題目要求的.
1. 已知集合 ， ，則 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】化簡(jiǎn)集合 ，根據(jù)集合的交集運(yùn)算求解.
【詳解】集合 ， ，
則 .
故選：A.
2. 若復(fù)數(shù) z 滿足 ，則 （ ）
A. 2 B. C. 2i D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及共軛復(fù)數(shù)的定義計(jì)算即可.
【詳解】解：因?yàn)?，
所以 ，
所以
所以
故選：
3. 已知雙曲線 C 的漸近線方程為 ，則 C 的離心率為（ ）
A. B. C. 或 D. 不能確定
【答案】C
【解析】
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【分析】根據(jù)給定條件，利用雙曲線焦點(diǎn)位置設(shè)出方程，借助漸近線方程求出離心率.
【詳解】當(dāng)雙曲線方程為 時(shí)，其漸近線為 ， ，則離心率
；
當(dāng) 雙 曲 線 方 程 為 時(shí) ， 其 漸 近 線 為 ， ， 則 離 心 率
，
所以雙曲線的離心率為 或 .
故選：C
4. 已知公差不為零的等差數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ，且 ，則 （ ）
A. B. C. 13 D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用等差數(shù)列求和公式以及等差數(shù)列的性質(zhì)可求得 的值.
【詳解】因?yàn)楣畈粸榱愕牡炔顢?shù)列 的前 項(xiàng)和為 ，且 ，
因?yàn)?，
整理可得 ，故 ，所以， .
故選：C.
5. 中國(guó)冶煉鑄鐵的技術(shù)比歐洲早 2000 年左右，冶煉鑄鐵技術(shù)的誕生標(biāo)志著真正的鐵器時(shí)代的開始．現(xiàn)將一
個(gè)表面積為 cm2 的實(shí)心鐵球熔化后，澆鑄成一個(gè)正四棱臺(tái)形狀的實(shí)心鐵錠 澆鑄過程體積無變化 ，
該鐵錠的上、下底面的邊長(zhǎng)分別為 cm 和 cm，則該鐵錠的高為（ ）
A. 30 cm B. C. 36 cm D.
【答案】B
【解析】
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【分析】根據(jù)給定條件，利用球的表面積、體積公式及棱臺(tái)的體積公式列式計(jì)算得解.
【詳解】解：設(shè)實(shí)心鐵球的半徑為 R，則 ，解得 ，
則實(shí)心鐵球的體積為 ，
設(shè)正四棱臺(tái)的實(shí)心鐵錠的高為 h，
因?yàn)閷?shí)心鐵球的體積和正四棱臺(tái)的實(shí)心鐵錠體積相等，
則 ，解得
故選：
6. 已知函數(shù) 在 與 上的最小值均為 ，最大值也相同，
則實(shí)數(shù) a 的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題干 的定義域，求出 的定義域，再得到值域，
列不等式，得到答案.
【詳解】解：由題， ，
當(dāng) 時(shí)， ；
當(dāng) 時(shí)， ；
要使 在 與 上的最小值均為 ，最大值也相同，
顯然 ，且 ，
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則有 ，解得 ，
故實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 ，
故選：
7. 已知平面向量 ， ， ，滿足 ，則 的最小值是（ ）
A 0 B. 3 C. D. 2
【答案】D
【解析】
【 分 析 】 不 妨 設(shè) ， 計(jì) 算
，當(dāng) 時(shí)，
【詳解】解：向量 滿足 ，
則不妨設(shè) ，
則 ，
則 ，且 ，
則
，
當(dāng) 時(shí)，
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故選：D.
8. 已知函數(shù) 在定義域 上單調(diào)遞減， ，均有 ，則函數(shù)
的最小值是（ ）
A. 8 B. 6 C. 4 D.
【答案】A
【解析】
【分析】記 ，由 ，利用函數(shù)單調(diào)性知
，結(jié)合 ，首先求出 的解析式，可得函數(shù) ，
再利用配方法求最值即可求解.
【詳解】記 ，
用 y 替換 中的 x 得 ，且 ，
，
因?yàn)楹瘮?shù) 在定義域 上單調(diào)遞減，所以 ，
因?yàn)?，
所以 ，
或 ，又函數(shù) 在定義域 上單調(diào)遞減
所以有 滿足題設(shè)條件.
所以 ， ，
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當(dāng) 即 時(shí)，函數(shù) 的最小值是
故選：A
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是用 y 替換 中的 x，然后利用函數(shù)的單調(diào)
性求出函數(shù)的解析式.
