1. 以下四家銀行的行標(biāo)圖中，是軸對(duì)稱圖形的有（ ）

A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)
【答案】C
【解析】
【詳解】第1個(gè)行標(biāo)是軸對(duì)稱圖形，
第2個(gè)行標(biāo)不是軸對(duì)稱圖形，
第3個(gè)行標(biāo)是軸對(duì)稱圖形，
第4個(gè)行標(biāo)是軸對(duì)稱圖形，
所以共3個(gè)軸對(duì)稱圖形，
故選：C．
2. 下面三組數(shù)中是勾股數(shù)的一組是（ ）
A. 6，7，8B. 2，3，4C. 1.5，2，2.5D. 5，12，13
【答案】D
【解析】
【分析】勾股數(shù)的定義：滿足的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)，據(jù)此求解即可．
【詳解】解：A．，不能構(gòu)成勾股數(shù)，故錯(cuò)誤；
B．，不能構(gòu)成勾股數(shù)，故錯(cuò)誤；
C．1.5和2.5不是整數(shù)，所以不能構(gòu)成勾股數(shù)，故錯(cuò)誤；
D．，能構(gòu)成勾股數(shù)，故正確．
故選：D．
【點(diǎn)睛】此題考查知識(shí)點(diǎn)是勾股數(shù)，解答此題要深刻理解勾股數(shù)的定義．
3. 如圖，已知，，，則的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根據(jù)“全等三角形對(duì)應(yīng)角相等”得出，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出的度數(shù)．本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】∵，
，
在中，，，
．
故選：D
4. 如圖，在△ABC中，AB=AC=10，AD是角平分線，AD=6，則BC的長(zhǎng)度為（ ）
A. 6B. 8C. 12D. 16
【答案】D
【解析】
【詳解】試題分析：∵在△ABC中，AB=AC=10，AD是角平分線，AD=6，∴BC=2BD，AD⊥BC．在Rt△ABD中，，即，解得BD=8，∴BC=16．故選D．
考點(diǎn)：1．勾股定理；2．等腰三角形的性質(zhì)．
5. 下列說(shuō)法：
①角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等；
②等腰三角形的高、中線、角平分線互相重合；
③三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)且這一點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等；
④等腰三角形的一邊長(zhǎng)為，一邊長(zhǎng)為，那么它的周長(zhǎng)是或40．
其中，所有正確說(shuō)法的序號(hào)是（ ）
A. ①②③B. ②③④C. ①③D. ②④
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的定義及三邊關(guān)系，根據(jù)角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的定義及三邊關(guān)系逐項(xiàng)判定即可求解，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：①角平分線上點(diǎn)到角兩邊的距離相等，原說(shuō)法正確；
②等腰三角形頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合，原說(shuō)法是錯(cuò)誤的；
③三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)且這一點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，原說(shuō)法正確；
④等腰三角形的一邊長(zhǎng)為，一邊長(zhǎng)為，那么它的周長(zhǎng)是40，原說(shuō)法是錯(cuò)誤的；
∴正確的說(shuō)法是①③，
故選：．
6. 如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，F(xiàn)是AB邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別在AC、BC邊上運(yùn)動(dòng)，且保持AD＝CE．連接DE、DF、EF．在此運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中，下列結(jié)論：①△DFE是等腰直角三角形；②DE長(zhǎng)度的最小值為4；③四邊形CDFE的面積保持不變；④△CDE面積的最大值為8．其中正確的結(jié)論是（ ）

A. ①②③B. ①③C. ①③④D. ②③④
【答案】C
【解析】
【分析】①連接CF,構(gòu)造全等三角形,證明△ADF≌△CEF即可.
②通過(guò)①可得△DFE是等腰直角三角形,則斜邊DE=DF,求得DF的最小值即可得到DE的最小值.
③通過(guò)證明△ADF≌△CEF,進(jìn)行等面積代換即可得出.
④通過(guò)結(jié)論③,換角度將四邊形CDFE的面積分為△CDE與△DEF,令△DEF的面積最小即可.
