1. 下列方程中是一元二次方程的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】找到只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是2，二次項(xiàng)系數(shù)不為0的整式方程的選項(xiàng)即可．
【詳解】解：A、當(dāng)a=0時(shí)，不是一元二次方程，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、是分式方程，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、化簡(jiǎn)得：是一元二次方程，故本選項(xiàng)正確；
D、是二元二次方程，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵．
2. 若反比例函數(shù)的圖象上有兩點(diǎn)，，則與的大小關(guān)系（ ）
A. B. C. D. 無法確定
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了根據(jù)反比例函數(shù)的增減性比較反比例函數(shù)值或自變量的大小，；對(duì)于反比例函數(shù)，當(dāng)時(shí)，圖象在一、三象限均有隨的增大而減?。划?dāng)時(shí)，圖象在二、四象限均有隨的增大而增大．據(jù)此即可求解．
【詳解】解：∵，
∴反比例函數(shù)的圖象在一、三象限均有隨的增大而減小；
∵，
∴，
故選：A
3. 如果(其中，)，那么下列式子中不正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】設(shè)，則可以變形為．分別代入各個(gè)選項(xiàng)檢驗(yàn)即可得到結(jié)論．
【詳解】解：設(shè)，則可以變形為．
A、，，該選項(xiàng)正確，故不符合題意；
B、，，該選項(xiàng)正確，故不符合題意；
C、，，該選項(xiàng)正確，故不符合題意；
D、，，該選項(xiàng)錯(cuò)誤，故符合題意．
故選：D．
【點(diǎn)睛】已知幾個(gè)量的比值時(shí)，常用的解法是：設(shè)一個(gè)未知數(shù)，把題目中的幾個(gè)量用所設(shè)的未知數(shù)表示出來，實(shí)現(xiàn)約分求值．
4. 方程解是（ ）
A. B. C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了用因式分解法解一元二次方程，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．
方程移項(xiàng)得，，分解因式得，解得，，．
【詳解】解：原方程移項(xiàng)得，，
∴，
解得：，．
故選：C．
5. 關(guān)于反比例函數(shù)，下列說法中錯(cuò)誤的是（ ）
A. 時(shí)，y隨x的增大而減小B. 當(dāng)時(shí)，
C. 它的圖象位于第二、四象限D(zhuǎn). 當(dāng)時(shí)，y有最小值為
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的單調(diào)性、所在的象限進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A、∵，反比例函數(shù)位于第一、三象限，且在每一個(gè)象限內(nèi)y隨x的增大而減??；故本選項(xiàng)正確，不符合題意；
B、∵，反比例函數(shù)位于第一、三象限，且在每一個(gè)象限內(nèi)y隨x增大而減小；當(dāng)時(shí)，，故本選項(xiàng)正確，不符合題意；
C、∵，反比例函數(shù)位于第一、三象限，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；
D、∵，反比例函數(shù)位于第一、三象限，且在每一個(gè)象限內(nèi)y隨x的增大而減??；當(dāng)時(shí)，，則y有最小值為，故本選項(xiàng)正確，不符合題意；
故選C．
【點(diǎn)睛】此題考查了反比例函數(shù)，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
6. 如圖，若直線，且，，則（ ）

A. 5B. 6
C. 9D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理．直接根據(jù)平行線分線段成比例定理即可得．
【詳解】解：直線，且，
，
又，
，
故選：C．
7. 新能源汽車已逐漸成為人們喜愛的交通工具，據(jù)某品牌新能源汽車經(jīng)銷商7月份至9月份統(tǒng)計(jì)，該品牌新能源汽車7月份銷售1000輛，9月份銷售1690輛．設(shè)月平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意，下列方程正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用．設(shè)月平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意列出方程即可．
【詳解】解：設(shè)月平均增長(zhǎng)率為x，
根據(jù)題意，．
故選：B．
8. 若是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則的值是（ ）
A. 2022B. 2026C. 2020D. 2019
【答案】B
【解析】
【分析】將代入一元二次方程得到，整體代入求代數(shù)式值即可得到答案．本題考查代數(shù)式求值，涉及一元二次方程根的定義，整體代入是關(guān)鍵．
【詳解】解：∵是關(guān)于的方程的一個(gè)根，
∴，
即，
，
故選：B．
9. 驗(yàn)光師檢測(cè)發(fā)現(xiàn)近視眼鏡的度數(shù)y（度）與鏡片焦距x（米）成反比例，y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖所示．經(jīng)過一段時(shí)間的矯正治療后，小雪的鏡片焦距由0.25米調(diào)整到0.5米，則近視眼鏡的度數(shù)減少了（ ）度．
A. 150B. 200C. 250D. 300
