（滿分100分，時(shí)間120分鐘）
一、單選題（共20分，每題2分）
1. 北京中軸線是指位于北京老城中心，貫穿北京老城南北，并始終決定整個(gè)北京老城城市格局的龐大建筑群體．它既是城市核心建筑群的杰出范例，也是中華文明的獨(dú)特見證．下面是2021北京中軸線文化遺產(chǎn)傳承與創(chuàng)新大賽“北京中軸線標(biāo)志設(shè)計(jì)賽道”中的幾件入選設(shè)計(jì)方案，其中主體圖案（不包含文字內(nèi)容）不是軸對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進(jìn)行分析即可．
【詳解】解：選項(xiàng)A、B、C的圖標(biāo)能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形．
選項(xiàng)D的圖標(biāo)不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
2. 點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了關(guān)于x軸、y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對稱點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律：①關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；②關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)．根據(jù)“關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)”解答即可．
【詳解】解：點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為．
故選：A．
3. 下列各組線段中，能組成三角形的是（ ）
A. 2，6，8B. 4，6，7C. 5，6，12D. 2，3，6
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系：三角形兩邊之和大于第三邊，進(jìn)行判斷即可得．
【詳解】A、，不能組成三角形；
B、，能組成三角形；
C、，不能組成三角形；
D、，不能組成三角形，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形三邊關(guān)系，對運(yùn)用三角形三邊關(guān)系判定三條線段能否構(gòu)成三角形的掌握情況，注意只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形．
4. 如圖，在中，利用直角三角板作邊上的高，下列作法正確的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查的是作圖基本作圖，根據(jù)高線的定義即可得出結(jié)論．
【詳解】解：A．不是三角形的高，故此選項(xiàng)不合題意；
B．不是三角形的高，故此選項(xiàng)不合題意；
C．不是三角形的高，故此選項(xiàng)不合題意；
D．是的邊上的高，故此選項(xiàng)符合題意．
故選：D．
5. 下列說法錯(cuò)誤的是( )
A. 三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形
B. 等腰三角形的中線就是角平分線
C. 與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上
D. 角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了等邊三角形的判定、等腰三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，根據(jù)等邊三角形的判定、等腰三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)逐一判斷及可求解，熟練掌握基礎(chǔ)知識是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：A、三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形，則正確，故不符合題意；
B、等腰三角形底邊上的中線就是頂角的角平分線，則錯(cuò)誤，故符合題意；
C、與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上，則正確，故不符合題意；
D、角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，則正確，故不符合題意；
故選B．
6. 如圖，菊花1角硬幣為外圓內(nèi)正九邊形的邊緣異形幣，則該正九邊形的一個(gè)內(nèi)角的大小為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)正多邊形的性質(zhì)和內(nèi)角和公式即可得．
【詳解】正九邊形的內(nèi)角和為，且每個(gè)內(nèi)角都相等，
該正九邊形的一個(gè)內(nèi)角的大小為，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形的性質(zhì)和內(nèi)角和公式，熟練掌握正多邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
7. 如圖，已知，則的度數(shù)為（ ）．
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識點(diǎn)，掌握全等三角形的對應(yīng)角相等成為解題的關(guān)鍵．
先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得，然后根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等即可解答．
【詳解】解：∵在中，，
∴，
∵，
∴．
故選C．
8. 如圖，在中，根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，下列說法不一定正確的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了垂直平分線和角平分線的作圖，垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的定義，直角三角形兩銳角互余，等邊對等角的性質(zhì)等知識．根據(jù)基本作圖得出垂直平分線段，平分，再由垂直平分線的性質(zhì)得出，，即可判斷選項(xiàng)A、C，根據(jù)等邊對等角和垂直的定義可判斷選B．由已知條件無法判斷選項(xiàng)D．
【詳解】解：由作圖可知垂直平分線段，平分，
∴，，
故選項(xiàng)A、C正確，
∴，
∵，，
∴，
故選項(xiàng)B正確，
由已知條件無法得到，故選項(xiàng)D中說法不一定正確．
故選：D．
9. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，（），且，則點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題主要考查坐標(biāo)與圖形，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握“一線三等角”模型證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)題意，分別作軸，軸，根據(jù)“一線三等角”模型證明，由此即可求解．