二、多選題：本題共 3 小題，共 18 分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選
對(duì)的得 6 分，部分選對(duì)的得 2 分，有選錯(cuò)的得 0 分.
9. 某射擊運(yùn)動(dòng)員在一次訓(xùn)練中一共進(jìn)行了 10 次射擊，成績(jī)依次為 6，5，7，8，6，7，9，7，9， 單位：
環(huán) ，則下列說法中正確的是（ ）
A. 這組數(shù)的眾數(shù)為 7
B. 這組數(shù)的第 80 百分位數(shù)為 8
C. 若每個(gè)數(shù)都減去 2，則這組數(shù)的均值也會(huì)減去 2
D. 若每個(gè)數(shù)都乘以 2，則這組數(shù) 方差也會(huì)乘以 2
【答案】AC
【解析】
【分析】分別求出運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的眾數(shù)，均值，方差、以及第 80 百分位，再用均值，方差性質(zhì)，判斷四個(gè)選
項(xiàng)即可．
【詳解】解：將成績(jī)從小到大排列為：5，5，6，6，7，7，7，8，9，9，
對(duì)于 A、這組數(shù)的眾數(shù)為 7，故 A 正確；
對(duì)于 B、因?yàn)?，則這組數(shù)的第 80 百分位數(shù)為 ，故 B 錯(cuò)誤；
對(duì)于 C、若每個(gè)數(shù)都減去 2，則這組數(shù)的均值也會(huì)減去 2，故 C 正確；
對(duì)于 D、若每個(gè)數(shù)都乘以 2，則這組數(shù) 方差會(huì)乘以 4，故 D 錯(cuò)誤.
故選：AC.
10. 已知函數(shù) ，則（ ）
A.
B. 若函數(shù) 單調(diào)遞增，則
C. 當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 的圖象關(guān)于點(diǎn) 中心對(duì)稱
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D. 若存在 ，使得 ，則 a 的最大值是 1
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用配方法判斷 A；利用導(dǎo)數(shù)判斷 B；利用中心對(duì)稱的性質(zhì)判斷 C；分類討論判斷
【詳解】解：因?yàn)?，
所以 ，A 錯(cuò)誤；
求導(dǎo)數(shù)， ，
所以 ，所以 ，B 正確；
當(dāng) 時(shí)， ，
所以 ，
所以函數(shù) 的圖象關(guān)于點(diǎn) 中心對(duì)稱，C 正確；
當(dāng) 時(shí)， ，滿足題意；
當(dāng) 時(shí)，若 ,
則 ，
故 在 上無解，故 ，所以 a 的最大值是 1，D 正確.
故選:
11. 已知非常數(shù)數(shù)列 ，其前 n 項(xiàng)和為 ，若 ， ， ，使得 ，則稱 為
包容數(shù)列．下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A. 數(shù)列 0，0，1，1， ， 是包容數(shù)列
B. 任何包容數(shù)列的前三項(xiàng)中一定存在兩項(xiàng)互為相反數(shù)
C. 若一個(gè)包容數(shù)列從第 k 項(xiàng)開始連續(xù)三項(xiàng)可以構(gòu)成一個(gè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，則 k 的最小值為 5
D. 由 ，0，1 三個(gè)數(shù)生成的包容數(shù)列中，如果去掉一項(xiàng)后依然是包容數(shù)列，這項(xiàng)一定是 0
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)包容數(shù)列的定義和性質(zhì)可判斷 ABD 的正誤，利用枚舉法可判斷 C 的正誤.
