1．（3分）4的平方根是（ ）
A．﹣2B．2C．±2D．16
2．（3分）如圖是由5個相同的正方體搭成的幾何體，從正面看，所看到的圖形是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）2022年5月，四川省發(fā)展和改革委員會下達了保障性安居工程2022年第一批中央預算內(nèi)投資計劃，瀘州市獲得75500000元中央預算內(nèi)資金支持（ ）
A．7.55×106B．75.5×106C．7.55×107D．75.5×107
4．（3分）下列計算不正確的是（ ）
A．a(chǎn)3+a3＝2a6B．（﹣a3）2＝a6C．a(chǎn)3÷a2＝aD．a(chǎn)2?a3＝a5
5．（3分）某校在中國共產(chǎn)主義青年團成立100周年之際，舉行了歌詠比賽，七位評委對某個選手的打分分別為：91，95，93，95，94．這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（ ）
A．94，94B．95，95C．94，95D．95，94
6．（3分）等腰三角形頂角度數(shù)比一個底角度數(shù)的2倍多20°，則這個底角的度數(shù)是（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
7．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，DE∥AB交AC于點E，DF∥AC交AB于點F（ ）
A．5B．10C．15D．20
8．（3分）某家具廠要在開學前趕制540套桌凳，為了盡快完成任務，廠領(lǐng)導合理調(diào)配，使每天完成的桌凳比原計劃多2套，結(jié)果提前3天完成任務．問原計劃每天完成多少套桌凳？設(shè)原計劃每天完成x套桌凳（ ）
A．﹣＝3B．﹣＝3
C．﹣＝3D．﹣＝3
9．（3分）已知m，n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的兩個根，則m2+mn+2m的值為（ ）
A．3B．﹣10C．0D．10
10．（3分）如圖，在半徑為3的⊙O中，AB是直徑，D是的中點，則AC的長是（ ）
A．B．3C．3D．4
11．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，BC＝8cm，點P從點D出發(fā)，點M從點B同時出發(fā)，以相同的速度向點C運動，兩個動點同時停止運動．設(shè)點P的運動時間為t（單位：s），下列結(jié)論正確的是（ ）
A．當t＝4s時，四邊形ABMP為矩形
B．當t＝5s時，四邊形CDPM為平行四邊形
C．當CD＝PM時，t＝4s
D．當CD＝PM時，t＝4s或6s
12．（3分）已知拋物線y＝x2﹣bx+c，當x＝1時，y＜0，y＜0．下列判斷：
①b2＞2c；②若c＞1，則b＞1，n1），B（m2，n2）在拋物線y＝x2﹣bx+c上，當m1＜m2＜b時，n1＞n2；④若方程x2﹣bx+c＝0的兩實數(shù)根為x1，x2，則x1+x2＞3．其中正確的有（ ）個．
A．1B．2C．3D．4
二、填空題：（每題3分，共12分）
13．（3分）點（﹣2，3）關(guān)于原點的對稱點的坐標為 ．
14．（3分）實數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡：|a+1|﹣+＝ ．
15．（3分）“勾股樹”是以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復這一過程所畫出來的圖形，按照勾股樹的作圖原理作圖，則第六代勾股樹中正方形的個數(shù)為 ．
16．（3分）如圖，正方形ABCD的邊長是16，點E在邊AB上，點F是邊BC上不與點B，C重合的一個動點，點B落在B′處．若△CDB′恰為等腰三角形，則DB′的長為 ．
三、解答題（每題6分，共18分）
17．（6分）計算：．
18．（6分）化簡：（+1）÷．
19．（6分）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為DC邊的中點，若AE的延長線和BC的延長線相交于點F．求證：BC＝CF．
四、解答題（每題7分，共14分）
