考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，選對得5分，選錯(cuò)得0分.
1.過點(diǎn)且傾斜角為135°的直線方程為（ ）
A.B.
C.D.
2.已知非零向量，，且、、不共面，若，則（ ）
A.-13B.-5C.8D.13
3.已知點(diǎn)A，B，C為橢圓M的三個(gè)頂點(diǎn)，若是正三角形，則橢圓M的離心率是（ ）
A.B.C.D.
4.已知點(diǎn)在圓：的外部，則的取值范圍是（ ）
A.B.C.D.
5.瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在《三角形的幾何學(xué)》一書中提出：三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上.這條直線被稱為“歐拉線”.已知的頂點(diǎn)，，，則的歐拉線方程為（ ）
A.B.
C.D.
6.已知點(diǎn)，是雙曲線：上的兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)是，則直線的斜
率為（ ）
A.B.C.D.
7.如圖，在棱長為1的正方體中，E為線段的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段的中點(diǎn).直線到平面的距離為（ ）.
A.B.C.D.
8.已知為雙曲線C：的一個(gè)焦點(diǎn)，過F作C的一條漸近線的垂線，垂足為點(diǎn)A，與C的另一條漸近線交于點(diǎn)B，若，則C的離心率為（ ）
A.2B.C.D.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題滿分6分，共18.分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9.滿足下列條件的直線與，其中的是（ ）
A.的傾斜角為45°，的斜率為1
B.的斜率為，經(jīng)過點(diǎn)，
C.經(jīng)過點(diǎn)，，經(jīng)過點(diǎn)，
D.的方向向量為，的方向向量為，
10.長度為4的線段的兩個(gè)端點(diǎn)和分別在軸和軸上滑動(dòng)，線段中點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為曲線，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A.點(diǎn)（1，1）在曲線內(nèi)
B.直線與曲線沒有公共點(diǎn)
C.曲線上任一點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)仍在曲線上
D.曲線上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1
11.如圖，在直三棱柱中，，，是的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.平面B.平面平面
C.直線到平面的距離是D.點(diǎn)到直線的距離是
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在題中的橫線上）
12.已知雙曲線C的焦點(diǎn)為（-2，0）和（2，0），離心率為，則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_________.
13.如圖，在正三棱柱中，若，則與所成角的大小為___________.
14.已知圓經(jīng)過點(diǎn)，且與圓：相切于點(diǎn)，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________________
四、解答題：本題共5小題，共7分，（15題13分，16-17題15分，18-19題17分）解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15.（13分）
如圖所示，已知平面，四邊形為矩形，，，分別為，的中點(diǎn).求證：
（1）平面；
（2）平面平面.
16.（15分）
已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，且.
（1）求拋物線的方程，并求的值；
（2）過焦點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，求直線的方程.
17.（15分）
設(shè)動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)的距離與它到定直線：的距離之比為.
（1）求點(diǎn)M的軌跡E的方程；
（2）過F的直線與曲線E的右支交于P、Q兩點(diǎn)（P在x軸上方），曲線E與x軸左、右交點(diǎn)分別為A、B，設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，試判斷是否為定值，若是定值，求出此值，若不是，請說明理由.
18.（17分）
已知四棱錐中，四邊形為等腰梯形，，，，，為等邊三角形，且平面平面，
（1）求證：；
（2）是否存在一點(diǎn)F，滿足，且使平面與平面所成的銳二面角的余弦值為；若存在，指出點(diǎn)F的位置，否則，請說明理由.
19.（17分）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓：的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，短軸長為2，直線交橢圓于，兩點(diǎn)，直線與軸不平行，記直線的斜率為，直線的斜率為，已知.
（1）求橢圓C的方程
（2）求證：直線恒過定點(diǎn)；
（3）斜率為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，記以，為直徑的圓的面積分別為，，的面積為，求的最大值.
