一、填空題（共10題，每題4分，共40分）
1．已知m//α，n?α，則直線m、n的位置關(guān)系為 .
（填平行、相交、異面）
2.已知a向量=-m，6，3平行于向量 b=2，n，1，則 m+n= .
3.在長方體 ABCD-A?B?C?D?中, F 是DC 的中點, 設(shè)AA1=a，AB=b，AD=c，
用a、b、c表示A1F= .
4.已知向量 a=1，-1，0，b=-1，0，1，則a與b的夾角為 .
5．如圖，已知長方體ABCD-A1B1C1D1的棱長AA1=3cm，AB=4cm，
則點A1到棱BC的距離是 cm
6．已知圓錐的底面半徑為3，沿該圓錐的母線把側(cè)面展開后可得到圓心角為2π3的扇形，則該圓錐的高為 .
7．已知正四棱錐P-ABCD的所有棱長都為2，則此四棱錐體積為 .
8．如圖，已知一個半徑為2的半圓面剪去了一個等腰三角形ABC，將剩余部分繞著直徑AB
所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到一個幾何體，則該幾何體的體積為 .
9．如圖，一個直三棱柱形容器中盛有水，且側(cè)棱AA1=8．若側(cè)面AA1B1B水平放置時，
液面恰好過AC，BC，A1C1，B1C1的中點，當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時，液面高為 .
10．中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載：“芻甍者，下有袤有廣，而上有袤無廣，芻，草也，甍，屋蓋也．”翻譯為“底面有長有寬為矩形，頂部只有長沒有寬為一條棱．芻甍是茅草屋頂．”現(xiàn)有一個芻甍如圖所示，其中四邊形ABCD為矩形，EF//AB，若13AB=12AD=EF，△ADE和△BCF都是正三角形，G為AD的中點，則異面直線GE與CF
所成角的余弦值為 .

二、單選題（共3題，每題4分，共12分）
11．已知空間向量a=2，1，0，b=1，0，-1，則a在b上的投影向量為（ ）
A．12bB．12aC．bD．a(chǎn)
12．如圖是一個圓柱，圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等，則球的體積與圓柱的體積之比為（ ）
A．23 B．23 C．34 D．34
13．如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為棱BB1的中點，Q為正方形BB1C1C內(nèi)一動點（含邊界），
則下列說法中不正確的是（ ）

若D1Q//平面A1PD，則動點Q的軌跡是一條線段
B．不存在Q點，使得D1Q⊥平面A1PD
C．當(dāng)且僅當(dāng)Q點落在棱CC1上某點處時，三棱錐Q-A1PD的體積最大
D．若D1Q=62，那么Q點的軌跡長度為22π
三、解答題（共4題，共48分）
14．（本題滿分8分）如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)接于一個圓柱，AB=AC，BC為底面圓的直徑，
圓柱的體積是2π，底面直徑與圓柱的高相等．
（1）求圓柱的側(cè)面積；（2）求三棱柱ABC-A1B1C1的體積．
15．（本題滿分8分）如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別為DD1、BD的中點，
點G在CD上，且CG=14CD．（1）求EF與C1G所成角的余弦值；
（2）求點E到平面AB1C的距離．
16．（本題滿分12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面是邊長為2的正方形，且PB=6BC，
點O、Q分別為棱CD、PB的中點，且DQ⊥平面PBC.
（1）證明：OQ //平面PAD；（2）求二面角P-AD-Q的大小.
17．（本題滿分20分）如圖，在等腰梯形ABCD中，BC//AD，BC=12AD=2，∠A=60°，E為AD中點，
點O，F(xiàn)分別為BE，DE的中點，將△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，使得平面A1BE⊥平面BCDE（如圖）．

（1）求證：BE⊥平面A1OC；（2）求直線A1B與平面A1CE所成角的正弦值；
（3）側(cè)棱A1C上是否存在點P，使得BP//平面A1OF？若存在，求出A1PA1C的值，若不存在，請說明理由．
新中高級中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上期中考試數(shù)學(xué)試卷解析
學(xué)校:_________姓名：_________班級：__________考號：___________
一、填空題（共10題，每題4分，共40分）
1．已知m//α，n?α，則直線m、n的位置關(guān)系為 平行或異面 .
