一、單選題(共10題;共40分)
1.(4分)相反數(shù)為5的數(shù)是( )
A.-5B.5C.±5D.
2.(4分)截至2022年10月,我國基本醫(yī)療保險參保人數(shù)已超過13.6億人,其中數(shù)據(jù)13.6億用科學(xué)記數(shù)法表示為( )
A.B.C.D.
3.(4分)下面計算正確的是( )
A.2x2+2x2=4x4B.(x﹣y)2=x2﹣y2
C.﹣x2?(﹣x)2=x4D.(﹣2x2)3=﹣8x6
4.(4分)如圖所示的幾何體,它的俯視圖是( )
A. B. C. D.
5.(4分)如圖將一個直角三角板和一把直尺如圖放置,如果∠α=43°,則∠β的度數(shù)是( )
A.43°B.45°C.47°D.57°
6.(4分)九(2)班開展“真愛閱讀”活動,該班1月~7月全班同學(xué)閱讀課外書數(shù)量的折線統(tǒng)計圖如圖所示,下列說法正確的是( )
A.從2月份到6月份閱讀課外書的本數(shù)逐月下降
B.每月閱讀課外書本數(shù)的眾數(shù)是45本
C.每月閱讀課外書本數(shù)的中位數(shù)是58本
D.九(2)班全班4月份的課外書閱讀量比5月份的課外書閱讀量多
7.(4分)如圖,有一斜坡,坡頂B離地面的高度為30m,若坡度,則此斜坡的水平距離為( )
A.75mB.50mC.45mD.30m
8.(4分)按一定規(guī)律排列的單項式:第n個單項式是( )
A.B.
C.D.
9.(4分)A,B兩地相距,甲、乙兩人分別開車從A地出發(fā)前往B地,其中甲先出發(fā),甲,乙兩人行駛路程,與行駛時間之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示,當(dāng)乙追上甲時,則乙出發(fā)的時間是( ).
A.B.C.D.
10.(4分)如圖,在正方形中,點E在邊上,連接,的垂直平分線交于點M,交于點N,連接,過點E作的垂線交于點F,連接.下列結(jié)論:①;②平分;③;④的周長等于.其中結(jié)論正確的序號有( )
A.①②③B.②③④C.①④D.①②③④
二、填空題(共4題;共20分)
11.(5分) .
12.(5分)如圖,課間小明拿著老師的等腰三角板玩,不小心掉到兩張凳子之間(凳子與地面垂直),已知,,則兩張凳子的高度之和為 .
13.(5分)如圖,點D為矩形的邊的中點,反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點D,交邊于點E,若的面積為,則k= .
14.(5分)如圖,正方形ABCD的邊長為2,G是對角線BD上一動點,GE⊥CD于點E,GF⊥BC于點F,連結(jié)EF.給出四種情況:
①若G為BD上任意一點,則AG=EF; ②若BG=AB,則∠DAG=22.5°;
③若G為BD的中點,則四邊形CEGF是正方形; ④若DG:BG=1:3,則S△ADG=
則其中正確的是 .
三、解答題(共5題;共42分)
15.(8分)解不等式組x2>x-133(x+1)≥4x+2,并在數(shù)軸上表示出其解集.
16.(8分)如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC的三個頂點坐標(biāo)分別為A(1,4),B(4,2),C(3,5)(每個方格的邊長均為1個單位長度)
(1)請畫出△A1B1C1,使△A1B1C1與△ABC關(guān)于原點對稱,并寫出A1、B1、C1的坐標(biāo);
(2)將△ABC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°,畫出旋轉(zhuǎn)后得到的△A2B2C2,并直接寫出線段OB旋轉(zhuǎn)到OB2掃過圖形的面積.