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，讀懂題意，掌握課本知識(shí)是解決問題的關(guān)鍵．由已知設(shè)，則由圖象知點(diǎn)滿足解析式，代入求，則解析式為：，令，時(shí)，分別求的值后作差即可．
【詳解】解：設(shè)，
在圖象上，
，
函數(shù)解析式為：，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
度數(shù)減少了（度），
故選：B
10. 在古希臘時(shí)期，有一天畢達(dá)哥拉斯走在街上，在經(jīng)過鐵匠鋪前他聽到鐵匠打鐵的聲音非常好聽，于是駐足傾聽，他發(fā)現(xiàn)鐵匠打鐵節(jié)奏很有規(guī)律，這個(gè)聲音的比例被畢達(dá)哥拉斯用數(shù)學(xué)的方式表達(dá)出來，后來人們將這個(gè)數(shù)稱為黃金分割數(shù)．設(shè)，，記，，，…，，則的值為（ ）
A. B. C. 100D. 5050
【答案】C
【解析】
【分析】先計(jì)算，，的值，找出規(guī)律，然后求解即可．
【詳解】解：，，
，
，
，
，
，
，
，
故選：C
【點(diǎn)睛】本題考查的分式的規(guī)律計(jì)算以及二次根式的乘法，正確掌握異分母分式的加減計(jì)算法則及運(yùn)算規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（本題共8小題，每小題3分，共24分）
11. 如果＝3，則＝__________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)可以將a用b來表示，代入所求式子中即可.
【詳解】解：∵＝3
∴
代入=
故答案為：
【點(diǎn)睛】此題主要考查了比例的性質(zhì)，熟記兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積用b表示出a是解題的關(guān)鍵.
12. 若，是一元二次方程兩個(gè)根，則________．
【答案】1
【解析】
【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到即可．
【詳解】解：、是一元二次方程的兩根，
．
故答案為：1．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程兩個(gè)為，，則，．
13. 關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是______．
【答案】且
【解析】
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義以及根的判別式的意義可得 且，求出的取值范圍即可．
【詳解】解：∵一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴，
∴且，
故答案為：且．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的定義，一元二次方程根的判別式，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握一元二次方程的定義和一元二次方程根的判別式．
14. 若函數(shù)是反比例函數(shù)，則的值等于______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的定義，即可解答．
【詳解】解：∵函數(shù)是反比例函數(shù)，
∴，解得：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)的三種表達(dá)式：．
15. 一個(gè)長(zhǎng)方體物體的一頂點(diǎn)所在A、B、C三個(gè)面的面積比是，如果分別按A、B、C面朝上將此物體放在水平地面上，地面所受的壓力產(chǎn)生的壓強(qiáng)分別為、、（壓強(qiáng)的計(jì)算公式為），則______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)、、三個(gè)面的面積比是，設(shè)出、、三個(gè)面的面積分別是，，，再根據(jù)壓強(qiáng)的計(jì)算公式為表示，，，計(jì)算化簡(jiǎn)即可．本題以物理上的壓強(qiáng)為背景，考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．線段的比的性質(zhì)．
【詳解】解：∵一個(gè)長(zhǎng)方體物體的一頂點(diǎn)所在A、B、C三個(gè)面的面積比是，
∴設(shè)、、三個(gè)面的面積分別是，，，
∵，
∴，，，
，
故答案為：．
16. 如圖所示的兩個(gè)四邊形相似，則α的度數(shù)是________．
【答案】##67度
【解析】
【分析】此題考查了相似多邊形的性質(zhì)．此題比較簡(jiǎn)單，解題的關(guān)鍵是掌握相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等定理的應(yīng)用．由兩個(gè)四邊形相似，根據(jù)相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，即可求得的度數(shù)，又由四邊形的內(nèi)角和等于，即可求得的度數(shù)．
【詳解】解：∵四邊形四邊形，
∴，
∵，
∴．
故答案為：．
17. 三角形的兩邊長(zhǎng)分別為4和5，第三邊的長(zhǎng)為方程的根，則此三角形的面積為______．
【答案】6
【解析】
【分析】本題考查了解一元二次方程，直角三角形的判定，直角三角形的面積，求出一元二次方程的解得到三角形的第三條邊是解答關(guān)鍵．
先求出一元二次方程的解，得到三角形第三條邊，再利用勾股定理的逆定理判定三角形為直角三角形，最后利用直角三角形的面積公式求解．
【詳解】解：三邊的長(zhǎng)為方程的根，
，
，，
解得（不符合題意舍去），，
三角形的第三邊的長(zhǎng)為3．
，
這個(gè)三角形是以3和4為兩條直角邊的直角三角形，
此三角形的面積為．
故答案為：6．
18. 代數(shù)式的最大值是______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了配方法的應(yīng)用，整理，則當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的最大值是，據(jù)此即可作答．