【詳解】①連接CF．
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴∠FCB＝∠A＝45°，CF＝AF＝FB，
∵AD＝CE，
∴△ADF≌△CEF，
∴EF＝DF，∠CFE＝∠AFD，
∵∠AFD+∠CFD＝90°
∴∠CFE+∠CFD＝∠EFD＝90°，
∴△EDF是等腰直角三角形，
故本選項(xiàng)正確；
②∵△DEF是等腰直角三角形，
∴當(dāng)DE最小時(shí)，DF也最小，
即當(dāng)DF⊥AC時(shí)，DE最小，此時(shí)DF＝BC＝4，
∴DE＝DF＝，
故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
③∵△ADF≌△CEF，
∴S△CEF＝S△ADF，
∴S四邊形CDFE＝S△DCF+S△CEF＝S△DCF+S△ADF＝S△ACF＝S△ABC
故本選項(xiàng)正確；
④當(dāng)△CED面積最大時(shí)，由③知，此時(shí)△DEF的面積最小，此時(shí)，
S△CED＝S四邊形CEFD﹣S△DEF＝S△AFC﹣S△DEF＝16﹣8＝8，
故本選項(xiàng)正確；
綜上所述正確的有①③④．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題旨在考查等腰直角三角形的性質(zhì),全等三角形的構(gòu)造與應(yīng)用,并結(jié)合動(dòng)圖和最值問(wèn)題,熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形,應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思維是解答關(guān)鍵.
二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）
7. 角是軸對(duì)稱圖形，__是它的對(duì)稱軸．
【答案】角平分線所在的直線
【解析】
【分析】根據(jù)角平分線的定義即可解答．
【詳解】解：角的對(duì)稱軸是“角平分線所在的直線”．
故答案為：角平分線所在的直線．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱圖形，理解軸對(duì)稱圖形沿對(duì)稱軸折疊能夠完全重合是解題的關(guān)鍵．
8. 等腰三角形的一個(gè)角等于，則它的底角是___________
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)定理與三角形內(nèi)角和定理．熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)定理與三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵；
根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)定理與三角形內(nèi)角和定理，即可求解．
【詳解】解：∵等腰三角形的一個(gè)角為，
當(dāng)該角為頂角時(shí)，底角為，
當(dāng)該角為底角時(shí)，不符合題意，
故答案為：
9. 如圖，已知，要用“”判斷，需添加的一個(gè)條件：_______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本題考查了全等三角形的判定，根據(jù)題意可得，且，，運(yùn)用的方法，添加一條邊
即可求解．
【詳解】解：∵，
∴，
根據(jù)題意可得，，，
∵要運(yùn)用“”判斷，
∴添加的條件為：，
∵，
∴，即，
∴，
故答案為： ．
10. 直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別是6cm和8cm，則斜邊上的中線長(zhǎng)等于_____．
【答案】5cm##5厘米
【解析】
【分析】先利用勾股定理求解斜邊，再由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得答案．
【詳解】解：∵直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別是6cm和8cm，
∴斜邊為：，
∴斜邊上的中線長(zhǎng)等于．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，直角三角形斜邊上的中線的應(yīng)用，熟記直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
11. 如圖，∠C＝90°，∠BAD ＝∠CAD，若BC＝11 cm，BD＝7 cm，則點(diǎn)D到AB的距離為____cm．
【答案】4．
【解析】
【分析】過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得DE=CD，再根據(jù)CD=BC-BD計(jì)算即可得解．
【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，
∵∠C=90°，∠BAD=∠CAD，
∴DE=CD，
∵CD=BC﹣BD=11﹣7=4cm，
∴DE=4cm，即點(diǎn)D到AB的距離為4cm．
故答案為4．
考點(diǎn)：角平分線的性質(zhì)．
12. 如圖，在中，，觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，則的周長(zhǎng)為____________．

【答案】
【解析】
【分析】由尺規(guī)作圖痕跡可知，所作直線為線段AB的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得，即可得出答案．
【詳解】解：由尺規(guī)作圖痕跡可知，所作直線為線段AB的垂直平分線，
，
，
，
，
的周長(zhǎng)為．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)以及作圖方法是解答本題的關(guān)鍵．
13. 如圖所示，將長(zhǎng)方形紙片進(jìn)行折疊，如果，那么_________度．
【答案】55
【解析】
【分析】利用平行線的性質(zhì)可得∠1＝70°，利用折疊及平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理可得∠BHE=∠2＝∠FEH，即可求的度數(shù)．
【詳解】解：由題意得EF//GH，
∵，
∴∠1＝∠BHG＝70°，