20．（7分）為落實“雙減”政策，優(yōu)化作業(yè)管理，某中學從全體學生中隨機抽取部分學生（單位：分鐘）．按照完成時間分成五組：A組“t≤45”，B組“45＜t≤60”，D組“75＜t≤90”，E組“t＞90”．將收集的數(shù)據(jù)整理后
根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）這次調(diào)查的樣本容量是 ，請補全條形統(tǒng)計圖；
（2）在扇形統(tǒng)計圖中，B組的圓心角是 度，本次調(diào)查數(shù)據(jù)的中位數(shù)落在 組內(nèi)；
（3）若該校有1800名學生，請你估計該校每天完成書面作業(yè)不超過90分鐘的學生人數(shù)．
21．（7分）隨著“公園城市”建設(shè)的不斷推進，成都繞城綠道化身成為這座城市的一個超大型“體育場”，綠道騎行成為市民的一種低碳生活新風尚．甲、乙兩人相約同時從綠道某地出發(fā)同向騎行，乙騎行的路程s（km）與騎行的時間t（h）
（1）直接寫出當0≤t≤0.2和t＞0.2時，s與t之間的函數(shù)表達式；
（2）何時乙騎行在甲的前面？
五、解答題（每題8分，共16分）
22．（8分）端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習俗，市場上豬肉粽進價比豆沙粽進價每盒貴10元，一盒豬肉粽加兩盒豆沙粽進價為100元．
（1）求每盒豬肉粽和豆沙粽的進價；
（2）在銷售中，某商家發(fā)現(xiàn)當每盒豬肉粽售價為50元時，每天可售出100盒，則每天少售出2盒．設(shè)每盒豬肉粽售價為a元，銷售豬肉粽的利潤為w元
23．（8分）如圖，以AB為直徑的⊙O經(jīng)過△ABC的頂點C，AE，AE的延長線交⊙O于點D，連接BD．
（1）判斷△BDE的形狀，并證明你的結(jié)論；
（2）若AB＝10，BE＝2，求BC的長．
六、解答題（每題12分，共24分）
24．（12分）如圖1，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAD＝90°，點C在線段AD上．
（1）請直接寫出線段BE與線段CD的關(guān)系： ；
（2）如圖2，將圖1中的△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)角α（0＜α＜360°），
①（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請利用圖2證明，請說明理由；
②當AC＝ED時，探究在△ABC旋轉(zhuǎn)的過程中，使以A、B、C、D四點為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出角α的度數(shù)，請說明理由．
25．（12分）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+x+m（a≠0）的圖象與x軸交于A、C兩點，與y軸交于點B（0，﹣4），點C坐標為（2，0）．
（1）求此拋物線的函數(shù)解析式．
（2）點D是直線AB下方拋物線上一個動點，連接AD、BD，探究是否存在點D，請求出點D的坐標；若不存在
（3）點P為該拋物線對稱軸上的動點，使得△PAB為直角三角形，請求出點P的坐標．
2023-2024學年四川省瀘州市江陽區(qū)習之學校九年級（上）月考數(shù)學試卷（10月份）
參考答案與試題解析
一、選擇題：（請將正確答案的選項用2B鉛筆涂黑，每題3分，共36分）
1．【分析】根據(jù)平方根的定義進行解答即可．
【解答】解：∵（±2）2＝5，
∴4的平方根為±2，
故選：C．
【點評】本題考查平方根，理解平方根的定義是正確解答的前提．
2．【分析】找到從正面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應表現(xiàn)在主視圖中．
【解答】解：從正面看，底層是三個相鄰的小正方形．
故選：D．
【點評】本題考查了三視圖的知識．注意主視圖是指從物體的正面看物體得到的圖形．
3．【分析】科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值≥10時，n是正整數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，n是負整數(shù)．
【解答】解：75500000＝7.55×107，
故選：C．