【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，
∵，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在，中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，
∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
故選：．
10. 如圖，與均為等腰直角三角形，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上（不與點(diǎn)，重合），連接，．給出下面四個(gè)結(jié)論：
①；②；③；④．
上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是（）
A. ③④B. ①②③C. ①②④D. ①②③④
【答案】D
【解析】
【分析】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的中線的定義，三角形的三邊關(guān)系定理，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)和確定對角線的判定定理是解題的關(guān)鍵．利用等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系定理對每個(gè)結(jié)論進(jìn)行逐一判斷即可得出結(jié)論．
【詳解】解：與均為等腰直角三角形，，
，，．
，
．
①的結(jié)論正確；
在和中，
，
，
．
，
，
②的結(jié)論正確；
點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，
．
，
，
，
，
③的結(jié)論正確；
，，
，
，
．
④結(jié)論正確．
綜上，①②③④正確．
故選：D．
二、填空題（共20分，每題2分）
11. 平板電腦是我們?nèi)粘Ｉ钪薪?jīng)常使用的電子產(chǎn)品，它的很多保護(hù)殼還兼具支架功能，有一種如圖所示，平板電腦放在上面就可以很方便地使用了，這是利用了三角形的_________．
【答案】穩(wěn)定性
【解析】
【分析】本題考查了三角形的穩(wěn)定性的應(yīng)用，根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性即可求解，熟練掌握基礎(chǔ)知識是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：這是利用了三角形的穩(wěn)定性，
故答案為：穩(wěn)定性．
12. 一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都等于，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為_____．
【答案】10##十
【解析】
【分析】本題考查了多邊形的外角和和多邊形的邊數(shù)，解答的關(guān)鍵是掌握多邊形的外角和等于．根據(jù)任意多邊形的外角和等于，多邊形的每一個(gè)外角都等于，多邊形邊數(shù)外角度數(shù)，代入數(shù)值計(jì)算即可．
【詳解】解：多邊形的每一個(gè)外角都等于，
這個(gè)多邊形的邊數(shù)．
故答案為：10．
13. 已知點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)在第一象限則的取值范圍是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了關(guān)于軸、軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，以及象各限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)，先判斷出點(diǎn)在第二象限是解題的關(guān)鍵．根據(jù)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相同，先判斷出點(diǎn)在第二象限，再列出不等式組并求解即可．
【詳解】解：關(guān)于軸的對稱點(diǎn)在第一象限，
點(diǎn)在第二象限，
，
解得不等式組的解集是，
故的取值范圍為．
故答案為：．
14. 等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為，則它的頂角的度數(shù)為___________．
【答案】或
【解析】
【分析】分的內(nèi)角是等腰三角形的底角或頂角兩種情況，利用三角形內(nèi)角和定理求解．
【詳解】解：當(dāng)?shù)膬?nèi)角是等腰三角形的底角時(shí)，
它的頂角的度數(shù)為：；
當(dāng)?shù)膬?nèi)角是等腰三角形的頂角時(shí)，
它的底角的度數(shù)為：，符合要求；
故答案為：或．
【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的定義、三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是注意分情況討論，避免漏解．
15. 如圖，，請?zhí)砑右粋€(gè)條件不得添加輔助線，使得那么可添加條件為______
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本題主要考查了三角形全等的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的判定方法，，，，，．
【詳解】解：∵，，
∴添加條件或，根據(jù)可以判定；
添加條件或，根據(jù)可以判定；
故答案為：（答案不唯一）．
16. 如圖，在中，AD為BC邊上的中線，于點(diǎn)E，AD與CE交于點(diǎn)F，連接BF.若BF平分，，，則的面積為________．
【答案】4
【解析】
【分析】過F作FG⊥BC于G，根據(jù)角平分線的性質(zhì)求得FG=EF=2，再根據(jù)三角形一邊上的中線將三角形面積平分求解即可．
【詳解】解：過F作FG⊥BC于G，
∵BF平分，F(xiàn)G⊥BC，即EF⊥AB，
∴FG=EF=2，
∵AD為△ABC的BC邊上的中線，
∴FG為△BFC的BC邊上在中線，又BC=8，
∴S△CDF= S△BFC= BC·FG= ×8×2=4，
故答案為：4．
【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)定理、三角形的中線性質(zhì)、三角形的面積公式，熟練掌握角平分線的性質(zhì)定理以及三角形一邊上的中線將三角形面積平分是解答的關(guān)鍵．
17. 如圖，△ABC 中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC 交 BC 于點(diǎn) D，AD=3，則BC=________．

【答案】9
【解析】
【分析】根據(jù)勾股定理求出AB，再利用相似即可求解.
【詳解】∵AB=AC，∠BAC=120°
∴∠C=30°，
又∵AD⊥AC，AD=3
∴∠DAC=90°，CD=6
勾股定理得AC=AB=33，
由圖可知△ABD∽△BCA，
∴BC=9
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理和相似三角形，屬于簡單題．證明相似是解題關(guān)鍵.
