2023-2024學(xué)年上海市新中高級中學(xué)高一（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）一、單選題（本大題共3小題，共9.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.用反證法證明“已知，，，求證：”時，應(yīng)假設(shè)(    )A.  B.  C. 且 D. 或 2.設(shè)非空集合，，定義集合且，則集合是(    )A.  B.  C.  D. 3.設(shè)，是實數(shù)，集合，，且，則的取值范圍是(    )A.  B.  C.  D. 二、多選題（本大題共1小題，共3.0分。在每小題有多項符合題目要求）4.關(guān)于的不等式的解集為，則下列正確的是(    )A.
B. 關(guān)于的不等式的解集為
C.
D. 關(guān)于的不等式的解集為三、填空題（本大題共10小題，共40.0分）5.已知，則集合用列舉法表示為______ ．6.已知集合，，則 ______ ．7.若，則實數(shù) ______ ．8.設(shè)集合，，，則集合與的關(guān)系是______ ．9.已知，，，則下列命題為真命題的序號是______ ．
若，則；
若，且，則；
若，則；
若，則．10.已知命題：，命題：，若是的充分不必要條件，則實數(shù)的取值范圍是______ ．11.已知集合，若，且，則實數(shù)的取值范圍是______ ．12.已知命題“存在，”為假命題，則實數(shù)的取值范圍為______ ．13.若一個集合是另一個集合的子集，則稱兩個集合構(gòu)成“全食”；若兩個集合有公共元素，但不互為對方的子集，則稱兩個集合構(gòu)成“偏食”對于集合，若這兩個集合構(gòu)成“全食”或“偏食”，則實數(shù)的取值范圍是______ ．14.已知不等式的解集為，不等式的解集為，其中，是非零常數(shù)，則“”是“”的______ 條件選填“充分非必要”，“必要非充分”，“既非充分又非必要”，“充要”四、解答題（本大題共5小題，共48.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.本小題分
已知，，，證明：若，則，，中至少有一個小于；
已知，，，判斷“”是“，，中至少有一個小于”的什么條件？并說明理由．16.本小題分
設(shè)全集，集合，．
若，求實數(shù)的取值范圍；
若，，求．17.本小題分
已知，不等式的解集為，不等式的解集為．
求實數(shù)的值及集合；
設(shè)集合，若，求的取值范圍．18.本小題分

行駛中的汽車，在剎車時由于慣性作用，要繼續(xù)往前滑行一段距離才能停下，這段距離叫做剎車距離在某種路面上，某種型號汽車的剎車距離單位：與汽車的車速單位：滿足下列關(guān)系：為常數(shù)，且，做了兩次剎車實驗，有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示，其中．
求的值；
要使剎車距離不超過，則行駛的最大速度是多少？
若該型號的汽車在某一限速為的路段發(fā)生了交通事故，交警進行現(xiàn)場勘查，測得該車的剎車距離超過了，請問該車是否超速行駛？說明理由．
19.本小題分
已知函數(shù)，關(guān)于的不等式的解集為．
求實數(shù)，的值；
關(guān)于的方程的相異兩根為，，是否存在這樣的，使得若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；
求關(guān)于的不等式的解集．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：用反證法證明“已知，，，求證：”時，應(yīng)先假設(shè)或．
故選：．
熟記反證法的步驟，直接填空即可．反面有多種情況，需一一否定．
此題主要考查了反證法的第一步，解此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟．反證法的步驟是：
假設(shè)結(jié)論不成立；
從假設(shè)出發(fā)推出矛盾；
假設(shè)不成立，則結(jié)論成立．
在假設(shè)結(jié)論不成立時要注意考慮結(jié)論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定．2.【答案】 【解析】解：因為，所以，
所以．
故選：．
準確理解新定義，根據(jù)定義先求，再結(jié)合定義求．
本題考查集合的運算，屬于基礎(chǔ)題．3.【答案】 【解析】解：由題意得，，或，
因為，
所以或，
即或，即．
故選：．
先分別求出集合，，然后結(jié)合集合的包含關(guān)系即可求解．
本題主要考查了集合包含關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．4.【答案】 【解析】解：由已知可得且，是方程的兩根，A正確，
則由根與系數(shù)的關(guān)系可得：，解得，，
則不等式可化為：，即，所以，B錯誤，
，C正確，
不等式可化為：，即，
解得或，D正確，
故選：．
先由已知可得且，，然后代入各個選項驗證是否正確即可．
本題考查了一元二次不等式的解法以及應(yīng)用，涉及到不等式的性質(zhì)問題，屬于基礎(chǔ)題．5.【答案】 【解析】解：因為，
當(dāng)，時，，
當(dāng)，時，，
當(dāng)時，．
故答案為：．
由已知對，的正負進行分類討論求出集合中的元素，即可求解．
本題主要考查了集合的表示方法，屬于基礎(chǔ)題．6.【答案】 【解析】解：集合，或，
則．
故答案為：．
根據(jù)已知條件，結(jié)合交集及其定義，即可求解．
本題主要考查交集及其運算，屬于基礎(chǔ)題．7.【答案】或 【解析】解：，
，即，此時，符合題意；
，即，此時，，不滿足元素的互異性，故舍去；
，即，經(jīng)檢驗符合題意；
綜上，或．
故答案為：或．
分三種情況討論即得實數(shù)的值．
本題考查元素與集合的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．8.【答案】 【解析】解：由，
得，即，即，
又由，即，
所以．