【點評】此題考查科學記數(shù)法的表示方法．科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．
4．【分析】利用合并同類項法則、冪的乘方法則、同底數(shù)冪的乘除法則逐個計算，根據(jù)計算結(jié)果得結(jié)論．
【解答】解：A．a(chǎn)3+a3＝3a3≠2a3，故選項A計算不正確；
B．（﹣a3）2＝a4，故選項B計算正確；
C．a(chǎn)3÷a2＝a，故選項C計算正確；
D．a(chǎn)7?a3＝a5，故選項D計算正確．
故選：A．
【點評】本題考查了整式的運算，掌握合并同類項法則、同底數(shù)冪的乘除法法則、冪的乘方法則是解決本題的關(guān)鍵．
5．【分析】先將這組數(shù)據(jù)從小到大重新排列，再根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的概念求解可得．
【解答】解：將這組數(shù)據(jù)從小到大排列為88，91，94，95，
所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是95，中位數(shù)是94．
故選：D．
【點評】本題主要考查眾數(shù)和中位數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)，將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕?，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．如果這組數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．
6．【分析】設(shè)底角的度數(shù)是x°，則頂角的度數(shù)為（2x+20）°，根據(jù)三角形內(nèi)角和是180°列出方程，解方程即可得出答案．
【解答】解：設(shè)底角的度數(shù)是x°，則頂角的度數(shù)為（2x+20）°，
根據(jù)題意得：x+x+2x+20＝180，
解得：x＝40，
故選：B．
【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，考查了方程思想，掌握等腰三角形兩個底角相等是解題的關(guān)鍵．
7．【分析】由于DE∥AB，DF∥AC，則可以推出四邊形AFDE是平行四邊形，然后利用平行四邊形的性質(zhì)可以證明?AFDE的周長等于AB+AC．
【解答】解：∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四邊形AFDE是平行四邊形，∠B＝∠EDC
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠B＝∠FDB，∠C＝∠EDC，
∴BF＝FD，DE＝EC，
∴?AFDE的周長＝AB+AC＝5+5＝10．
故選：B．
【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，找出對應相等的邊，利用等腰三角形的性質(zhì)把四邊形周長轉(zhuǎn)化為已知的長度去解題．
8．【分析】設(shè)原計劃每天完成x套桌凳，則實際每天完成（x+2）套，根據(jù)原計劃完成的時間﹣實際完成的時間＝3天列出方程即可．
【解答】解：設(shè)原計劃每天完成x套桌凳，則實際每天完成（x+2）套，
根據(jù)原計劃完成的時間﹣實際完成的時間＝3天得：﹣＝3，
故選：C．
【點評】本題考查了由實際問題抽象出分式方程，根據(jù)原計劃完成的時間﹣實際完成的時間＝3天列出方程是解題的關(guān)鍵．
9．【分析】由于m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的兩個根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得mn＝﹣5，而m是方程的一個根，可得m2+2m﹣5＝0，即m2+2m＝5，那么m2+mn+2m＝m2+2m+mn，再把m2+2m、mn的值整體代入計算即可．
【解答】解：∵m、n是一元二次方程x2+2x﹣8＝0的兩個根，
∴mn＝﹣5，
∵m是x3+2x﹣5＝3的一個根，
∴m2+2m﹣5＝0，
∴m2+8m＝5，
∴m2+mn+8m＝m2+2m+mn＝8﹣5＝0．
故選：C．