∴∠FEH＋∠BHE＝180°－70°=110°，
由折疊可得∠2＝∠FEH，
∵AD//BC
∴∠2＝∠BHE，
∴∠BHE=∠2＝∠FEH＝55°．
故答案為55．
【點(diǎn)睛】考查折疊問(wèn)題；綜合利用平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理及折疊的性質(zhì)解題是解決本題的思路．
14. 2002年8月在北京召開的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)取材于我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的《勾股圓方圖》，它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖所示），如果大正方形的面積是14，小正方形的面積是2，直角三角形的較短直角邊為a，較長(zhǎng)直角邊為b，那么的值為__________．

【答案】
【解析】
【分析】本題考查了勾股定理以及完全平方公式，根據(jù)大正方形的面積即可求得，利用勾股定理可以得到，然后求得直角三角形的面積即可求得的值，根據(jù)即可求解，正確表示出直角三角形的面積是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵大正方形的面積是14，
∴，
∴，
∵小正方形的面積是2，
∴直角三角形的面積為，
又∵直角三角形的面積為，
∴，
∴，
故答案為：．
15. 如圖，陰影部分表示以Rt△ABC的各邊為直徑的三個(gè)半圓所組成的兩個(gè)新月形，面積分別記作和．若，，則的周長(zhǎng)為______．
【答案】14
【解析】
【分析】本題考查的是勾股定理，熟練掌握與勾股定理有關(guān)圖形面積計(jì)算是解題關(guān)鍵．
根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)半圓面積公式、完全平方公式由可得，由，即可求解．
【詳解】解：由勾股定理得，，
，
，
，
，
，
，
，
（負(fù)值舍去），
的周長(zhǎng)，
故答案為：14．
16. 如圖，中，，已知平面內(nèi)有一點(diǎn)，使得與均為等腰三角形，則所有滿足條件的點(diǎn)有______個(gè)．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了等腰三角形的定義，根據(jù)等腰三角形的定義作出圖形即可求解，正確作出圖形是解題的關(guān)鍵．
【詳解】畫圖如下，滿足條件的點(diǎn)有個(gè)，
故答案為：．
三、解答題（本大題共10小題，共68分）
17. 已知：如圖，，，，、是垂足，．求證：．
【答案】詳見(jiàn)解析
【解析】
【分析】先證Rt△AED≌Rt△CFB（HL），根據(jù)全等三角形性質(zhì)得BF=ED，所以BF-EF=ED-EF.
【詳解】證明：因?yàn)椋?br>所以∠AED=∠BFC=90°
在Rt△AED和Rt△CFB中

所以Rt△AED≌Rt△CFB（HL）
所以BF=ED
所以BF-EF=ED-EF
所以BE=DF
【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.
18. [學(xué)科素養(yǎng)·幾何直觀]如圖，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，有一個(gè)以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的．
（1）作關(guān)于直線對(duì)稱的圖形；
（2）求的面積；
（3）在上畫出點(diǎn)，使得的值最小．
【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）
（3）見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）本小問(wèn)考查作圖之軸對(duì)稱變換，分別作出、、關(guān)于直線的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，依次連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)，即可解題．
（2）本小問(wèn)可利用割補(bǔ)法求三角形面積．
（3）本小問(wèn)考查利用“將軍飲馬”模型求線段和最小值，靈活掌握該模型即可解題．
【小問(wèn)1詳解】
解：如圖，即為所求．
【小問(wèn)2詳解】
解：如圖所示，的面積等于矩形的面積減去①、②、③三個(gè)三角形的面積，
即．
【小問(wèn)3詳解】
解：如圖，點(diǎn)即為所求．
19. 某校有一空地，如圖所示，現(xiàn)計(jì)劃在空地上中草皮，經(jīng)測(cè)量，，，，，，若種植平方米草皮需要元，問(wèn)總共需要投入多少元？
【答案】元
【解析】
【分析】本題考查了勾股定理及其逆定理的應(yīng)用，連接，由勾股定理可得，進(jìn)而由勾股定理的逆定理得到為直角三角形，再根據(jù)求出四邊形的面積即可求解，掌握勾股定理及其逆定理的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：連接，
∵，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴為直角三角形，
∴，
∴，
∴共需要投入元．
20. 證明命題：直角三角形30°角所對(duì)的邊是斜邊的一半，請(qǐng)寫已知，求證，并證明．
已知： ；
求證： ；
證明過(guò)程：

【答案】△ABC中，∠C=90°，∠A=30°；BC=AB，證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】延長(zhǎng)BC到D，使CD=BC，連接AD，求出△ADB是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出BD=AB，即可得出答案．
【詳解】已知：△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
求證：BC=AB，
證明：

延長(zhǎng)BC到D，使CD=BC，連接AD，
∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BD，
∴AD=AB，
∵∠ACB=90°，∠C=30°，
∴∠B=60°，
∴△ADB是等邊三角形，
∴BD=AB，
∵BC=CD=BD，
∴BC=AB.