17.(8分)現(xiàn)代互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的廣泛應(yīng)用,催生了快遞行業(yè)的高速發(fā)展,據(jù)調(diào)查,某快遞公司今年九月份與十一月份的投遞總件數(shù)分別為10萬件和12.1萬件,該公司每月的投遞總件數(shù)的增長率相同.求該快遞公司投遞總件數(shù)的月增長率.
18.(8分)我校七年級數(shù)學(xué)興趣小組成員們自主開展數(shù)學(xué)微項目研究.結(jié)合本階段學(xué)內(nèi)容特點,他們決定研究數(shù)的一些“神秘”性質(zhì).
19.(10分)如圖,線段是南北方向的一段碼頭,點和點分別是碼頭的兩端,海里,某一時刻在點處測得貨船位于其北偏東75°的方向上,同時測得燈塔A位于其南偏東30°方向上,在點處測得燈塔A位于其北偏東75°方向上,已知貨船位于燈塔A北偏東30°方向上,求此時貨船距燈塔A的距離的長(最終結(jié)果精確到0.1海里,參考數(shù)據(jù):,,).
四、綜合題(共4題;共48分)
20.(10分)如圖,在中,,以為直徑的與交于點D,與邊交于點E,過點D作的垂線,垂足為F.
(1)(5分)求證:為的切線;
(2)(5分)若,,求的半徑及的值.
21.(12分)某校隨機抽取部分學(xué)生,對學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣進行問卷調(diào)查.設(shè)計的問題為:“你在學(xué)習(xí)新課之前是否有預(yù)習(xí)的習(xí)慣?”答案選項為:A.很少;B.有時;C.常常;D.總是.將調(diào)查結(jié)果的數(shù)據(jù)進行了整理,繪制成部分統(tǒng)計圖:
請根據(jù)圖中信息,解答下列問題:
(1)(2分)填空: , ;“常?!睂?yīng)扇形的圓心角度數(shù)為 .
(2)(2分)請你補全條形統(tǒng)計圖.
(3)(4分)為了共同進步,李老師從被調(diào)查的A類和D類學(xué)生中各選出兩人,再從兩組中分別選取一位學(xué)生進行“一幫一”互助學(xué)習(xí),請用列表或畫樹形圖的方法求出所選兩位同學(xué)恰好組合成功(即選擇“很少”和“總是”的兩人為一組)的概率.
22.(12分)某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進行合理定價,將該產(chǎn)品按擬定的價格進行試銷,通過對5天的試銷情況進行統(tǒng)計,得到如下數(shù)據(jù):
(1)(4分)計算這5天銷售額的平均數(shù)(銷售額=單價銷量)
(2)(4分)通過對上面表格中的數(shù)據(jù)進行分析,發(fā)現(xiàn)銷量(件)與單價(元/件)之間存在一次函數(shù)關(guān)系,求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式(不需要寫出函數(shù)自變量的取值范圍);
(3)(4分)預(yù)計在今后的銷售中,銷量與單價仍然存在(2)中的關(guān)系,且該產(chǎn)品的成本是20元/件.為使工廠獲得最大利潤,該產(chǎn)品的單價應(yīng)定為多少?
23.(14分)在中,,,是的角平分線,于點.
(1)(4分)如圖1,連接,求證:是等邊三角形;
(2)(4分)點是線段上的一點(不與點,重合),以為一邊,在的下方作,交延長線于點.請你在圖2中畫出完整圖形,并直接寫出,與之間的數(shù)量關(guān)系;
(3)(6分)如圖3,點是線段上的一點,以為一邊,在的下方作,交延長線于點.試探究,與數(shù)量之間的關(guān)系,并說明理由.
答案解析部分
1.【答案】A
【解析】【解答】解:相反數(shù)為-5.
故答案為:A.
【分析】只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù),據(jù)此解答即可.
2.【答案】B