（填平行、相交、異面）
1．平行或異面【分析】利用線面平行的定義直接判斷即可.【詳解】由m//α，得直線m與平面α無公共點，
而n?α，因此直線m,n沒有公共點，所以直線m、n的位置關(guān)系為平行或異面.故答案為：平行或異面.
2.已知a向量=-m，6，3平行于向量 b=2，n，1，則 m+n= -4 .
3.在長方體 ABCD-A?B?C?D?中, F 是DC 的中點, 設(shè)AA1=a，AB=b，AD=c，
用a、b、c表示A1F= -a+12b+c .
4.已知向量 a=1，-1，0，b=-1，0，1，則a與b的夾角為 120° .
5．如圖，已知長方體ABCD-A1B1C1D1的棱長AA1=3cm，AB=4cm，
則點A1到棱BC的距離是 5 cm
5．5【分析】根據(jù)長方體的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直性質(zhì)以及點線距離定義，可得答案.
【詳解】連結(jié)A1B，如圖：在長方體ABCD-A1B1C1D1中，由BC⊥平面ABB1A1，
A1B?平面ABB1A1，所以A1B⊥BC，則點A1到棱BC的距離是A1B，
在矩形ABB1A1中，A1B=AB2+AA12=32+42=5.故答案為：5.
6．已知圓錐的底面半徑為3，沿該圓錐的母線把側(cè)面展開后可得到圓心角為2π3的扇形，則該圓錐的高為 .
6．62【分析】設(shè)圓錐的母線為l，高為h，根據(jù)圓錐側(cè)面展開圖的扇形弧長等于底面周長求出l，再由勾股定理計算
可得.【詳解】設(shè)圓錐的母線為l，高為h，底面半徑r=3，扇形的半徑為l.
由已知可得AB的長為2πr=6π，又∠AOB=2π3，由6π=2π3l可得l=9，
所以圓錐的高h=l2-r2=92-32=62.故答案為：62.
7．已知正四棱錐P-ABCD的所有棱長都為2，則此四棱錐體積為 .
7．423【分析】求出四棱錐的高，即可得到此四棱錐體積.
【詳解】設(shè)底面正方形兩條對角線相交于O點，
由題可得，PO⊥底面ABCD，在Rt△AOP中,
∵AO=2AC=22，AP=2，
∴PO=AP2-AO2=4-2=2.
故VP-ABCD=13×SABCD×PO=423.故答案為423.【點睛】求解空間幾何體體積的常用策略：
公式法：對于規(guī)則幾何體的體積問題，直接利用公式即可破解；
切割法：對于不規(guī)則的幾何體，可以將其分割成規(guī)則的幾何體，再利用公式分別求解之后進行相加求和即可；
補形法：同樣對于不規(guī)則的幾何體，還可以將其補形成規(guī)則圖形，求出規(guī)則幾何體的體積后減去多于部分
即可求解，但需注意的是補形后多于部分的幾何體也應(yīng)該是規(guī)則的，若不是規(guī)則的，此方法不建議使用；
等體積法：一個幾何體無論怎樣變化，其體積是不會發(fā)生變化的.
如果遇到一個幾何他的底面面積和高較難求解時，常常采用此種方法進行解題.
8．如圖，已知一個半徑為2的半圓面剪去了一個等腰三角形ABC，將剩余部分繞著直徑AB
所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到一個幾何體，則該幾何體的體積為 .
