角相等得．
，
．
根據(jù)折疊得．
，
，
．
．
故選：A．
【點睛】此題要熟練運用菱形的性質(zhì)得到有關(guān)角和邊之間的關(guān)系．在計算的過程中，綜合運用了等邊對等角、三角形的內(nèi)角和定理以及平行線的性質(zhì)．注意：折疊的過程中，重合的邊和重合的角相等．
7．D
【分析】本題考查完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握完全平方公式．
根據(jù)題意得，，故可得，經(jīng)過變形得，從而求得，進(jìn)一步可求得陰影部分的周長．
【詳解】解：∵四邊形是正方形，
；
，
，
即，
，
或（舍去）
∵四邊形是正方形，
，
∴陰影部分的周長是，
故選：D．
8．D
【分析】連接交于，當(dāng)時，線段的值最小，根據(jù)矩形的性質(zhì)得，，，，進(jìn)而可得，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得，，再根據(jù)垂直平分線的判定及性質(zhì)得，，在中利用勾股定理得，進(jìn)而可得，再根據(jù)含角的直角三角形的特征即可求解．
【詳解】解：連接交于，如圖所示：
當(dāng)時，線段的值最小，
四邊形是矩形，且，
，，，，
，
是等邊三角形，，
，，
是的垂直平分線，
，，
在中，根據(jù)勾股定理得：
，
，
，
故選D．
【點睛】本題考查了含角的直角三角形的特征、勾股定理、等邊三角形的性質(zhì)、垂直平分線的判定及性質(zhì)、矩形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)判定及性質(zhì)，找準(zhǔn)的最小值時的位置是解題的關(guān)鍵．
9．4
【分析】設(shè)線段a，b的比例中項為c，根據(jù)比例中項的定義可知，，求得c的值，注意兩條線段的比例中項為正數(shù)．
【詳解】解：設(shè)線段a，b的比例中項為c，
∵c是長度分別為2、8的兩條線段的比例中項，
∴，
即，
∴（負(fù)數(shù)舍去），
故答案為：4．
【點睛】本題主要考查了比例線段．根據(jù)比例的性質(zhì)列方程求解即可．解題的關(guān)鍵是掌握比例中項的定義，如果，即，那么b叫做a與c的比例中項．
10．16
【分析】由摸到紅球的頻率穩(wěn)定在附近，估計摸到紅球的概率為，設(shè)袋中白球的個數(shù)為x，通過列方程進(jìn)而求出白球個數(shù)即可．
【詳解】解：設(shè)袋中白球的個數(shù)為x，根據(jù)題意，得：
，
解得，
經(jīng)檢驗是分式方程的解，
所以口袋中白球可能有16個，
故答案為：16．
【點睛】此題主要考查了利用頻率估計概率，掌握大量反復(fù)試驗下頻率穩(wěn)定值即概率是解題關(guān)鍵．
11．
【分析】如果設(shè)矩形田地的寬為x m,那么長就應(yīng)該是（x+12）m,根據(jù)面積為864，即可得出方程．
【詳解】解：長比寬多，寬為，
長為．
又矩形田的面積為，
根據(jù)題意可列出的方程為．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程和數(shù)學(xué)常識，掌握好面積公式（矩形面積=矩形的長×矩形的寬）即可進(jìn)行正確解答．
12．
【分析】過點A作x軸的垂線與x軸交于點C，證明，推出，由此即可求得答案．
【詳解】解：設(shè) ，如圖，過點A作x軸的垂線與x軸交于點C，
則：，，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵在的圖象上，
∴，
∴反比例函數(shù)表達(dá)式為．
故答案為：．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，三角形的面積公式，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造．
13．
【分析】本題主要考查正方形的性質(zhì)、三角形的全等證明，勾股定理，連接、、，證可得，當(dāng)、、、四點共線時，即得最小值；
【詳解】解：如圖，連接、、，
∵
∴
在和中，
∵
∴
∴
∴
當(dāng)時，最小，
∴的最小值為，
故答案為：．
14．
【分析】先去掉括號整理成一般式，再分解因式即可求解.
【詳解】，
，
，
x+1=0或x-5=0，
解得
【點睛】此題考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的各種方法是解答此題的關(guān)鍵.
15．
【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到，代入代數(shù)式計算即可．
【詳解】解：關(guān)于的一元二次方程的兩實數(shù)根分別為、，
，
，
，
，
把代入得：，
解得：．
【點睛】本題考查的是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系為：，是解題的關(guān)鍵．
16．見解析
【分析】作的平分線交于點，點即為所求，
【詳解】解：如圖所示，作的平分線交于點，點即為所求，

理由如下，
∵在中，，，
∴
∵是的平分線，
∴，
∴，
又∵，
∴．
【點睛】本題考查了作角平分線，三角形內(nèi)角和定理，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵．
17．見解析
【分析】如圖，連接，證明，即可得．
【詳解】證明：如圖，連接．