【解析】【解答】13.6億,
故答案為:B.
【分析】 把一個大于10的數(shù)表示成a×10n的形式(其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù),n是正整數(shù)),這種計數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法。根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的定義計算求解即可。
3.【答案】D
【解析】【解答】解:A、2x2+2x2=4x2,原式計算錯誤,故答案為:不符合題意;
B、(x﹣y)2=x2﹣2xy+y2,原式計算錯誤,故答案為:不符合題意;
C、﹣x2?(﹣x)2=﹣x2?x2=﹣x4,原式計算錯誤,故答案為:不符合題意;
D、(﹣2x2)3=﹣8x6,原式計算正確,故答案為:符合題意.
故答案為:D.
【分析】根據(jù)合并同類項、完全平方公式、同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方與積的乘方分別計算,再判斷即可.
4.【答案】C
【解析】【解答】解:從上面看,得到的圖形是
故答案為:C
【分析】結(jié)合所給的幾何體,再根據(jù)俯視圖的定義求解即可。
5.【答案】C
【解析】【解答】解:如圖,過點A作AB∥CD,
∵CD∥EF,
∴CD∥EF∥AB,
∴∠1=∠α=43, ∠β=∠2,
∵∠1+∠2=90°,
∴ ∠β=∠2=47°.
故答案為:C.
【分析】過點A作AB∥CD,由平行于同一直線的兩條直線互相平行得CD∥EF∥AB,由二直線平行,同位角相等得∠1=∠α=43, ∠β=∠2,進而結(jié)合∠1+∠2=90°,即可算出答案.
6.【答案】C
【解析】【解答】解:A、從2月份到4月份閱讀課外書的本數(shù)逐月下降,故此選項錯誤;
B、每月閱讀課外書本數(shù)的眾數(shù)是58本,故此選項錯誤;
C、每月閱讀課外書本數(shù)的中位數(shù)是58本,故此選項正確;
D、九(2)班全班4月份的課外書閱讀量比5月份的課外書閱讀量少,故此選項錯誤.
故答案為:C.
【分析】由圖象可得:從2月份到4月份閱讀課外書的本數(shù)逐月下降,九(2)班全班4月份的課外書閱讀量比5月份的課外書閱讀量少,據(jù)此判斷A、D;找出出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)即為眾數(shù),據(jù)此判斷B;將閱讀本數(shù)按照由小到大的順序進行排列,找出最中間的數(shù)據(jù)即為中位數(shù),據(jù)此判斷C.
7.【答案】A
【解析】【解答】解:∵斜坡的坡度,
∴,
∵,
∴,
故答案為:A.
【分析】根據(jù)斜坡AB的坡度為1:2.5可得BC:AC=1:2.5,結(jié)合BC的值可求出AC的值.
8.【答案】A
【解析】【解答】解:∵,
∴第n個單項式為:,
故答案為:A.
【分析】正負交替得出,根據(jù)指數(shù)均為2的倍數(shù)即可得出結(jié)論。
9.【答案】C
【解析】【解答】解:甲的速度為:,
可得與之間的函數(shù)解析式為;
設(shè)與之間的函數(shù)解析式為,根據(jù)題意得:
k+b=04k+b=300,
解得,
;
根據(jù)題意,得,
解得,
當(dāng)乙追上甲時,則乙出發(fā)的時間為,
故答案為:C
【分析】根據(jù)題意先求出k+b=04k+b=300,再求出,最后計算求解即可。
10.【答案】D
【解析】【解答】解:過點C作交的延長線于點G,
∵四邊形是正方形,
,,,
∴四邊形是平行四邊形,
,,
又,且,
,,
,
又,
,
在和中,
∠GDC=∠BCD=CB∠GCD=∠ECB,
,
,
,
,故①符合題意;
過點C作于點H,
∵垂直且平分,
,,
,
,
又,,