故答案為：．
根據(jù)絕對值不等式的解法和二次函數(shù)的性質(zhì)，分別求得集合，，即可求解．
本題主要考查集合的運算，屬于基礎(chǔ)題．9.【答案】 【解析】解：若，，
則，故正確；
，
則，
，
則，
故，故正確；
，
則，即，
，
，故正確；
不妨設(shè)，，，滿足，但，故錯誤；
故正確的命題數(shù)為．
故答案為：．
根據(jù)已知條件，結(jié)合特殊值法，以及不等式的性質(zhì)，即可求解．
本題主要考查不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．10.【答案】 【解析】解：由：，得，
所以，所以：，
若，則：，此時滿足是的充分不必要條件，
若，則：或，此時滿足是的充分不必要條件，
若，則：或，此時要滿足是的充分不必要條件，則，
綜上，所以的取值范圍為．
故答案為：．
根據(jù)不等式的解法求出命題，的等價條件，結(jié)合充分不必要條件的定義進行討論求解即可．
本題主要考查充分條件和必要條件的應(yīng)用，求出不等式的等價條件，結(jié)合充分不必要條件的定義建立不等式關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．11.【答案】 【解析】解：集合，，，且，
則，即，
故實數(shù)的取值范圍是．
故答案為：．
根據(jù)已知條件，結(jié)合集合交集、并集的定義，即可求解．
本題主要考查集合交集、并集的定義，屬于基礎(chǔ)題．12.【答案】 【解析】解：由特稱命題的否定形式及真假可知：
“，”為假則其否定形式“，”為真命題，
顯然當(dāng)時符合題意，
當(dāng)時，由一元二次不等式的恒成立問題得，解得，
綜上可得，．
故答案為：．
根據(jù)已知條件，推得“，”為真命題，再分類討論，并結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．
本題主要考查存在量詞和特稱命題，屬于基礎(chǔ)題．13.【答案】， 【解析】解：集合，
，
若時，則，
即有，
即兩個集合構(gòu)成“全食”；
若，可得，
由，可得，解得，此時兩個集合構(gòu)成“全食”；
若，兩個集合有公共元素，但互不為對方子集，
可得，解得，此時兩個集合構(gòu)成“偏食”．
綜上可得，若這兩個集合構(gòu)成“全食”或“偏食”，則實數(shù)的取值范圍是，．
故答案為：，．
討論和，求得集合，再由新定義，得到的方程，即可解得的值．
本題主要考查集合的包含關(guān)系，屬于中檔題．14.【答案】充分非必要 【解析】解：不妨設(shè)，當(dāng)時，若，，
則不等式的解集為，
不等式的解集為，可知；
若，，則不等式的解集為，
不等式的解集為，同樣可得．
因此，“”可以推出“”．
反之，若，則可能，且，此時，，
所以由“”不可以推出“”．
綜上所述，“”是“”的充分非必要條件．
故答案為：充分非必要．
根據(jù)一元二次不等式的解法，對兩個不等式的解集加以討論，結(jié)合充要條件的概念得出結(jié)論．
本題主要考查了一元二次方程與一元二次不等式的解法、充要條件的判斷及其應(yīng)用等知識，屬于基礎(chǔ)題．15.【答案】解：證明：假設(shè)，
則，這與矛盾，
所以，，中至少有一個小于；
由可得 ，，中至少有一個小于，
反之不一定成立，例如：，，，則，
所以“”是“，，中至少有一個小于“”的充分非必要條件． 【解析】利用反證法即可證明；
利用充分條件、必要條件的定義即可得出結(jié)果．
本題考查了反證法證明不等式、充分條件、必要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題．16.【答案】解：因為，
所以，即有實數(shù)根，
則，解得，
即的取值范圍為；
 ，
，即，解得，
，，即，解得 ，
故A，，
此時，滿足題意，
． 【解析】由題意得，結(jié)合二次方程根的存在條件可得關(guān)于的不等式，可求；
由題意結(jié)合集合的交集及補集運算即可求解．
本題主要考查了補集及交集，并集運算，還考查了包含關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)．17.【答案】解：，不等式的解集為，
和是方程的兩根，則．
解得．
不等式，即 ，即 ．
解得，因此，．
解不等式，解得，．
，或，解得 或．
因此，實數(shù)的取值范圍是 ． 【解析】由題意，和是方程的兩根，由此求得值，再解分式不等式，求出．
先求出根據(jù)，可得或，由此求得的范圍．
本題主要考查其它不等式的解法，交集運算，屬于中檔題．18.【答案】解：在某種路面上，某種型號汽車的剎車距離單位：與汽車的車速單位：滿足下列關(guān)系：為常數(shù)，且，
做了兩次剎車實驗，有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示，其中．
由題意得化簡得
解得，因為，所以；
由于剎車距離不超過，即，所以，
因此，解得，
因為，所以，即行駛的最大速度為；
由題意知，即，即，
解得或，
由于，，因此該車已經(jīng)超速行駛． 【解析】根據(jù)給定條件，解不等式組求出值作答；
由求出函數(shù)解析式，再解一元二次不等式即可作答；
由題意知，解得或，和限速比較即可求解．
本題考查了函數(shù)模型的實際應(yīng)用，屬于中檔題．19.【答案】解：因為關(guān)于的不等式的解集為，
即不等式的解集為，
所以，
解得，，
所以．
方程變?yōu)?/span>，
由韋達定理得：，，
因為，
所以，
所以，
所以，
解得，
此時，
所以不存在這樣的，使得．
由，
得，
即，
即，
所以若，則，
若，則不等式無解，
若，則，
綜上所述，若時，不等式的解集為，
若時，不等式無解，
若時，不等式的解集為． 【解析】根據(jù)題意可得不等式的解集為，即，解得，，即可得出答案．
方程變?yōu)?/span>，由韋達定理得：，，又，解得，且還需要判斷是否滿足，即可得出答案．
由，得，分類討論不等式的解集，即可得出答案．
本題考查不等式的解集，解題中注意分類討論思想的應(yīng)用，屬于中檔題．

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