【點(diǎn)睛】本題考查了含30°角的直角三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)和判定，能正確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．
21. 如圖，在中，，．點(diǎn)C在直線l上，分別過(guò)點(diǎn)A、B作直線l于點(diǎn)D，直線l于點(diǎn)F．
（1）求證：；
（2）設(shè)三邊分別為a、b、c，利用此圖證明勾股定理．
【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）通過(guò)證明，得，，即可得出結(jié)論；
（2）利用等面積法證得勾股定理．
【小問(wèn)1詳解】
，，
．
，
又，
．
在和中
，．
．
【小問(wèn)2詳解】
由（1）知：，，．
．
又．
．
整理，得．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的證明，證明是解題的關(guān)鍵．
22. 如圖，中，是的角平分線，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，連接交于點(diǎn)G．
（1）求證：直平分；
（2）已知，，求的面積．
【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）19
【解析】
【分析】此題考查了角平分線的性質(zhì)定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、垂直平分線的判定等知識(shí)．
（1）由角平分線性質(zhì)得到，證明，則，即可證明直平分；
（2）由（1）可知．根據(jù)，，即可求出答案．
【小問(wèn)1詳解】
證明：∵是角平分線，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴垂直平分；
【小問(wèn)2詳解】
解：由（1）可知．
∵，，
∴．
23. 已知為直線外一點(diǎn)，利用直尺和圓規(guī)在上作點(diǎn)、，分別滿足下列條件．（保留作圖痕跡，不寫作法）
（1）在圖①中，，
（2）在圖②中，，．
【答案】（1）畫圖見(jiàn)解析
（2）畫圖見(jiàn)解析
【解析】
【分析】本題考查的是作已知直線的垂線，作線段的垂直平分線，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，掌握基本幾何圖形的性質(zhì)并應(yīng)用于作圖是解本題的關(guān)鍵．
（1）如圖，先過(guò)作直線的垂線，垂足為，再以為圓心，為半徑畫弧，交直線于，，連接，即可；由等腰直角三角形的性質(zhì)可得：，可得，；
（2）如圖，過(guò)作直線的垂線，垂足為，截取，以為圓心，為半徑畫弧，交直線于，作線段的垂直平分線交直線于，再以為圓心，為半徑畫弧交直線于，連接，，可得，連接，則，可得為等邊三角形，可得，，可得，可得為等邊三角形，可得．
小問(wèn)1詳解】
解：如圖，，，即為求作的線段與直角；
【小問(wèn)2詳解】
如圖，線段，，即為求作的線段與角；
24. 已知：在△ABC中，AB＝BC＝8cm，∠ABC＝90°，點(diǎn)E在AB上，ED⊥AC于點(diǎn)D，M為EC的中點(diǎn)．
（1）試判斷BM和DM有怎樣的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）當(dāng)AE＝2時(shí)，△BMD的面積是 cm2．
【答案】（1）BM⊥DM，BM＝DM，見(jiàn)解析；（2）12.5
【解析】
【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到BM＝DM，∠MCB＝∠MBC，∠MCD＝∠MDC，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)解答即可；
（2）利用勾股定理求出CE的長(zhǎng)度，根據(jù)（1）已求證的結(jié)論可得到BM、DM的長(zhǎng)度，再運(yùn)用直角三角形面積公式求解即可．
【詳解】（1）位置和數(shù)量關(guān)系：BM⊥DM，BM＝DM．
∵∠ABC＝90°，DE⊥AC，點(diǎn)M為EC的中點(diǎn)，AB＝BC，
∴BM＝CE＝CM，DM＝CE＝CM，∠BAC＝∠ACB＝45°，
∴BM＝DM，∠MBC＝∠MCB，∠MDC＝∠MCD
∵∠BME＝∠MBC+∠MCB，∠DME＝∠MDC+∠MCD
∠MCB+∠MCD＝∠ACB＝45°，
∴∠BMD＝∠BME+∠DME＝45°+45°＝90°，
∴BM＝DM，BM⊥DM