,

在和中,
∠CHE=∠B∠CEH=∠CEBCE=CE,
,

,

在和中,
CD=CHCF=CF,
,

平分,故②符合題意;

,
又,

在和中,
∠G=∠CEH∠CFG=∠CFECF=CF,
,
,

又,
,故③符合題意;
,,,
,,
,
的周長為:
,故④符合題意,
故答案為:D.
【分析】利用正方形的性質(zhì),結(jié)合三角形全等的判定與性質(zhì)計算求解即可。
11.【答案】17
【解析】【解答】解:.
故答案為:17.
【分析】利用零指數(shù)冪及負整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)先計算,再計算加法即可.
12.【答案】140
【解析】【解答】解:由題意得∠ACD+∠BCE=90°,∠ACD+∠DAC=90°,
∴∠DAC=∠BCE,
又∵∠ADC=∠CEB=90°,
AC=CB,
∴△ACD≌△CBE(AAS)
∴AD=CE=80,BE=CD=60,
∴兩張凳子的高度之和為AD+BE=140
故答案為:140.
【分析】根據(jù)同角的余角相等得∠DAC=∠BCE,從而利用AAS判斷出△ACD≌△CBE,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等得AD=CE=80,BE=CD=60,據(jù)此就和算出答案了.
13.【答案】12
【解析】【解答】解:設(shè),則,
∴,
∴,
∵的面積為,
∴,
∴,
∴,
故答案為:12.
【分析】設(shè),則,,根據(jù)△BDE的面積=,據(jù)此求出k值.
14.【答案】①②③④
【解析】【解答】解:連接AC交BD于O,連接CG,
∵正方形ABCD,
∴AB=BC,∠ABG=∠CBG,∠BCD=90°,
在△ABG和△CBG中
∴△ABG≌△CBG(SAS),
∴AG=CG,
∵GF⊥BC,GE⊥DC,
∴∠GFC=∠GEC=∠DCB=90°,
∴四邊形EGFC是矩形,
∴CG=EF,
∴AG=EF,故①正確;
∵AB=BG,
∴∠BAG=∠BGA=(180°-∠ABD)=(180°-45°)=67.5°,
∴∠DAG=90°-67.5°=22.5°,故②正確;
∵點G為BD的中點,GE∥BC,
∴點E為DC的中點,
∴DE=CE,
∴△DGE是等腰直角三角形,
∴DE=GE=EC,
∵四邊形CEGF是矩形,
∴四邊形CEGF是正方形,故③正確;
連接AC,
∵正方形ABCD,
∴AC=BD=2AO,AC⊥BD,
在Rt△ABD中,2AB2=BD2=8,
解之:,
∴;