2024年下學(xué)期期中質(zhì)量監(jiān)測試卷
高二數(shù)學(xué)參考答案
1.【答案】D
【分析】由傾斜角為135°求出直線的斜率，再利用點(diǎn)斜式可求出直線方程
【詳解】解：因?yàn)橹本€的傾斜角為135°，所以直線的斜率為，
所以直線方程為，即，
故選：D
2.【答案】B
【解析】【分析】
【解答】
解：因?yàn)?，所以設(shè)，
所以，
所以，
解得，，
則.
故選B.
3.3.C
【分析】首先由題得到，結(jié)合，即可求得.
【詳解】無論橢圓焦點(diǎn)位于x軸或y軸，根據(jù)點(diǎn)A，B，C為橢圓M的三個(gè)頂點(diǎn)，
若是正三角形，則，即，即，
即有，則，解得.
故選：C.
4.【答案】B
【解析】由，得，
由，解得①，
∵點(diǎn)在圓的外部，∴，
即，得或②，由①②得，故選B.
5.【答案】C
【解析】由的頂點(diǎn)，，知，
的重心為點(diǎn)，即點(diǎn)（1，1）.
因?yàn)椋詾橹苯侨切危云渫庑臑樾边叺闹悬c(diǎn)，
即點(diǎn)，即點(diǎn)，
所以的歐拉線方程為，即.故選C.
6.【答案】D
【解析】通解設(shè)，，
∵點(diǎn)，是雙曲線上的兩點(diǎn)，
∴，，
兩式相減得，
∵是線段的中點(diǎn)，
∴，，
∴，∴.
秒殺解 由題意知，，則直線的斜率為.
7.D
【分析】將直線到平面的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離，建立直角坐標(biāo)系，表示出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)以及向量和法向量，利用距離公式即可求出.
【詳解】∵，平面，平面，∴平面，
因此直線到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，
如圖，以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為x軸，所在的直線為y軸，所在的直線為z軸，建立直角坐標(biāo)系.
則，，，，，
，，，
設(shè)平面的法向量為，則
，令，則
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則
故直線到平面的距離為.
故選：D.
8.【答案】C
【分析】畫出圖形，利用漸近線的夾角，通過求解三角形推出雙曲線的離心率即可.
【詳解】如圖所示，
可知：，，，，，
可得，
，即
可得，
解得：或
因?yàn)?，所以?br>所以舍去，
故選：C
9.【答案】BCD
【分析】根據(jù)直線斜率之積為-1判斷ABC，再由方向向量垂直的數(shù)量積表示判斷D.
【詳解】對A，，，，所以A不正確；
對B，，，故B正確；
對C，，，，故C正確；
對D，因?yàn)?，所以兩直線的方向向量互相垂直，故，故D正確.
故選：BCD
10.【答案】ABC
【解析】【分析】
【解答】
解：設(shè)線段中點(diǎn)，則，，
故，即，表示以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓，故C選項(xiàng)正確；
A選項(xiàng)，點(diǎn)（1，1）滿足在曲線內(nèi)，A選項(xiàng)正確；
B選項(xiàng)，直線，即0，圓心到直線的距離，
故直線與圓無公共點(diǎn)，B選項(xiàng)正確；
D選項(xiàng)，圓心到直線的距離為，又，所以有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：ABC.
11.【答案】ABD
【解析】對于選項(xiàng)A，如圖1所示，連接，交于點(diǎn)，連接，
因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，
又平面，平面，所以平面，故A正確；
對于選項(xiàng)B，因?yàn)?，是的中點(diǎn)，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面，故B正確；
對于選項(xiàng)C，因?yàn)槠矫妫?br>所以到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，的方向分別為軸，軸的正方向，
建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
所以，，，
設(shè)平面的法向量，
則即得，
令，則，得，則，故C錯(cuò)誤
對于選項(xiàng)D，由C選項(xiàng)的分析知，
，，，
則點(diǎn)到直線的距離為，故D正確.故選ABD.
12.12.
【分析】根據(jù)給定條件，求出雙曲線C的實(shí)半軸、虛半軸長，再寫出C的方程作答.