8．16π3【分析】在三角形中作于點，求得圓錐的底面半徑和高，計算出球體和圓錐體積即可
求得結(jié)果.【詳解】由題，△ABC為等腰直角三角形，作CO⊥AB于點O，如圖，
則△ABC繞著直徑AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體為兩個全等的圓錐AO和BO，
由半徑為2可得圓錐底面圓半徑為CO=2，圓錐的高為2，
則圓錐AO的體積為V1=13π×22×2=83π，
半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成半徑為2的球體，其體積為V2=43π×23=323π，
因此剩余部分所形成的幾何體的體積為V=V2-2V1=163π.故答案為：163π.
9．如圖，一個直三棱柱形容器中盛有水，且側(cè)棱AA1=8．若側(cè)面AA1B1B水平放置時，
液面恰好過AC，BC，A1C1，B1C1的中點，當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時，液面高為 .
9．6【分析】根據(jù)題意，當(dāng)側(cè)面AA1B1B水平放置時，水的形狀為四棱柱形，由已知條件求出水的體積；當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時，水的形狀為三棱柱形，設(shè)水面高為h，故水的體積可以用三角形的面積直接表示出，計算即可得答案．
【詳解】根據(jù)題意，當(dāng)側(cè)面AA1B1B水平放置時，水的形狀為四棱柱形，底面是梯形，設(shè)△ABC的面積為S，則S梯形＝34S，水的體積V水＝34S×AA1＝6S，當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時，水的形狀為三棱柱形，設(shè)水面高為h，則有V水＝Sh＝6S，
故h＝6.【點睛】本題考點是棱柱的體積計算，考查用體積公式來求高，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，屬于基礎(chǔ)題．
10．中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載：“芻甍者，下有袤有廣，而上有袤無廣，芻，草也，甍，屋蓋也．”翻譯為“底面有長有寬為矩形，頂部只有長沒有寬為一條棱．芻甍是茅草屋頂．”現(xiàn)有一個芻甍如圖所示，其中四邊形ABCD為矩形，EF//AB，若13AB=12AD=EF，△ADE和△BCF都是正三角形，
G為AD的中點，則異面直線GE與CF所成角的余弦值為 .
36【分析】取BC中點M，連接FM，GM，易證AD⊥平面EFMG，
再由等邊三角形可知四邊形EFMG為等腰梯形，高為2，建立空間直角坐標系，利用向量法可得異面直線夾角余弦值.【詳解】如圖所示，設(shè)EF=1，取BC中點M，連接FM，GM，
則GM//AB，又∵EF//AB，∴EF//GM，∵四邊形ABCD為矩形，∴AD⊥GM，
又∵△ADE為正三角形，G為AD的中點，∴AD⊥EG，∵GM∩EG=G，
且GM，EG?平面EFMG，∴AD⊥平面EFMG，易知△ADE?△BCF，
則EG=FM=3，∴四邊形EFMG為等腰梯形，高為2，在平面EFMG內(nèi)，過點G作GM的垂線，
以點G為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系，則G0,0,0，E0,1,2，
C-1,3,0，F(xiàn)0,2,2，即GE=0,1,2，CF=1,-1,2，∴csGE,CF=GE?CFGE?CF=-1+23×2=36，
即異面直線GE與CF的夾角余弦值為36，故答案為：36.
二、單選題（共3題，每題4分，共12分）
11．已知空間向量a=2，1，0，b=1，0，-1，則a在b上的投影向量為（ ）
A．12bB．12aC．bD．a(chǎn)
11．C【分析】根據(jù)空間向量的坐標運算求a?b,b，結(jié)合投影向量的坐標運算求解.
【詳解】因為a=2，1，0，b=1，0，-1，則a?b=2×1+1×0+0×-1=2，
b=12+02+-12=2，所以a在b上的投影向量為a?bb2b=b.故選：C.
如圖是一個圓柱，圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等，
則球的體積與圓柱的體積之比為（ ） A．23 B．23 C．34 D．34
12．B【分析】設(shè)球的半徑為R，根據(jù)球、圓柱的體積公式計算可得.