∵四邊形是菱形，
∴．
在和中，
∴．
∴．
18．
【分析】一元二次方程有實數(shù)根，則需要滿足，計算求解即可．
【詳解】解：有實數(shù)根，
根據(jù)題意得，
．
【點睛】本題主要考查判別式與根的數(shù)量的關(guān)系，能夠熟練根據(jù)題意列不等式求解是解題關(guān)鍵．
19．(1)見解析，
(2)見解析，
【分析】本題考查了畫軸對稱圖形，位似圖形；
（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)找到的對應(yīng)點，順次連接，得出，即為所求，根據(jù)坐標(biāo)系寫出點的坐標(biāo)；；
（2）根據(jù)位似圖形的性質(zhì)，在原點的另一側(cè)畫出的位似三角形，且位似比為，根據(jù)坐標(biāo)系寫出點的坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求，；

（2）解：如圖所示，即為所求，．

20．
【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，先證明，再根據(jù)相似三角形的面積之比等于相似比的平方，相似三角形的周長之比等于相似比進(jìn)行求解即可．
【詳解】解∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
∵的周長為9，
∴的周長為：．
21．(1)，；
(2)或．
【分析】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點，待定系數(shù)法．
（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可解決問題；
（2）根據(jù)時，反比例函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象上方，寫出自變量取值范圍即可．
【詳解】（1）解：把點代入，得到，
∴，
把點代入得到，，
把和點代入得到
，解得，
∴；
（2）解：由圖象可知得成立的自變量x的取值范圍：或．
22．（1）；（2）圖表見解析，
【分析】(1)小麗在“2”中已經(jīng)選擇了地理，還需要從剩下三科中進(jìn)行選擇一科生物，根據(jù)概率公式計算即可．
（2）小明在“1”中已經(jīng)選擇了物理，可直接根據(jù)畫樹狀圖判斷在4科中選擇化學(xué)，生物的可能情況有2種，再根據(jù)一共有12種情況，通過概率公式求出答案即可．
【詳解】（1）；
（2）列出樹狀圖如圖所示：
由圖可知，共有12種可能結(jié)果，其中選化學(xué)、生物的有2種，
所以，（選化學(xué)、生物）．
答：小明同學(xué)選化學(xué)、生物的概率是．
【點睛】本題考查了等可能概率事件，以及通過列表法或畫樹狀圖法判斷可能情況概率，根據(jù)概率公式事件概率情況，解題關(guān)鍵在于要理解掌握等可能事件發(fā)生概率．
23．該養(yǎng)殖場蛋雞產(chǎn)蛋量的月平均增長率為10%．
【分析】設(shè)該養(yǎng)殖場蛋雞產(chǎn)蛋量的月平均增長率為x，根據(jù)題意列方程即可得到結(jié)論．
【詳解】解：設(shè)該養(yǎng)殖場蛋雞產(chǎn)蛋量的月平均增長率為x，
根據(jù)題意得，4（1+x）2=4.84，
解得：x1=0.1，x2=-2.1（不合題意舍去），
答：該養(yǎng)殖場蛋雞產(chǎn)蛋量的月平均增長率為10%．
【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，正確的理解題意，找到等量關(guān)系，列出方程是解題的關(guān)鍵．
24．(1)見解析
(2)路燈高8米，影長為步
【分析】（1）連接，并延長相交于點，即為路燈的位置；
（2）由，，可分別得，，根據(jù)三角形相似的性質(zhì)，得到對應(yīng)邊成比例，列出比例式，代入數(shù)值計算即可．
【詳解】（1）解：如圖，點O為路燈的位置；
（2）解：作垂直地面，如圖，步，步，，
，
∴，
∴，即，解得，
∵，
∴，
∴，即，解得
答：路燈高為8米，影長為步．
【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)應(yīng)用，找到相似三角形列出比例式是解題的關(guān)鍵．
25．（1）230；（2）這名顧客買了15雙鞋．
【分析】（1）根據(jù)每多買一雙，所購運動鞋的單價降低10元求解即可；
（2）首先求出x超過了8雙，進(jìn)而表示出鞋的單價，即可得出關(guān)于x的方程求解即可．
【詳解】解：（1）小明買這種運動鞋10雙時，運動鞋的單價為：250-（10-8）×10=250-20=230（元），
故答案為：230；
（2）∵（元），
∴這名顧客買的鞋數(shù)超過8雙，
設(shè)這名顧客買了x雙鞋，根據(jù)題意得，

整理，得，
解得，，
當(dāng)x=18時，，故不符合題意，舍去，
∴
答：這名顧客買了15雙鞋．
【點睛】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程是解題關(guān)鍵．
26．(1)1
(2)
(3)
【分析】（1）首先根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，，然后證明出，得到，即可得到；
（2）設(shè)與交于點，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，進(jìn)而得到，然后證明出，即可得到；
（3）過點作交的延長線于點，證明出，得到，然后代數(shù)求解即可．
【詳解】（1）∵在正方形中，
∴，，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴；
（2）如圖2，設(shè)與交于點，
圖2
∵四邊形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）如圖3，過點作交的延長線于點，
圖3
∵，
∴，
∴四邊形為矩形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
【點睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)等知識．采用類比的數(shù)學(xué)思想方法是解題的關(guān)鍵．

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