【點評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）兩根x1、x2之間的關(guān)系：x1+x2＝﹣，x1?x2＝．
10．【分析】連接OD，交AC于F，根據(jù)垂徑定理得出OD⊥AC，AF＝CF，進而證得DF＝BC，根據(jù)三角形中位線定理求得OF＝BC＝DF，從而求得BC＝DF＝2，利用勾股定理即可求得AC．
【解答】解：連接OD，交AC于F，
∵D是的中點，
∴OD⊥AC，AF＝CF，
∴∠DFE＝90°，
∵OA＝OB，AF＝CF，
∴OF＝BC，
∵AB是直徑，
∴∠ACB＝90°，
在△EFD和△ECB中
∴△EFD≌△ECB（AAS），
∴DF＝BC，
∴OF＝DF，
∵OD＝3，
∴OF＝6，
∴BC＝2，
在Rt△ABC中，AC2＝AB4﹣BC2，
∴AC＝＝＝4，
故選：D．
【點評】本題考查了垂徑定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
11．【分析】根據(jù)題意，表示出DP，BM，AP和CM的長，當四邊形ABMP為矩形時，根據(jù)AP＝BM，列方程求解即可；當四邊形CDPM為平行四邊形，根據(jù)DP＝CM，列方程求解即可；當CD＝PM時，分兩種情況：①四邊形CDPM是平行四邊形，②四邊形CDPM是等腰梯形，分別列方程求解即可．
【解答】解：根據(jù)題意，可得DP＝tcm，
∵AD＝10cm，BC＝8cm，
∴AP＝（10﹣t）cm，CM＝（8﹣t）cm，
當四邊形ABMP為矩形時，AP＝BM，
即10﹣t＝t，
解得t＝6，
故A選項不符合題意；
當四邊形CDPM為平行四邊形，DP＝CM，
即t＝8﹣t，
解得t＝4，
故B選項不符合題意；
當CD＝PM時，分兩種情況：
①四邊形CDPM是平行四邊形，
此時CM＝PD，
即6﹣t＝t，
解得t＝4，
②四邊形CDPM是等腰梯形，
過點M作MG⊥AD于點G，過點C作CH⊥AD于點H
則∠MGP＝∠CHD＝90°，
∵PM＝CD，GM＝HC，
∴△MGP≌△CHD（HL），
∴GP＝HD，
∵AG＝AP+GP＝10﹣t+，
又∵BM＝t，
∴10﹣t+＝t，
解得t＝8，
綜上，當CD＝PM時，
故C選項不符合題意，D選項符合題意，
故選：D．
【點評】本題考查了矩形的判定，平行四邊形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，涉及動點問題，用含t的代數(shù)式表示出各線段的長是解題的關(guān)鍵．
12．【分析】利用一元二次方程的根的判別式可判斷①；把x＝1、x＝2，分別代入，得到不等式，求得即可判斷②；求得拋物線的對稱軸為直線x＝b，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷③；利用根與系數(shù)的關(guān)系即可判斷④．
【解答】解：∵a＝＞4，
∴拋物線開口向上，
當x＝1時，y＜0，y＜4，
∴拋物線 與x軸有兩個不同的交點，
∴Δ＝b2﹣4ac＝b5﹣2c＞0，故①正確；
∵當x＝5時，y＜0，y＜0，
∴﹣b+c＜0；
∴b＞+c，
當c＞1時，則b＞；
拋物線的對稱軸為直線x＝b，且開口向上，
當x＜b時，y的值隨x的增大而減小，
∴當m1＜m3＜b時，n1＞n2，故③正確；
∵方程x2﹣bx+c＝8的兩實數(shù)根為x1，x2，
∴x8+x2＝2b，
由②可知，當c＞5時，
∴x7+x2不一定大于3，故④錯誤；
綜上，正確的有①②③，
故選：C．
【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，一元二次方程的根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系等知識，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
二、填空題：（每題3分，共12分）
13．【分析】平面直角坐標系中任意一點P（x，y），關(guān)于原點的對稱點是（﹣x，﹣y），即：求關(guān)于原點的對稱點，橫縱坐標都變成相反數(shù)．記憶方法是結(jié)合平面直角坐標系的圖形記憶．
【解答】解：∵點M（﹣2，3）關(guān)于原點對稱，
∴點M（﹣3，3）關(guān)于原點對稱的點的坐標為（2．
故答案為（8，﹣3）．