【詳解】設(shè)球的半徑為R，則圓柱的底面半徑為R，高為2R，所以球的體積V球=4π3R3，
圓柱的體積V圓柱=πR2×2R=2πR3，所以V球V圓柱=4π3R32πR3=23.故選：B.
如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為棱BB1的中點，
Q為正方形BB1C1C內(nèi)一動點（含邊界），則下列說法中不正確的是（ ）
若D1Q//平面A1PD，則動點Q的軌跡是一條線段
B．不存在Q點，使得D1Q⊥平面A1PD
C．當(dāng)且僅當(dāng)Q點落在棱CC1上某點處時，三棱錐Q-A1PD的體積最大
D．若D1Q=62，那么Q點的軌跡長度為22π
13．D【分析】利用線面平行與面面平行的判定定理與性質(zhì)定理判斷A；建立空間直角坐標系，求得平面A1PD的法向量，從而利用線面垂直的向量表示可判斷B；利用空間向量法求得點Q到平面A1PD的距離關(guān)于x,z的表達式，分類討論x+z的取值范圍求得三棱錐Q-A1PD的體積，從而判斷C；利用勾股定理求得C1Q為定值，從而判斷Q的軌跡，
進而求其長度判斷D.【詳解】選項A，分別取B1C1,CC1中點E,F，連接D1E,D1F,EF,PF，
由PF與B1C1，A1D1平行且相等得平行四邊形A1PFD1，所以D1F // A1P，
又D1F?平面A1DP，A1P?平面A1DP，所以D1F //平面A1DP，同理EF //平面A1DP，又EF∩D1F=F,EF,D1F?平面D1EF，所以平面D1EF //平面A1DP，當(dāng)Q∈EF時，D1Q?平面D1EF，所以D1Q //平面A1DP，即Q點軌跡是線段EF，
故A正確；選項B，以D1為原點，D1A1,D1C1,DC分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系，則A11,0,0,D0,0,1,P1,1,12，
設(shè)Qx,1,z0≤x,z≤1，則A1D=-1,0,1,A1P=0,1,12,D1Q=x,1,z，設(shè)m=a,b,c是平面A1PD的一個法向量，則m?A1D=-a+c=0m?A1P=b+12c=0，取c=1，則m=1,-12,1，若D1Q⊥平面A1PD，則D1Q // m，所以存在λ∈R，
使得D1Q=λm，則x=λ1=-λ2z=λ，解得x=z=-2?0,1，因此正方形B1C1CB內(nèi)（含邊界）不存在點Q，
使得D1Q⊥平面A1PD，故B正確；
選項C，△A1PD面積為定值，當(dāng)且僅當(dāng)點Q到平面A1PD的距離最大時，三棱錐Q-A1PD的體積最大，
又A1Q=x-1,1,z，則Q到平面A1PD的距離為d=A1Q?mm=23x+z-32，當(dāng)0≤x+z≤32時，d=2332-x+z，
則當(dāng)x+z=0時，d有最大值1；當(dāng)32≤x+z≤2時，d=23x+z-32，則當(dāng)x+z=2時，d有最大值13，
綜上，當(dāng)x+z=0時，d取得最大值1，即Q與C1重合時，d取得最大值，三棱錐Q-A1PD的體積最大，故C正確；
選項D，D1C1⊥平面BB1C1C,CQ?平面BB1C1C，所以D1C1⊥C1Q，所以C1Q=D1Q2-D1C12=622-12=22，
所以Q點軌跡是以C1為圓心，22為半徑的圓弧，圓心角是π2，則其軌跡長度為14×2π×22=24π，故D錯誤.故選：D.
三、解答題（共4題，共48分）
14．（本題滿分8分）如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)接于一個圓柱，AB=AC，BC為底面圓的直徑，
圓柱的體積是2π，底面直徑與圓柱的高相等．
（1）求圓柱的側(cè)面積；（2）求三棱柱ABC-A1B1C1的體積．
（1）4π；（2）2.