18. 把一張長方形紙片沿對角線折疊，使折疊后的圖形如圖所示．若，則_____________°．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)翻折的性質(zhì)求出，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等求出，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出即可．
【詳解】解：如圖，由題意，得，，
，
，
，
，
故答案為：
19. 臺球桌的形狀是一個(gè)長方形，當(dāng)母球被擊打后可能在不同的邊上反彈，為了使母球最終擊中目標(biāo)球，擊球者需作出不同的設(shè)計(jì)，確定擊球方向．如圖（1），目標(biāo)球從點(diǎn)出發(fā)經(jīng)點(diǎn)到點(diǎn)，相當(dāng)于從點(diǎn)出發(fā)直接擊打目標(biāo)球，其實(shí)質(zhì)上是圖形的軸對稱變換，關(guān)鍵是找母球關(guān)于桌邊的對稱點(diǎn)的位置．
如圖（2），小球起始時(shí)位于點(diǎn)處，沿所示的方向擊球，小球運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖所示．如果小球起始時(shí)位于點(diǎn)2,0處，仍按原來方向擊球，那么在點(diǎn)，，，，，，，中，小球會擊中的點(diǎn)是_______________．
【答案】點(diǎn)B和點(diǎn)F
【解析】
【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，軸對稱的性質(zhì)，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)畫出小球從起始點(diǎn)2,0處出發(fā)的路徑，即可求解．
【詳解】解：如圖所示，即為小球的運(yùn)動(dòng)軌跡，
∴小球會擊中的點(diǎn)是點(diǎn)B和點(diǎn)F，
故答案為：點(diǎn)B和點(diǎn)F．
20. 已知，點(diǎn)P為內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)A為OM上一點(diǎn)，點(diǎn)B為ON上一點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L取最小值時(shí)，的度數(shù)為_______________．
【答案】80°
【解析】
【分析】如圖，分別作P關(guān)于OM、ON的對稱點(diǎn)，然后連接兩個(gè)對稱點(diǎn)即可得到A、B兩點(diǎn)，由此即可得到△PAB的周長取最小值時(shí)的情況，并且求出∠APB度數(shù)．
【詳解】解：如圖，
分別作P關(guān)于OM、ON的對稱點(diǎn)P1、P2，然后連接兩個(gè)對稱點(diǎn)即可得到A、B兩點(diǎn)，
∴△PAB即為所求的三角形，
根據(jù)對稱性知道：
∠APO=∠AP1O，∠BPO=∠BP2O，
還根據(jù)對稱性知道：∠P1OP2=2∠MON，OP1=OP2，
而∠MON=50°，
∴∠P1OP2=100°，
∴∠AP1O=∠BP2O=40°，
∴∠APB=2×40°=80°．
故答案為80°．
三、解答題（共60分，第21-22題，每題5分，第23-28題，每題6分，第29-30題，每題7分）解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程．
21. 已知：如圖，點(diǎn)A、D、C在同一直線上，，，．求證：．
【答案】見解析
【解析】
【分析】由條件證得，由全等三角形的性質(zhì)即可證得結(jié)論．
【詳解】證明：∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法（即）和全等三角形的性質(zhì)（即對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊相等）是解題關(guān)鍵．
22. 如圖，在中，∠°，∠°，⊥AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，如果，求的長．
【答案】．
【解析】
【分析】先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，，再根據(jù)垂直的定義可得，從而可得，，，然后根據(jù)線段和差可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，最后在中，利用直角三角形的性質(zhì)即可得．
【詳解】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，熟練掌握含角的直角三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
23. 下面是小明同學(xué)設(shè)計(jì)的“作一個(gè)角等于已知角的2倍”的尺規(guī)作圖過程．
已知：∠AOB
求作：∠ADC，使∠ADC＝2∠AOB
作法：如圖，
①在射線OB上任取一點(diǎn)C；
②作線段OC的垂直平分線，交OA于點(diǎn)D，交OB于點(diǎn)E，連接DC．
所以∠ADC即為所求的角
根據(jù)小明設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，
（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）
（2）完成下面證明（說明：括號里填寫作圖依據(jù)）
證明：∵DE是線段OC的垂直平分線，
∴OD＝________（____________）．
∴∠AOB＝_______（_________）．
∵∠ADC＝∠AOB＋∠DCO，
∴∠ADC＝2∠AOB．
【答案】（1）見解析；（2）CD；線段中垂線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；；等邊對等角