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【詳解】對(duì)于 A，當(dāng) 時(shí)，不存在 使 ，
所以數(shù)列 0，0，1，1， ， 不是包容數(shù)列，故 A 錯(cuò)誤；
對(duì)于 B，當(dāng) 為包容數(shù)列，
則 或 或 ，
即 或 或 ，故 B 正確；
對(duì)于 D， ，0，1 去掉 后，得到 0，1 仍是包容數(shù)列，故 D 錯(cuò)誤；
對(duì)于 C， 可為任意數(shù)，
考慮前 2 項(xiàng)， 或 ，得 或 ，
所以包容數(shù)列 的前 2 項(xiàng)中必有 1 個(gè)數(shù)為 0，
設(shè)包容數(shù)列 的前 2 項(xiàng)為 m，0 或 0，m，
考慮前 3 項(xiàng)，由 B 項(xiàng)知 的前 3 項(xiàng)中必有 2 項(xiàng)互為相反數(shù)，
則 的前 3 項(xiàng)為 m，0，0 或 0，m，0 或 m，0， 或 0，m，
同理可知 的前 n 項(xiàng)中必有 項(xiàng)之和為 0，
的前 4 項(xiàng)為 m，0，0，0①或 m，0，0， ②或 0，m，0，0③或 0，m，0， ④或 m，0， ，n⑤
或 0，m， ，n⑥，
從第 5 項(xiàng)開始：
對(duì)于①，
對(duì)于②，
對(duì)于③， ；
對(duì)于④， ；
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對(duì)于⑤，
對(duì)于⑥，
綜上所述， 中要么會(huì)有一個(gè) 0，要么會(huì)有一組相反數(shù)，
所以 不可能全為正，故 C 錯(cuò)誤.
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對(duì)于數(shù)列新定義問題，注意根據(jù)數(shù)列新定義展開計(jì)算與討論，對(duì)于新定義下數(shù)列的性
質(zhì)的探究，可以從具體中找到一般的性質(zhì).
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分.
12. 展開式中只有第 7 項(xiàng)的系數(shù)最大，則 __________.
【答案】12
【解析】
【分析】由題意利用二項(xiàng)式定理，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，得出結(jié)論．
【詳解】解： 的展開式中，只有第七項(xiàng)的系數(shù)即二項(xiàng)式系數(shù)最大，
故展開式共有 13 項(xiàng)，則 ，
故答案為：
13. 已 知 隨 機(jī) 變 量 X， Y 均 服 從 分 布 ， 若 ， 且 ， 則
__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)兩點(diǎn)分布的概率特征，結(jié)合互斥事件特征和對(duì)立事件概率性質(zhì)計(jì)算即可.
【詳解】解：因?yàn)殡S機(jī)變量 X，Y 均服從 分布，且 ，
所以 ，
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因?yàn)?，所以 ，
且
因?yàn)?，所以 ，
因此 ，
所以
故答案為： .
14. 設(shè)圓 與拋物線 交于點(diǎn) ， 為圓 的直徑，過點(diǎn) 的直線
與拋物線 交于不同于點(diǎn) 的兩個(gè)點(diǎn) D，E，則直線 AD 與 AE 的斜率之積為__________.
【答案】2
【解析】
【分析】由題意得出 ， ，設(shè) ， ，由 B，D，E 三點(diǎn)共線可得
， 結(jié) 合 ， ， 化 簡(jiǎn) 得 ， 代 入
即可求.
【詳解】將 代入圓的方程 中，
得 ，故 ，
又因?yàn)?為圓 與拋物線 的交點(diǎn)，
所以 ，代入 得 ，即拋物線 ，
由 AB 為圓 的直徑可得，A，B 關(guān)于 O 對(duì)稱，
則 ，
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設(shè) ， ，
則由 B，D，E 三點(diǎn)共線可得 ，
整理得 ，
又因?yàn)?， ，
所以 ，
整理得 ，
由題意 ，
所以 ，
所以 ，
故答案為：
四、解答題：本題共 5 小題，共 60 分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15. 在 中，角 A，B，C 所對(duì)的邊分別為 a，b，c，點(diǎn) D 為線段 AC 的中點(diǎn)，A，C 滿足
（1）求 B；
（2）若 的面積為 ， ，求中線 BD 的長(zhǎng)．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)正弦定理將已知的正弦關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，再利用余弦定理求出角 。
（2）先由三角形面積公式求出 的值，再結(jié)合余弦定理求出 的值，最后利用向量關(guān)系求出中線 BD
的長(zhǎng)。
【小問 1 詳解】
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因?yàn)?，所以，
又因?yàn)?br>所以， ，得 ，
所以，由余弦定理得 ，
又 B 為三角形內(nèi)角，
所以，
【小問 2 詳解】
因?yàn)?的面積為 ， ， ，
所以， ，所以 ，又 ，
因?yàn)?BD 為 的中線，所以， ，
所以， ，
所以
16. 如 圖 ， 四 棱 錐 中 ， 平 面 ABCD， 四 邊 形 ABCD 為 直 角 梯 形 ， ，
（1）已知 G 為 AF 的中點(diǎn)，求證： 平面 DCF；
（2）若直線 BF 與平面 ABCD 所成的角為 ，二面角 的余弦值為 ，求點(diǎn) B 到平面 DCF 的距
離．
【答案】（1）證明見解析
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（2）
【解析】
【分析】（1）取 DF 的中點(diǎn) K，可證明四邊形 KGBC 為平行四邊形，即可證明 平面 ；
（2）以 A 為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè) ，求出平面 DCF 的法向量為
，應(yīng)用公式即可求點(diǎn) B 到平面 DCF 的距離.