∴,
解之:,
∴,故④正確;
∴正確結(jié)論的序號為①②③④.
故答案為:①②③④
【分析】連接CG,利用正方形的性質(zhì)可證得AB=BC,∠ABG=∠CBG,∠BCD=90°,利用SAS證明△ABG≌△CBG,利用全等三角形的性質(zhì)可證得AG=CG,再證明四邊形EGFC是矩形,利用矩形的對角線相等,可證得CG=EF,據(jù)此可對①作出判斷;利用等邊對等角及三角形的內(nèi)角和定理可求出∠BAG的度數(shù),即可得到∠DAG的度數(shù),可對②作出判斷;利用點G為BD的中點,GE∥BC,可證得DE=CE,可推出△DGE是等腰直角三角形,可知DE=GE=EC;再利用有一組鄰邊相等的矩形是正方形,可對③作出判斷;連接AC,利用正方形的性質(zhì)可證得AC=BD=2AO,AC⊥BD,利用勾股定理求出BD的長,可得到OA的長,再根據(jù)DG:BG=1:3,可求出DG的長,然后利用三角形的面積公式求出△ADG的面積,可對④作出判斷;綜上所述可得到正確結(jié)論的序號.
15.【答案】解:解不等式,得:,
解不等式,得:,
∴不等式組的解集為:,
在數(shù)軸上表示如下:
【解析】【分析】利用不等式的性質(zhì)及不等式組的解法求解并在數(shù)軸上畫出解集即可。
16.【答案】解:(1)如圖所示,△A1B1C1為所求;A1(-1,-4)B1(-4,-2)C1(-3,-5).
(2)如圖所示,△A2B2C2為所求;
∵OB=
∴線段OB旋轉(zhuǎn)到OB2掃過圖形的面積為=.
【解析】【分析】(1)根據(jù)關(guān)于原點對稱的點坐標(biāo)的特征求出點A、B、C的對應(yīng)點,再連接并直接求出點坐標(biāo)即可;
(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得點A、B、C的對應(yīng)點,再連接,然后利用扇形面積公式求解即可。
17.【答案】解:設(shè)該快遞公司投遞總件數(shù)的月平均增長率為x,根據(jù)題意得,
解得,(不合題意舍去).
答:該快遞公司投遞總件數(shù)的月平均增長率為10%.
【解析】【分析】根據(jù)題意設(shè)該快遞公司投遞總件數(shù)的月平均增長率為x,列出方程求解即可。
18.【答案】解:素材:13+15+17+19;
規(guī)律總結(jié):49;99,101;
綜合應(yīng)用:
=1+(3+5)+(7+9+11)+……+(111+113+115+117+119+121+123+125+127+129+131)
=×66×(1+131)
=4356
拓展延伸:64或216
【解析】【解答】解:素材:設(shè),
解得:,
;
故答案為:;
規(guī)律總結(jié):設(shè),
解得:,
當(dāng)時,,,
故答案為:49,99,101;
拓展延伸:當(dāng)時,,
解得:,
此時的值為64,
當(dāng)時,,
解得,
此時的值為216.
故答案為:64或216.
【分析】素材:設(shè)43=(a-2)+a+(a+2)+(a+4),求出a的值,進而可得43的值;
規(guī)律總結(jié):設(shè)73=(a-6)+(a-4)+(a-2)+a+(a+2)+(a+4)+(a+6),求出a的值,據(jù)此解答;
綜合應(yīng)用:13+23+33+……+93+103+113=1+(3+5)+(7+9+11)+……+(111+113+115+117+119+121+123+125+127+129+131)=×66×(1+131),計算即可;
拓展延伸:當(dāng)m=2時,2n-1-1=31,求出n的值,進而可得mn的值,同理可得m=6對應(yīng)的值.
19.【答案】解:在中,,
∴,
∴(海里).
在中,.
∵,
∴,
∴,
∴.
過點作于點.
在中,,
∴海里,
∴海里=3海里
在中,,則海里.
∴(海里).
答:此時貨船距燈塔的距離約為4.7海里.
【解析】【分析】先求出 , 再結(jié)合圖形,利用銳角三角函數(shù)計算求解即可。
20.【答案】(1)證明:連接,,
∵是的直徑,
∴.
∵,
∴點D是的中點.
∵點O是的中點,
∴是的中位線,
∴,
∴.
∵,
∴,
∴,
∴是的半徑;
(2)解:連接,
∵四邊形是的內(nèi)接四邊形,
∴.
∵,
∴.
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
即,
∴的半徑是;
∵,,
∴,
∴,
即,
∴(負值舍去).
在中,,
∴,
∴.
【解析】【分析】(1)連接OD、AD,根據(jù)圓周角定理可得∠ADB=90°,由等腰三角形的性質(zhì)可得點D為BC的中點,進而推出OD是△ABC的中位線,得到OD∥AC,由平行線的性質(zhì)可得∠ODF=∠AFD=90°,據(jù)此證明;
(2)連接DE,根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得∠B+∠AED=180°,結(jié)合鄰補角的性質(zhì)可得∠DEC=∠B,由等腰三角形的性質(zhì)可得∠B=∠C,推出EF=CF=1,則AC=AE+EF+CF=5,根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似可得△CDF∽△CAD,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得CD,由勾股定理可求出AD的值,然后根據(jù)三角函數(shù)的概念進行計算.
21.【答案】(1)12;36;
(2)解:選擇“常?!钡娜藬?shù)有:(人).
補全條形統(tǒng)計圖如圖所示.
(3)解:畫圖如下:
一共有12種等可能的結(jié)果,其中所選兩位同學(xué)恰好組合成功的有8種,
則所選兩位同學(xué)恰好組合成功(即“很少”和“總是”的兩人為一組)的概率是.
【解析】【解答】解:(1)根據(jù)題意得:調(diào)查的總?cè)藬?shù)為人,
∴;
;
“常?!睂?yīng)扇形的圓心角度數(shù)為;
故答案為:12,36,.
【分析】(1)根據(jù)百分比之和為1可求出很少、有時、總是所占的比例之和,利用對應(yīng)的人數(shù)除以所占的比例可得總?cè)藬?shù),根據(jù)很少的人數(shù)除以總?cè)藬?shù),然后乘以100%可得a的值,同理可得b的值,利用常常所占的比例乘以360°即可得到所占扇形圓心角的度數(shù);
(2)利用常常所占的比例乘以總?cè)藬?shù)可得對應(yīng)的人數(shù),進而可補全條形統(tǒng)計圖;
(3)畫出樹狀圖,找出總情況數(shù)以及所選兩位同學(xué)恰好組合成功的情況數(shù),然后根據(jù)概率公式進行計算.
22.【答案】(1)解:.
(2)解:設(shè)所求一次函數(shù)關(guān)系式為,
將代入,得
30k+b=4040k+b=20 解得