【解析】
【分析】（1）根據(jù)幾何語言畫出對應(yīng)的幾何圖形；
（2）先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到OD＝CD，則根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠AOB＝．然后根據(jù)三角形外角性質(zhì)得到∠ADC＝2∠AOB．
【詳解】解：（1）補(bǔ)全的圖形如圖所示．
（2）證明：∵DE是線段OC的垂直平分線，
∴OD＝CD（線段中垂線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等）．
∴∠AOB＝（等邊對等角）．
∵∠ADC＝∠AOB＋∠DCO，
∴∠ADC＝2∠AOB．
故答案為：CD；線段中垂線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；；；等邊對等角．
【點(diǎn)睛】本題考查了作圖?復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．
24. 如圖，在6×7的正方形網(wǎng)格巾，每個(gè)小正方形的邊長都為1，網(wǎng)格中有 一個(gè)格點(diǎn)（即三角形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上）．
（1）在圖中畫出與關(guān)于直線l對稱的；
（2）如果每一個(gè)小正方形的邊長為1，請直接寫出的面積= ．
（3）在直線上找一點(diǎn)P．使的長最短．
【答案】（1）見解析 （2）
（3）見解析
【解析】
【分析】本題主要考查了畫軸對稱圖形，軸對稱最短路徑問題，網(wǎng)格中求三角形面積，熟知軸對稱圖形對應(yīng)點(diǎn)到對稱軸上一點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)軸對稱圖形的特點(diǎn)找到A、B、C對應(yīng)點(diǎn)的位置，然后順次連接即可；
（2）利用割補(bǔ)法求解即可；
（3）連接交l于P，點(diǎn)P即為所求．
小問1詳解】
解：如圖所示，即為所求；
【小問2詳解】
解；由題意得：，
故答案為：；
【小問3詳解】
解：如圖所示，點(diǎn)P即為所求；
連接交l于P，
由對稱性可得，則，
∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，即的長最短．．
25. 小李和小夏學(xué)習(xí)了等腰三角形后，知道了：在一個(gè)三角形中，等邊所對的角相等；反過來，等角所對的邊也相等，這時(shí)小李提出：不相等的邊（或角）所對的角（或邊）之間的大小關(guān)系怎么樣呢？大邊所對的角也大嗎？于是她們對這個(gè)問題進(jìn)行了探究：
她們在查閱資料后發(fā)現(xiàn)，早在古代的時(shí)候，前人在《幾何原本》中就記載了“在任意三角形中，大邊對大角”．經(jīng)過思考，小李的探究思路是：如下圖，在中，如果，將折疊，使邊落在上，點(diǎn)落在上的點(diǎn)，折線交于點(diǎn)．利用上述結(jié)論，回答下面的問題．
（1）小李的探究思路可以證明嗎？如果能，請你根據(jù)題意補(bǔ)全圖形，并證明；如果不能，請你說明理由．
（2）根據(jù)以上證明的結(jié)論，回答下面問題：
①在中，已知，請你直接寫出，，有怎樣的大小關(guān)系？
②在中，已知，且，那么是_____（填銳角、鈍角或直角）三角形．
【答案】（1）能，補(bǔ)全圖形見解析，證明見解析
（2）①;②銳角
【解析】
【分析】本題考查了翻折變換的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、三角形的邊角關(guān)系等知識；熟練掌握翻折變換的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
實(shí)驗(yàn)與探究：由翻折變換的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（1）由（1）的結(jié)論即可得出答案；
（2）由（1）的結(jié)論進(jìn)行證明即可得出答案．
【小問1詳解】
解：能，補(bǔ)全圖形如下：
證明：將折疊，使邊落在上，點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)，折線交于點(diǎn)，
．
，
，
；
【小問2詳解】
解：①，理由如下：
，
；
②解：如圖所示：
，
，
，
，
是銳角三角形．
故答案為：銳角．
26. 如圖，中，，點(diǎn)分別在邊上，，與互為補(bǔ)角，連接．
（1）求證：平分；
（2）求證：．
【答案】（1）見解析；
（2）見解析．
【解析】
【分析】（）過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)定理以及平分線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（）證明，再根據(jù)性質(zhì)可得，最后由線段和差即可．
【小問1詳解】
如圖，證明：過點(diǎn)作于點(diǎn)
∴，
∵，
∴，，
在與中，
，
∴，
∴，
∴點(diǎn)在的平分線上，
∴平分
【小問2詳解】
由（）得：，，平分，
∴，，
∴，
∴，
∴．
27. 如圖，在中，D為的中點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）若，，求的取值范圍．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）延長至點(diǎn)E，使，連接，證明，得出，根據(jù)可以證明；
（2）根據(jù)三角形三邊關(guān)系得出，即可得出，根據(jù)，，求出結(jié)果即可．
【小問1詳解】
證明：延長至點(diǎn)E，使，連接，
∵D為的中點(diǎn)，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
【小問2詳解】