【分析】（1）根據(jù)圓柱的體積可求得半徑為r=1，代入側(cè)面積公式可得結(jié)果；
（2）求出三棱柱底面△ABC的面積，再由體積公式可得結(jié)果.
【詳解】（1）設(shè)底面圓的直徑為2r，則其高也為2r；由題可知，
圓柱的體積V=πr2?2r=2π，解得r=1，因此圓柱的側(cè)面積為S=2πr×2r=4π；
（2）因為△ABC是等腰直角三角形，底面圓的半徑為1，因此邊長AB=AC=2，
所以三棱柱ABC-A1B1C1的體積V=12×2×2×2=2．
（本題滿分8分）如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，
E、F分別為DD1、BD的中點，點G在CD上，且CG=14CD．
（1）求EF與C1G所成角的余弦值；（2）求點E到平面AB1C的距離．
15．（1）5117；（2）.【分析】（1）根據(jù)題意，建立空間直角坐標系，結(jié)合空間
向量的坐標運算，由EF?B1C=0，即可證明；（2）根據(jù)題意，由空間向量的坐標運算，代入計算，即可得到結(jié)果.
【詳解】（1）證明：以DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建系如圖，
則根據(jù)題意可得：E0，0，12，F(xiàn)12，12，0，B11，1，1，C0，1，0，
∴EF=12，12，-12，∵G0，34，0，C10，1，1，GC1=0，14，1，
∴cs?EF，GC1?=EF?GC1EF?GC1=-5117，又EF與CG所成角的范圍為0，π2，
∴EF與CG所成角的余弦值為5117；
（2）∵由三垂線定理得：BD1⊥平面AB1C，∴平面AB1C法向量為D1B=1，1，-1，
∵AE=-1，0，12，∴點E到平面AB1C的距離d=AE?nn=-1+0-123=32.
（本題滿分12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面是邊長為2的正方形，
且PB=6BC，點O、Q分別為棱CD、PB的中點，且DQ⊥平面PBC.
（1）證明：OQ //平面PAD；（2）求二面角P-AD-Q的大小.
16．（1）證明見解析；（2）π4.【分析】（1）取PA中點G，連接GQ,GD，
可證OQ // DG，進而OQ //平面PAD；（2）根據(jù)已知可證OQ⊥平面ABCD，取AB中點E，以O(shè)E,OC,OQ所在直線
分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz，由兩平面夾角的向量公式可解.
【詳解】（1）取PA中點G，連接GQ,GD∴點Q為PB中點，∴GQ // AB,GQ=12AB，∵底面是邊長為2的正方形，
O為CD中點，∴DO // AB,DO=12AB，∴GQ // OD,GQ=OD∴四邊形GQOD是平行四邊形.
∴OQ // DG,∵OQ?平面PAD,GD?平面PAD，∴OQ //平面PAD；
（2）∵DQ⊥平面PBC,BC?平面PBC∴DQ⊥BC，又∵底面是邊長為2的正方形，∴DC⊥BC,∵DQ∩DC=D,
DQ?平面DCQ，DC?平面DCQ，∴BC⊥平面DCQ，∵OQ?平面DCQ,∴BC⊥OQ.又∵CQ?平面DCQ,∴BC⊥CQ.