【詳解】解：
，
∵，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，，
∴代數(shù)式的最大值是，
故答案為：．
三、解答題（本大題共8小題，共66分）
19. 解方程
（1）
（2）；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題主要考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法，是解題的關(guān)鍵．
（1）先將方程變?yōu)橐话阈问?，然后用因式分解法解一元二次方程即可?br>（2）先移項(xiàng)，然后用因式分解法解一元二次方程即可．
【小問1詳解】
解：，
，
，
∴，，
解得．
【小問2詳解】
解：，
，
，
∴，，
解得．
20. 如圖，在中，D，E，F(xiàn)分別是，上的點(diǎn)，且，，，，求和的長(zhǎng)．
【答案】，
【解析】
【分析】此題考查平行線分線段成比例，利用得到，求出，，根據(jù)得到，由此求出CE．
【詳解】解：∵，
，
∵，
∴，，
∵，
，
∴．
21. 如圖，已知是一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)．
（1）求此反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
（2）求三角形的面積；
（3）根據(jù)圖象直接寫出關(guān)于x的不等式的解集．
【答案】（1）反比例函數(shù)的解析式為；一次函數(shù)的解析式為
（2）6 （3）或
【解析】
【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，能夠熟練運(yùn)用待定系數(shù)法求得函數(shù)的解析式；能夠運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想觀察兩個(gè)函數(shù)值的大小關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
（1）點(diǎn)代入可求出反比例函數(shù)的解析式，從而得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，再把點(diǎn)A，B的坐標(biāo)代入，可求出一次函數(shù)的解析式，即可；
（2）設(shè)直線與x軸交于點(diǎn)C，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)，即可求解；
（3）直接觀察函數(shù)圖象，即可求解．
【小問1詳解】
解：把點(diǎn)代入得：
，解得：，
∴反比例函數(shù)的解析式為，
把點(diǎn)代入得：
，解得：，
∴點(diǎn)，
把點(diǎn)，代入，得：
，解得：，
∴一次函數(shù)的解析式為；
【小問2詳解】
解：如圖，設(shè)直線與x軸交于點(diǎn)C，
對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，
解得：，
∴點(diǎn)C-2,0，
∴，
∵點(diǎn)，，
∴；
【小問3詳解】
解：觀察圖象得：當(dāng)或時(shí)，一次函數(shù)的圖象位于反比例函數(shù)的圖象的下方，
∴關(guān)于x的不等式的解集為或．
22. 為預(yù)防流感，某學(xué)校對(duì)教室采用藥熏消毒．已知藥物燃燒階段，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量（單位：）與燃燒時(shí)間（單位：min）成正比例；燃燒后，與成反比例（如圖所示）．現(xiàn)測(cè)得藥物1燃燒完畢，此時(shí)教室內(nèi)每立方米空氣含藥量為．根據(jù)以上信息解答下列問題：
（1）分別求出藥物燃燒時(shí)；藥物燃燒后，關(guān)于的函數(shù)解析式，并直接寫出自變量的取值范圍；
（2）研究表明，當(dāng)每立方米空氣中含藥量低于時(shí)，對(duì)人體方能無毒害作用，那么從藥物燃燒完畢開始計(jì)時(shí)，至少需要經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間，學(xué)生才可以返回教室？
【答案】（1）藥物燃燒時(shí)；，藥物燃燒后
（2）至少需要40分鐘后學(xué)生才能回教室
【解析】
【分析】本題考查正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用；
（1）設(shè)，將點(diǎn)代入函數(shù)解析式求出即可；設(shè)，將點(diǎn)代入函數(shù)解析式求出即可；
（2）令，解出即可．
【小問1詳解】
解：設(shè)，
∵函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)，
∴，，
∴；
根據(jù)函數(shù)圖象可得
∴藥物燃燒時(shí)；，
設(shè)，
∵函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)，
∴，，
∴；
根據(jù)函數(shù)圖象可得
∴藥物燃燒后；
【小問2詳解】
令，則，，
答：至少需要40分鐘后學(xué)生才能回教室．
23. 某商場(chǎng)銷售一批名牌襯衫，平均每天可銷售件，每件盈利元．為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，盡量減少庫(kù)存，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價(jià)元，商場(chǎng)平均每天可多售出件．求：
（1）若商場(chǎng)每件襯衫降價(jià)元，則商場(chǎng)每天可盈利多少元？
（2）若商場(chǎng)平均每天要盈利元，每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，因式分解法解一元二次方程，有理數(shù)的混合運(yùn)算等知識(shí)點(diǎn)，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)題意得到每天的銷售量，然后由“每天盈利每天銷售量每件盈利”進(jìn)行解答；