【詳解】令雙曲線C的實(shí)半軸、虛半軸長分別為a，b，顯然雙曲線C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，其半焦距，
由雙曲線C的離心率為，得，解得，則，
所以雙曲線C的方程為.
故答案為：.
13.答案：90°
【解答】
解：，
設(shè)，則，
所以，，
所以，
于是得到與所成角的大小為90°.
答案：90°
14.【答案】解：已知圓：化簡為標(biāo)準(zhǔn)形式：.
故其圓心為，半徑為，
由點(diǎn)，點(diǎn)，，
可得的中垂線斜率為，且經(jīng)過中點(diǎn)，
所以的中垂線方程為，化簡可得：①，
圓心和所在直線方程為，化簡可得：②，
聯(lián)立 ① ②可得：，解得
故圓心坐標(biāo)為，
半徑為，
則圓的方程為
15.【答案】解：（1）如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)，
則，，，，，
因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，
所以，，
所以，，，
所以.
又因?yàn)槠矫妫云矫?
（2）由（1）可知，，.
設(shè)平面的法向量為，
則即
令，得，，則.
設(shè)平面的法向量為，
則即
令，得，，則.
因?yàn)椋?br>所以，所以平面平面.
16.【解題思路】（1）首先表示出拋物線的準(zhǔn)線方程，根據(jù)拋物線的定義及焦半徑公式求出，即可求出拋物線方程；
（2）設(shè)直線的方程為，、，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達(dá)定理，由得到方程，解得即可.
【解答過程】（1）拋物線：的準(zhǔn)線方程為，
因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，且，
所以，解得，
所以拋物線方程為，
又因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，.
（2）由（1）可知拋物線的焦點(diǎn)，
顯然直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，，，
由，消去整理得，
所以，則，，
所以，
，
又，所以，，
因?yàn)?，所以?br>即，
即，解得，
所以直線的方程為，即.
17.【詳解】（1）設(shè)，M到定直線：的距離為，
則，故，
平方后化簡可得，
故點(diǎn)M的軌跡E的方程為：
（2）由題意，，
設(shè)直線的方程為，，，
由，可得，
所以，
則，，
所以
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，：，此時(shí)，
綜上，為定值.
18.【答案】（1）證明見解析
（2）點(diǎn)F為中點(diǎn)時(shí)，使平面與平面所成的銳二面角的余弦值為，理由見解析
【詳解】（1）取的中點(diǎn)G，連接，
因?yàn)椋?，又，所以是等邊三角形?br>所以，所以是直角三角形，所以，
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，平面平面?br>所以平面，
又平面，所以；
（2）F為中點(diǎn)即可滿足條件，理由如下：
取的中點(diǎn)H，連接，則，平面平面，平面，平面平面，
所以平面，
由為等邊三角形，可得，
在直角三角形中，，
以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，為x，y軸，過D平行于的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
則，，，，
，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，令，則，，
所以平面的法向量為，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為.
則，令，則，，
所以平面的一個(gè)法向量為，
于是，
解得或（舍去），
所以點(diǎn)F為中點(diǎn)時(shí)，使平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.
19.【解題思路】（1）由已知可得橢圓方程，設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理及，可得，即可得證；
（2）設(shè)直線，聯(lián)立直線與橢圓，結(jié)合韋達(dá)定理可得弦長，再根據(jù)點(diǎn)到直線距離可得，再根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，可得，進(jìn)而可得，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得最值.
【解答過程】（1）由已知兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，短軸長為2，得，，
則橢圓方程：.
（2）設(shè)直線方程為，，，
由，消去x得，，
，
則，，
，
，
又點(diǎn)在橢圓上，則，即
則，
即，則，
即
，
解得，此時(shí)，
即直線的方程為，
所以直線恒過定點(diǎn)；
（2）設(shè)直線的方程為，，，
由，消去得，
，即，
則，，
所以
點(diǎn)到直線的距離，
所以，
又，，
所以
，
所以
則當(dāng)即時(shí)，取最大值為.

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