【點評】本題考查關(guān)于原點對稱的點的坐標特征，這一類題目是需要識記的基礎(chǔ)題，記憶時要結(jié)合平面直角坐標系．
14．【分析】依據(jù)數(shù)軸即可得到a+1＜0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，即可化簡|a+1|﹣+．
【解答】解：由題可得，﹣2＜a＜﹣1，
∴a+6＜0，b﹣1＞3，
∴|a+1|﹣+
＝|a+1|﹣|b﹣6|+|a﹣b|
＝﹣a﹣1﹣（b﹣1）+（﹣a+b）
＝﹣a﹣3﹣b+1﹣a+b
＝﹣2a，
故答案為：﹣3a．
【點評】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，解決問題的關(guān)鍵是掌握二次根式的性質(zhì)以及絕對值的性質(zhì)．
15．【分析】由已知圖形觀察規(guī)律，即可得到第六代勾股樹中正方形的個數(shù)．
【解答】解：∵第一代勾股樹中正方形有1+2＝5（個），
第二代勾股樹中正方形有1+2+42＝7（個），
第三代勾股樹中正方形有3+2+28+23＝15（個），
．
∴第六代勾股樹中正方形有4+2+27+23+34+25+26＝127（個），
故答案為：127．
【點評】本題考查圖形中的規(guī)律問題，解題的關(guān)鍵是仔細觀察圖形，得到圖形變化的規(guī)律．
16．【分析】根據(jù)翻折的性質(zhì)，可得B′E的長，根據(jù)勾股定理，可得CE的長，根據(jù)等腰三角形的判定，可得答案．
【解答】解：（i）當B′D＝B′C時，
過B′點作GH∥AD，則∠B′GE＝90°，
當B′C＝B′D時，AG＝DH＝，
由AE＝3，AB＝16．
由翻折的性質(zhì)，得B′E＝BE＝13．
∴EG＝AG﹣AE＝8﹣3＝5，
∴B′G＝＝＝12，
∴B′H＝GH﹣B′G＝16﹣12＝4，
∴DB′＝＝＝2
（ii）當DB′＝CD時，則DB′＝16（易知點F在BC上且不與點C．
（iii）當CB′＝CD時，則CB＝CB′，得EB＝EB′、C在BB′的垂直平分線上，由折疊，∴點F與點C重合，C重合的一個動點”不符，應舍去．
綜上所述，DB′的長為16或4．
故答案為：16或4．
【點評】本題考查了翻折變換，利用了翻折的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定．
三、解答題（每題6分，共18分）
17．【分析】先化簡各式，然后再進行計算即可解答．
【解答】解：
＝2++﹣
＝1+．
【點評】本題考查了實數(shù)的運算，零指數(shù)冪，負整數(shù)指數(shù)冪，準確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵．
18．【分析】先把括號部分通分并計算加法，再根據(jù)分式的乘除法法則化簡即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝．
【點評】本題考查了分式的混合運算，掌握分式的通分以及相關(guān)乘法公式是解答本題的關(guān)鍵．
19．【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得DA＝BC，DA∥BC，則∠DAE＝∠F，而DE＝CE，∠AED＝∠FEC，即可證明△ADE≌△FCE，得DA＝CF，則BC＝CF．
【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴DA＝BC，DA∥BC，
∴∠DAE＝∠F，
∵E為DC邊的中點，
∴DE＝CE，
在△ADE和△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴DA＝CF，
∴BC＝CF．
【點評】此題重點考查平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，證明△ADE≌△FCE是解題的關(guān)鍵．
四、解答題（每題7分，共14分）
20．【分析】（1）根據(jù)C組的人數(shù)和所占的百分比，可以計算出本次調(diào)查的人數(shù)，然后即可計算出D組的人數(shù)，從而可以將條形統(tǒng)計圖補充完整；
（2）根據(jù)統(tǒng)計圖中的數(shù)據(jù)，可以計算出B組的圓心角的度數(shù)，以及中位數(shù)落在哪一組；