（2）設(shè)每件襯衫應(yīng)降價(jià)元，根據(jù)“每天售出件數(shù)每件盈利每天盈利”，列出方程解答即可．
【小問1詳解】
解：（元），
答：若商場(chǎng)每件襯衫降價(jià)元，則商場(chǎng)每天可盈利元；
【小問2詳解】
解：設(shè)每件襯衫應(yīng)降價(jià)元，
根據(jù)題意，得：，
整理，得：，
分解因式，得：，
解得：，，
要“擴(kuò)大銷售量，減少庫(kù)存”，
應(yīng)舍去，
，
答：若商場(chǎng)平均每天要盈利元，每件襯衫應(yīng)降價(jià)元．
24. 關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，．
（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若方程的兩實(shí)數(shù)根，滿足，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用判別式的意義得到，然后解不等式即可；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，，根據(jù)，所以，然后解關(guān)于的方程即可得到滿足條件的的值．
小問1詳解】
解：根據(jù)題意得，
解得；
【小問2詳解】
，，
，
，
而，
，，
，即，
解得，，
而，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根時(shí)，，．也考查了判別式的值．
25. 若關(guān)于的一元二次方程的根均為整數(shù)，則稱方程為“快樂方程”．通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)，任何一個(gè)“快樂方程”的判別式一定為完全平方數(shù)．現(xiàn)規(guī)定為該“快樂方程”的“快樂數(shù)”．例如“快樂方程”的兩根均為整數(shù)，其“快樂數(shù)”．
（1）“快樂方程”的“快樂數(shù)”為________；
（2）若關(guān)于的一元二次方程（為整數(shù)，且）是“快樂方程”，求的值，并求該方程的“快樂數(shù)”．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）首先確定、、的值，然后根據(jù)“快樂數(shù)”的定義即可求出該“快樂方程”的“快樂數(shù)”；
（2）首先確定、、的表達(dá)式，然后求得判別式，根據(jù)的取值范圍即可確定判別式的取值范圍，由判別式是完全平方數(shù)可進(jìn)一步確定判別式的取值，進(jìn)而求得的值及、、的值，然后根據(jù)“快樂數(shù)”的定義即可求出該方程的“快樂數(shù)”．
【小問1詳解】
解：對(duì)于“快樂方程”，
，，，
其“快樂數(shù)”為：
，
故答案為：；
【小問2詳解】
解：對(duì)于關(guān)于的一元二次方程，
，，，
，
，
，
是完全平方數(shù)，
或，
若，則，
若，則（與為整數(shù)相矛盾，故舍去），
，
，，，
該一元二次方程變?yōu)椋海?br>該方程的“快樂數(shù)”為：
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了代數(shù)式求值，有理數(shù)的四則混合運(yùn)算，一元二次方程根的判別式，完全平方公式，計(jì)算單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，合并同類項(xiàng)，不等式的性質(zhì)，完全平方數(shù)，解一元一次方程等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)并能加以綜合運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．
26. 如圖，在矩形中，，．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)即停止；同時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)即停止，點(diǎn)、的速度都是．連接、、．設(shè)點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為．

（1）當(dāng)__________時(shí)，四邊形是矩形；
（2）當(dāng)__________時(shí)，四邊形是菱形；
（3）是否存在某一時(shí)刻使得，如果存在，請(qǐng)求出的值，如果不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）不存在某一時(shí)刻，使得
【解析】
【分析】（1）當(dāng)四邊形是矩形時(shí)，，據(jù)此求得的值；
（2）當(dāng)四邊形是菱形時(shí)，，列方程求得運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；
（3）根據(jù)勾股定理得到，列方程得，根據(jù)根的判別式得出方程無實(shí)數(shù)根，即可得出答案；
【小問1詳解】
解：如圖， 過點(diǎn)作于點(diǎn)，
由矩形可知， ，， ，，
∵，
∴，
∴四邊形矩形，
∴， ，由運(yùn)動(dòng)可知， ， 則，
當(dāng)， 四邊形是矩形，得到， ，
解得，
即當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形，
故答案為：；
【小問2詳解】
解：當(dāng)四邊形是菱形，
，
，
解得，
即當(dāng)時(shí)，四邊形是菱形，
故答案為：；
【小問3詳解】
解：不存在，理由如下：
，
，

，
若存在某一時(shí)刻，使得，則存在某一時(shí)刻使得，，
即方程有解，
方程整理得
，
故方程無解，
即不存在某一時(shí)刻，使得．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的判定和性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解一元二次方程．解決此題注意結(jié)合方程的思想解題．

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