【小問 1 詳解】
取 DF 的中點(diǎn) K，連接 GK、KC，因?yàn)?G 為 AF 中點(diǎn)，所以 ， ，
因?yàn)?， ，所以 ， ，所以四邊形 KGBC 為平行四邊形，
所以 ，因?yàn)?平面 DCF， 平面 DCF，故 平面 DCF；
【小問 2 詳解】
因?yàn)?平面 ABCD，四邊形 ABCD 為直角梯形， ，所以 FA，AD，AB 兩兩垂直，
以 A 為坐標(biāo)原點(diǎn)，AF，AB，AD 所在直線為 x 軸，y 軸，z 軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
直線 BF 與平面 ABCD 所成的角為 ，有 ，設(shè) ，
，
則 ， ， ， ， 所 以 ， ，
，
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設(shè)平面 DCF 的法向量為 ，所以 ，即 ，
令 ，則 ， ，所以 ，
所以 ，所以 ，即 ，
因?yàn)?，所以點(diǎn) B 到平面 DCF 的距離
17. 已知函數(shù)
（1）當(dāng) 時(shí)，求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng) 時(shí)， ，求實(shí)數(shù) a 取值范圍．
【答案】（1） 在 ， 單調(diào)遞增， 在 ， 單調(diào)遞減.
（2）
【解析】
【分析】（1）先將 代入函數(shù) ，然后對(duì) 求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
（2）當(dāng) 時(shí) ，通過移項(xiàng)參變分離變形，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的性質(zhì)來確定實(shí)數(shù)
的取值范圍.
【小問 1 詳解】
當(dāng) 時(shí)， ，
則 ，
令 ，解得 或 ，
當(dāng) 或 時(shí)，
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當(dāng) 或 時(shí)，
所以 在 ， 單調(diào)遞增， 在 ， 單調(diào)遞減.
【小問 2 詳解】
因?yàn)?時(shí)， ，
所以 ，得 ，
即 ，
令 ，
則 ，
令 ，且 在 上單調(diào)遞增，且 ，
所以，當(dāng) 時(shí)， ，即 當(dāng) 時(shí)， ，即
所以， 在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增，
所以 ，故
18. 已知橢圓 C： 的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的 2 倍，焦距為 ，點(diǎn) A，B 分別為 C 的左、
右頂點(diǎn)，點(diǎn) P，Q 為 C 上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且分別位于 x 軸上、下兩側(cè)， 和 的面積分別為 ，
，記
（1）求橢圓 C 的方程；
（2）若 ，求證直線 PQ 過定點(diǎn)，并求出該點(diǎn) 坐標(biāo)；
（3）若 ，設(shè)直線 AP 和直線 BQ 的斜率分別為 ， ，求 的取值范圍．
【答案】（1）
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（2）證明見解析，定點(diǎn)坐標(biāo)為
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，列出關(guān)于 的方程組，求得 的值，即可得到橢圓方程；
（2）由圖形對(duì)稱性可知定點(diǎn) 在 x 軸上，設(shè) ，由題意得 ，求解
即可.
（3）設(shè)直線 PQ 的方程為 ， ， ，并表示
聯(lián)立 由韋達(dá)定理得 ， ，代入 化簡(jiǎn)并結(jié)合 即可得所求.