∵PB=26,∴QB=6,∵BC=2,∴QC=2，∵底面是邊長為2的正方形，∴DB=22,∴DQ=2∴DQ=CQ，
∵O為CD中點，∴OQ⊥DC，又∵BC⊥OQ,DC∩BC=C, DC?平面ABCD，BC?平面ABCD，∴OQ⊥平面ABCD，
取AB中點E，以O(shè)E,OC,OQ所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz，
則O0,0,0,Q0,0,1,A2,-1,0,B2,1,0,D0,-1,0,P-2,-1,2
所以AP=-4,0,2,AD=-2,0,0,AQ=-2,1,1，
設(shè)平面PAD法向量為m=x,y,z，則m?AP=-4x+2z=0m?AD=-2x=0∴m=0,1,0
設(shè)平面QAD法向量為n=x1,y1,z1，則n?AQ=-2x1+y1+z1=0n?AD=-2x1=0，
∴n=0,1,-1，csm,n=m?nm?n=22，所以向量的夾角為π4，
結(jié)合圖形可知二面角P-AD-Q為銳角，所以二面角P-AD-Q的大小為π4.
17．（本題滿分20分）如圖，在等腰梯形ABCD中，BC//AD，BC=12AD=2，∠A=60°，E為AD中點，
點O，F(xiàn)分別為BE，DE的中點，將△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，使得平面A1BE⊥平面BCDE（如圖）．

（1）求證：BE⊥平面A1OC；（2）求直線A1B與平面A1CE所成角的正弦值；
（3）側(cè)棱A1C上是否存在點P，使得BP//平面A1OF？若存在，求出A1PA1C的值，若不存在，請說明理由．
17．(1)證明見解析；(2)155；(3)存在，13.
【分析】（1）通過證明CO⊥BE，A1O⊥BE，可證明相關(guān)結(jié)論；（2）如圖建立空間直角坐標系，求出平面A1CE
法向量，后由空間向量知識可得答案；（3）由題目信息可表示出平面A1OF的法向量n1，后由BP?n1=0可解決問題.
【詳解】（1）證明：因BC//DE，且BC=DE，則四邊形BCDE是平行四邊形，則BE=CD，
又四邊形ABCD為等腰梯形，則AB=BE，結(jié)合∠A=60°可得△A1BE是等邊三角形.又O為BE中點，則A1O⊥BE；
如圖連接CE，注意到BC//AE，BC=AE，則四邊形BCEA是平行四邊形，結(jié)合△A1BE是等邊三角形，
可得四邊形BCEA是菱形，則△BCE是等邊三角形，又O為BE中點，則CO⊥BE，
因為A1O，CO?平面A1OC，A1O∩CO=O，所以BE⊥平面A1OC；
因平面A1BE⊥平面BCDE，
平面A1BE∩平面BCDE=BE，A1O?平面A1BE，
A1O⊥BE，則A1O⊥平面BCDE.
又由（1）可得CO⊥BE，則如圖建立以O(shè)為原點的
空間直角坐標系，則O0,0,0，B1,0,0，C0,3,0，
A10,0,3，E-1,0,0.則A1B=1,0,-3，A1C=0,3,-3，A1E=-1,0,-3.
設(shè)平面A1CE的法向量為n=x,y,z，則n?A1C=3y-3z=0n?A1E=x+3z=0，取y=1，則x=-3,z=1，
所以n=-3,1,1為平面A1CE的一個法向量，
設(shè)直線A1B與平面A1CE所成角為θ，則sinθ=csA1B,n=-232×5=155；
假設(shè)存在滿足條件的P點，設(shè)A1PA1C=t，則A1P=tA1C=0,3t,-3t.又OA1=0,0,3，
得OP=OA1+A1P=0,3t,3-3t，則P0,3t,3-3t.又由題可得D-2,3,0，結(jié)合E-1,0,0，
F為DE的中點，可得F-32,32,0，則OA1=0,0,3，OF=-32,32,0，設(shè)平面A1OF的法向量為n1=x1,y1,z1，則n1?OA1=3z1=0n1?OF=-3x12+32y1=0，取x1=1，則y1=3，z1=0，所以n1=1,3,0為平面A1OF的一個法向量.
要使BP//平面A1OF，則BP?n1=0，又BP=-1,3t，3-3t，
則-1+3t=0?t=13.故在側(cè)棱A1C上存在點P，使得BP//平面A1OF，且A1PA1C=13.

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