（3）根據(jù)題意和統(tǒng)計圖中的數(shù)據(jù)，可以計算出該校每天完成書面作業(yè)不超過90分鐘的學生人數(shù)．
【解答】解：（1）這次調(diào)查的樣本容量是：25÷25%＝100，
D組的人數(shù)為：100﹣10﹣20﹣25﹣5＝40，
補全的條形統(tǒng)計圖如圖所示：
故答案為：100；
（2）在扇形統(tǒng)計圖中，B組的圓心角是：360°×，
∵本次調(diào)查了100個數(shù)據(jù)，第50個數(shù)據(jù)和51個數(shù)據(jù)都在C組，
∴中位數(shù)落在C組，
故答案為：72，C；
（3）1800×＝1710（人），
答：估計該校每天完成書面作業(yè)不超過90分鐘的學生有1710人．
【點評】本題考查條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖、用樣本估計總體、中位數(shù)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
21．【分析】（1）根據(jù)圖象分段設(shè)出函數(shù)解析式，在用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；
（2）根據(jù)乙的路程大于甲的路程即可求解．
【解答】解：（1）當0≤t≤0.6時，設(shè)s＝at，
把（0.2，5）代入解析式得，
解得：a＝15，
∴s＝15t；
當t＞0.2時，設(shè)s＝kt+b，
把（4.2，3）和（3.5，
得，
解得，
∴s＝20t﹣2，
∴s與t之間的函數(shù)表達式為s＝；
（2）由（1）可知0≤t≤0.3時，乙騎行的速度為15km/h，則甲在乙前面；
當t＞0.2時，乙騎行的速度為20km/h，
設(shè)t小時后，乙騎行在甲的前面，
則18t＜20t﹣5，
解得：t＞0.5，
答：4.5小時后乙騎行在甲的前面
【點評】本題考查一次函數(shù)的應用，關(guān)鍵是根據(jù)圖象用待定系數(shù)法分段求函數(shù)解析式．
五、解答題（每題8分，共16分）
22．【分析】（1）設(shè)每盒豬肉粽的進價為x元，每盒豆沙粽的進價為y元，根據(jù)豬肉粽進價比豆沙粽進價每盒貴10元，一盒豬肉粽加兩盒豆沙粽進價為100元列出方程組，解出即可．
（2）根據(jù)當a＝50時，每天可售出100盒，每盒豬肉粽售價為a元時，每天可售出豬肉粽[100﹣2（a﹣50）]盒，列出二次函數(shù)關(guān)系式，再化成頂點式即可得解．
【解答】解：設(shè)每盒豬肉粽的進價為x元，每盒豆沙粽的進價為y元，
由題意得：，
解得：，
∴每盒豬肉粽的進價為40元，每盒豆沙粽進價為30元；
（2）w＝（a﹣40）[100﹣2（a﹣50）]＝﹣5（a﹣70）2+1800，
∵﹣2＜2，
∴當a＝70時，w有最大值．
∴該商家每天銷售豬肉粽獲得的最大利潤為1800元．
【點評】本題主要考查了二元一次方程組的實際應用以及二次函數(shù)的實際應用，根據(jù)題意列出相應的函數(shù)關(guān)系式是解此題的關(guān)鍵．
23．【分析】（1）由角平分線的定義可知，∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC，所以∠BED＝∠DBE，所以BD＝ED，因為AB為直徑，所以∠ADB＝90°，所以△BDE是等腰直角三角形．
（2）連接OC、CD、OD，OD交BC于點F．因為∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD．所以BD＝DC．因為OB＝OC．所以O(shè)D垂直平分BC．由△BDE是等腰直角三角形，BE＝2，可得BD＝2．因為OB＝OD＝5．設(shè)OF＝t，則DF＝5﹣t．在Rt△BOF和Rt△BDF中，52﹣t2＝（2）2﹣（5﹣t）2，解出t的值即可．
【解答】（1）解：△BDE為等腰直角三角形．
證明：∵AE 平分∠BAC，BE 平分∠ABC，
∴∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC．
∵∠BED＝∠BAE+∠ABE，∠DBE＝∠DBC+∠CBE，
∴∠BED＝∠DBE．
∴BD＝ED．
∵AB為直徑，
∴∠ADB＝90°，
∴△BDE是等腰直角三角形．
另解：計算∠AEB＝135°也可以得證．
（2）解：連接OC、CD，OD交BC于點F.