【小問 1 詳解】
由題意知， ， ，又 ， ， ，
所以橢圓 C 的方程為：
【小問 2 詳解】
證明：由 知 ， ，由圖形對(duì)稱性可知，定點(diǎn) M 在 x 軸上，
設(shè)直線 PQ 方程為： ， ， ， ，
，解得 ，
即定點(diǎn)坐標(biāo)為
【小問 3 詳解】
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設(shè)直線 PQ 的方程為 ， ，
聯(lián)立 可得 ，
則 ， ，且
于是
，
， ，即 的范圍是
19. 有五張背面完全相同的數(shù)字卡片，正面分別寫著 ，將它們背面朝上隨機(jī)放在桌子上（不疊放），
翻開這些卡片時(shí)，要求按照從小到大的數(shù)字順序依次翻開，如果翻開了一張卡片其順序不符合要求，應(yīng)該
立刻將它翻回至背面朝上（翻回不計(jì)入次數(shù)）并記住此卡片出現(xiàn)的數(shù)字，以保證翻卡片的次數(shù)盡可能少，
直到所有卡片正面朝上為止．
（1）求第三次恰好翻開數(shù)字為 的卡片且不再翻回的概率；
（2）記 為需要翻開的次數(shù)，求 的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（3）將卡片數(shù)量改為 張 ，并依次寫上數(shù)字 ，記 為翻開這些卡片需要的平均
次數(shù)，求證： .
附：數(shù)學(xué)期望具有線性可加性，即
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【答案】（1）
（2）分布列見解析， 次
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）分兩種情況討論如果第一張翻出了 和第二張翻出了 ，利用互斥事件的概率公式即可求解；
（2）根據(jù)題設(shè)可得次數(shù) 可取 ，再分別求出相應(yīng)的概率，即可求出分布列，再利用期望的計(jì)算
公式，即可求解；
（3）記 為需要翻開寫有點(diǎn)數(shù) 的紙卡片的次數(shù)，根據(jù)題設(shè)有 ，從而得到
，即可求解.
【小問 1 詳解】
由題知，前兩次一定會(huì)翻到 ，否則第三次翻到 也會(huì)被翻回，
故分兩種情況：如果第一張翻出了 ，那么第二次一定不能翻 ，
因此 ，
如果第二張翻出了 ，那么有兩種情況，第一種情況第一張翻出了 并翻回，
另一種情況是第一張沒有翻出 2，第三張恰好翻到 2，
因此 ，
所以 .
【小問 2 詳解】
根據(jù)題意可以推斷出下面兩點(diǎn)：
首先，錯(cuò)誤翻開的卡片即使被翻回至背面朝上，也會(huì)知道這張卡片的點(diǎn)數(shù)，
因此第二次翻開它時(shí)并非隨機(jī)事件；
其次，如果在翻一張卡片時(shí)，點(diǎn)數(shù)比它小的所有卡片沒有被翻開，那么這張卡片就需要被翻兩次，
可以看作是考慮隨機(jī)對(duì)翻開五張卡片的進(jìn)行排列，
從左往右依次翻開卡片，遇到不符合順序的進(jìn)行調(diào)整，
因此需要翻開的次數(shù) 可取 ，
①當(dāng) 時(shí)，恰好按照從小到大的順序翻開了所有卡片，
因此， ；
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②當(dāng) 時(shí)，點(diǎn)數(shù)為 到 的撲克卡片恰好全部在 1 之前翻開，
因此， ；
③當(dāng) 時(shí)，只有一張卡片沒有在所有比它小的卡片翻開時(shí)翻開了，
因此， ；
④當(dāng) 時(shí)，有三張卡片錯(cuò)誤地翻開了，
因此， ；
⑤當(dāng) 時(shí)，易知 ，
列出分布列有
因此 （次）.
【小問 3 詳解】
基于第二問的思考，這實(shí)際上是對(duì)知曉卡片點(diǎn)數(shù)的順序進(jìn)行排列，
當(dāng)有 張卡片時(shí)，值得注意的是寫有數(shù)字 的卡片如果是最后一個(gè)知曉，那么它就只需要被翻開一次，
如果它不是最后一個(gè)知曉，那么它就一定需要被翻開兩次，
記 為需要翻開寫有點(diǎn)數(shù) 的紙卡片的次數(shù)，
因此 ， ，
所以 ，
于是 ，
而 ，于是 ，
故 ，
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當(dāng) ， 時(shí)上式等號(hào)成立，于是 ，故命題得證.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：本題的關(guān)鍵在于第（3）：根據(jù)題設(shè)知寫有數(shù)字 的卡片如果是最后一個(gè)知曉，那么
它就只需要被翻開一次，如果它不是最后一個(gè)知曉，那么它就一定需要被翻開兩次，從而可得
，其中 為需要翻開寫有點(diǎn)數(shù) 的紙卡片的次數(shù)，再利用 ，即可求
解.
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湖北省武漢市武昌區(qū)2025屆高三上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）：

這是一份湖北省武漢市武昌區(qū)2025屆高三上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析），共20頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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