(3)解:設(shè)利潤為元,產(chǎn)品的單價為元/件,根據(jù)題意,得
==
∴當(dāng)=35元/件時,工廠獲得最大利潤450元.
【解析】【分析】(1)結(jié)合表格中的數(shù)據(jù),利用平均數(shù)的定義計算求解即可;
(2)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可;
(3)利用利潤公式求出函數(shù)解析式,再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計算求解即可。
23.【答案】(1)證明:如圖1所示:
在中,,,
,,
平分,
,

于點,
,

是等邊三角形
(2)解:如圖:
;
結(jié)論:.
(3)解:結(jié)論:.
證明:如圖3所示,延長至,使得,
由(1)得,,
于點,
,
,
是等邊三角形,
,,

,
,
即,
在和中,
∠DNG=∠HNBDN=HN∠H=∠2,
,
,
,
,

【解析】【解答】(2)證明:如圖2所示:延長使得,連接,
,,是的角平分線,于點,
,,
又,
是等邊三角形,
,
在和中,
∠W=∠MDBMW=DM∠WMG=∠DMB
,


【分析】(1)先求出DA=DB,再求出BC=BE,最后證明即可;
(2)先求出MW=DM,再利用全等三角形的判定與性質(zhì)證明求解即可;
(3)根據(jù)題意先求出∠H=∠2,再利用全等三角形的判定與性質(zhì)證明求解即可。探索數(shù)的神秘性質(zhì)
素材
尼科馬霍斯是古希臘數(shù)學(xué)家,他的著作算術(shù)入門中記載了各種數(shù)分門別類的整理成果,其中任何一個整數(shù)的立方都可以寫成個連續(xù)奇數(shù)之和.
舉例論證:
;;;
請你按規(guī)律寫出:
.
規(guī)律總結(jié)
當(dāng)是奇數(shù)7時,則等號右邊式子中的中間數(shù)即第4個數(shù)為 ;
當(dāng)為偶數(shù)10時,則等號右邊式子中的中間兩個數(shù)即第5和第6個數(shù)為 .
綜合應(yīng)用
利用上面結(jié)論計算:.
拓展延伸
我們還發(fā)現(xiàn)以下規(guī)律:已知,,且,均為正整數(shù),如果將進行如圖所示的“分解”:
若且,均為不大于的正整數(shù)的分解中有奇數(shù)31,則的值為 .
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