（2）由（1）知BM＝DM， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由（1）已證 ，
∴ ，
，
故答案是：12.5．
【點(diǎn)睛】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、勾股定理，掌握直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．
25. 如圖，在中，于D，，，，點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿著運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）當(dāng)__________時(shí)，平分的面積；
（2）求當(dāng)t為何值時(shí)，為軸對(duì)稱圖形；
（3）若點(diǎn)E、F分別為、上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為__________．
【答案】（1）
（2）當(dāng)t為或2或秒時(shí)，為軸對(duì)稱圖形
（3）
【解析】
【分析】本題考查了勾股定理，軸對(duì)稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)并運(yùn)用分類討論的思想是解題的關(guān)鍵．
（1）先求出的長(zhǎng)，再根據(jù)中線平分面積求解即可；
（2）根據(jù)題意可得為等腰三角形，再分四種情況分別求解即可；
（3）在撒花姑娘截取，過(guò)點(diǎn)P作，垂足為F，交于E，求出的長(zhǎng)，即可求解．
【小問(wèn)1詳解】
解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵平分的面積，
∴為中點(diǎn)，
∴，
∴，
故答案為：；
【小問(wèn)2詳解】
解：為軸對(duì)稱圖形，即為等腰三角形，
當(dāng)時(shí)，
∴，
∴；
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在線段上，
∵，
∴
∴，
∴；
當(dāng)，點(diǎn)P在線段上時(shí)，
設(shè)，則，
在中，，即，
解得，不符合題意；
當(dāng)，點(diǎn)P在線段上時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作，垂足為M，
設(shè)，則，
在中，，即，
解得，
∴，
∴；
綜上，當(dāng)t為或2或秒時(shí)，為軸對(duì)稱圖形；
【小問(wèn)3詳解】
解：在上截取，過(guò)點(diǎn)P作，垂足為F，交于E，
此時(shí)，，即為最小值，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值為，
故答案為：．
26. 【引例】
如圖，點(diǎn)、、在同一條直線上，在直線同側(cè)作兩個(gè)等腰直角三角形和，，，連接、．則與的關(guān)系是______．
【模型建立】
如圖，在和中，，，，連接、相交于點(diǎn)．求證：
①；
②．
【拓展應(yīng)用】
如圖，在四邊形中，對(duì)角線與交于點(diǎn)，，，．若，，求的值．
【答案】引例：，；模型建立：①證明見(jiàn)解析；②證明見(jiàn)解析；拓展應(yīng)用：
【解析】
【分析】引例：如圖，延長(zhǎng)交CD于，證明得到，， 進(jìn)而可得，得到，即可求解；
模型建立：①如圖，設(shè)交于點(diǎn)，證明即可求證；②由可得，進(jìn)而可得，即可求解；
拓展應(yīng)用：如圖，作，截取，連接，證明可得，由勾股定理得，，得到，代入已知即可求解；
本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
【詳解】引例：解：如圖，延長(zhǎng)交CD于，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案為：，；
模型建立：證明：①如圖，設(shè)交于點(diǎn)，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
②證明：∵，
∴，
∵，，，
∴，
即；
拓展應(yīng)用：如圖，作，截取，連接，則，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
在中，，
∴
∵，，
∴，
∴，
∴．

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