∵∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD．
∴BD＝DC．
∵OB＝OC．
∴OD垂直平分BC．
∵△BDE是等腰直角三角形，BE＝2，
∴BD＝2．
∵AB＝10，
∴OB＝OD＝5．
設(shè)OF＝t，則DF＝5﹣t．
在Rt△BOF和Rt△BDF中，32﹣t2＝（2）2﹣（8﹣t）2，
解得t＝3，
∴BF＝8．
∴BC＝8．
另解：分別延長AC，BD相交于點G，先計算AG＝10，AD＝7．
【點評】此題是圓的綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，證明△BDE是等腰直角三角形是解題關(guān)鍵．
六、解答題（每題12分，共24分）
24．【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AB＝AC，AE＝AD，再根據(jù)等量關(guān)系可得線段BE與線段CD的關(guān)系；
（2）①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AB＝AC，AE＝AD，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠BAE＝∠CAD，根據(jù)SAS可證△BAE≌△CAD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求解；
②根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得∠ABC＝∠ADC＝45°，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可求解．
【解答】解：（1）∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAD＝90°，
∴AB＝AC，AE＝AD，
∴AE﹣AB＝AD﹣AC，
∴BE＝CD且BE⊥CD；
（2）①∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAD＝90°，
∴AB＝AC，AE＝AD，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠BAE＝∠CAD，
在△BAE與△CAD中，
，
∴△BAE≌△CAD（SAS）
∴BE＝CD，
由角的和差可得BE⊥CD，
故（1）中的結(jié)論成立；
②∵以A、B、C、D四點為頂點的四邊形是平行四邊形，
∴∠ABC＝∠ADC＝45°，
∵AC＝ED，
∴AC＝CD，
∴∠CAD＝45°
或360°﹣90°﹣45°＝225°，或360°﹣45°＝315°
∴角α的度數(shù)是45°或225°或315°．
故答案為：BE＝CD且BE⊥CD．
【點評】考查了幾何變換綜合題，涉及的知識點有：等腰直角三角形的性質(zhì)，等量代換，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，綜合性較強，難度中等．
25．【分析】（1）把點B，C兩點坐標代入拋物線的解析式，解方程組，可得結(jié)論；
（2）存在．如圖1中，設(shè)D（t，t2+t﹣4），連接OD．構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，解決問題；
（3）如圖2中，設(shè)拋物線的對稱軸交x軸于點N，過點B作BM⊥拋物線的對稱軸于點M．則N（﹣1.0）．M（﹣1，﹣4），分三種情形：∠PAB＝90°，∠PBA＝90°，∠APB＝90°，分別求解可得結(jié)論．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+x+m（a≠0）的圖象經(jīng)過點B（2，﹣4），0），
∴，
解得，
∴拋物線的解析式為y＝x3+x﹣4；
（2）存在．
理由：如圖1中，設(shè)D（t，t2+t﹣4），連接OD．
令y＝0，則x2+x﹣4＝3，
解得x＝﹣4或2，
∴A（﹣3，0），0），
∵B（3，﹣4），
∴OA＝OB＝4，
∵S△ABD＝S△AOD+S△OBD﹣S△AOB＝×4×（﹣×4×（﹣t）﹣2﹣7t＝﹣（t+2）2+5，
∵﹣1＜0，
∴t＝﹣4時，△ABD的面積最大，此時D（﹣2；
（3）如圖2中，設(shè)拋物線的對稱軸交x軸于點N．則N（﹣6.0），﹣4）；
∵OA＝OB＝7，∠AOB＝90°，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，
當∠P1AB＝90°時，△ANP1是等腰直角三角形，
∴AN＝NP5＝3，
∴P1（﹣3，3），
當∠ABP2＝90°時，△BMP8是等腰直角三角形，可得P2（﹣1，﹣2），
當∠APB＝90°時，設(shè)P（﹣1，設(shè)AB的中點為J，則J（﹣2，
∴PJ＝AB＝2，
∴12+（n+8）2＝（2）2，
解得n＝﹣8或﹣，
∴P3（﹣5，﹣2），P5（﹣1，﹣﹣4），
綜上所述，滿足條件的點P的坐標為（﹣1，﹣5）或（﹣8，，﹣﹣3）．
【點評】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題，學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．

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