解：∵，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，對頂角相等，三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造全等三角形，證明．
28. 如圖，，，，的延長線于點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）用等式表示線段與之間數(shù)量關(guān)系，并證明．
【答案】（1）見解析 （2）理由見解析
【解析】
【分析】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，掌握三角形全等的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
（1）先證明，由對頂角相等可得，可得出，最后由可得結(jié)論；
（2）延長交于點(diǎn)F，先證明，可得，再證明可得再證明即可．
【小問1詳解】
證明：，，
，
，
，
，
；
【小問2詳解】
解：理由如下：
如圖，延長交于點(diǎn)F，
，
在和中
，
，
在和中
，
29. 已知：線段及過點(diǎn)的直線．如果線段與線段關(guān)于直線對稱，連接交直線于點(diǎn)，以為邊作等邊，使得點(diǎn)在的下方，作射線交直線于點(diǎn)．

（1）根據(jù)題意補(bǔ)全圖形；
（2）如圖，如果，
①_____；（用含有的代數(shù)式表示）
②用等式表示線段，與的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【答案】（1）見解析 （2）①；②；證明見解答．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可；
（2）①利用等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理求解即可；
②結(jié)論：；在上截取，使得，連接，；證明，推出，推出，可得結(jié)論．
【小問1詳解】
解：圖形如圖1所示：
【小問2詳解】
解：①線段與線段關(guān)于直線對稱，
，垂直平分線段，
，
是等邊三角形，
，，
，，
．
故答案為：；
②結(jié)論：；
理由：在上截取，使得，連接，．

，，
，
，
是等邊三角形，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
線段與線段關(guān)于直線對稱，
，
即．
【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．
30. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，，給出如下定義：若為內(nèi)（不含邊界）一點(diǎn)，且與的一條邊相等，則稱為的關(guān)聯(lián)點(diǎn)．

（1）在，，中，關(guān)聯(lián)點(diǎn)是_____；
（2）如圖2，若為內(nèi)一點(diǎn)，且為的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，
當(dāng)_____時(shí)，；此時(shí)，_____；
（3）直線為過點(diǎn)，且與軸平行的直線，若直線上存在的三個(gè)關(guān)聯(lián)點(diǎn)，直接寫出的取值范圍．
【答案】（1），
（2）30，15 （3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)Ax1,y1、和Bx2,y2之間的距離公式以及關(guān)聯(lián)點(diǎn)定義解答即可；
（2）由題意易知，進(jìn)而可求得，則可得出，根據(jù)等角對等邊和關(guān)聯(lián)點(diǎn)定義即可證得結(jié)論；
（3）由題意，在關(guān)聯(lián)點(diǎn)P滿足或或三種情況，分別討論求解即可．
【小問1詳解】
解：∵點(diǎn)，關(guān)于y軸對稱，點(diǎn)在y軸上，
，故是的關(guān)聯(lián)點(diǎn)；
， ，
，故是的關(guān)聯(lián)點(diǎn)；
， ，
， ，
∴故不是的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，
綜上，的關(guān)聯(lián)點(diǎn)是、，
故答案為：、；
【小問2詳解】
解：∵點(diǎn)，，C0,6，
，，，
，
若，則點(diǎn)P在線段的垂直平分線上，即點(diǎn)P在y軸線段上，，若，此時(shí)P與C重合，不合題意；
若，則點(diǎn)P在線段的垂直平分線上，若，此時(shí)P在外， 不合題意；
若，則，
設(shè)，
，，
，
，
，
，
故答案為：30，15；
【小問3詳解】
解：由題意，的關(guān)聯(lián)點(diǎn)P滿足或或三種情況，
若，則點(diǎn)P在線段的垂直平分線上，即點(diǎn)P在y軸線段上，
若，則點(diǎn)P在線段的垂直平分線上；
若，則點(diǎn)P在以點(diǎn)A為圓心，即長為半徑的圓上，
如圖，設(shè)的中點(diǎn)為G，則G的坐標(biāo)為，
由圖可知，當(dāng)直線l為過點(diǎn)G和過點(diǎn)且與軸平行的直線在x軸之間時(shí)，直線上存在的三個(gè)關(guān)聯(lián)點(diǎn)，
∴m的取值范圍為．
【點(diǎn)睛】本題考查兩點(diǎn)之間距離坐標(biāo)公式、線段垂直平分線的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、坐標(biāo)與圖形等知識，理解題中定義，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運(yùn)用，利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題是解答的關(guān)鍵．

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