1．計算。
二、填空題。
2．甲、乙兩車同時從A地開往300千米外的B地，甲到達A地后立即返回，返回時速度提高50%，當(dāng)乙到達B地時，甲剛好走到A、B兩地中點。當(dāng)甲到達B地時乙離B地還有 千米。
3．小剛的爸爸自制了一套電動玩具．當(dāng)鬧鐘分別正點指向上午7點和中午1點時，電子狗便吹號．一旦表盤上分針與時針走成反向一條直線，電子狗便“汪汪”叫喚．小剛爸爸欲用此物提醒小剛吃早餐和睡午覺．問小剛在吃早餐過程中，花去 分鐘．
4．關(guān)于x的方程的解是正整數(shù)，則符合條件的所有整數(shù)a的積為 。
5．若x2+x﹣1＝0，則x3﹣2x+4＝ 。
6．觀察下列各式：2＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，……找出規(guī)律，用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出227的末位數(shù)字是 。
三、解答題。
7．某項工程，甲隊單獨做需12天完成，乙隊單獨做需9天完成，若按整日安排兩隊工作，有幾種方案可以使這項工程完工的天數(shù)不超過8天？
8．如圖所示，求如圖陰影部分的面積。
9．某公司進行年終分紅，規(guī)定按下面的規(guī)則將錢平均分給每個人，第一個人先取1元，再取余下的；接著第二人先取2元，再取余下的；如此繼續(xù)下去，第k個人先取k元，再取余下獎金的，最后獎金被分完，則公司有多少人參與分紅？
10．國際數(shù)學(xué)家大會會標是由4個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的大正方形（如圖），若大正方形的面積是32，小正方形的面積是4，則每個直角三角形的周長是多少？
11．為了備戰(zhàn)北京奧運會，國家田徑隊的運動員在專門設(shè)置的新型三環(huán)形跑道上，夜以繼日抓緊訓(xùn)練，每條環(huán)形跑道的長度都是200米并相交于同一個點A（如圖所示），有天，李剛與甲、乙兩名隊員從三條跑道的共同交點A同時出發(fā)，各取一條跑道練習(xí)長跑（按圖中箭頭所示方向開始跑），甲每小時跑5千米，乙每小時跑7千米，李剛每小時跑9千米，請問他們?nèi)说谖宕卧贏點相遇時，跑了多長時間？
12．有一個底面周長為4πcm的圓柱體，斜著截去一段后，剩下的幾何體如圖所示，求該剩下幾何體的體積。（結(jié)果保留π）
13．中秋將至，重百超市推出了甲、乙、丙、丁四種禮品套餐組合：甲套餐每袋裝有15個A禮盒，10個B禮盒，10個C禮盒；乙套餐每袋裝有5個A禮盒，7個B禮盒，6個C禮盒；丙套餐每袋裝有7個A禮盒，8個B禮盒，9個C禮盒；丁套餐每袋裝有3個A禮盒，4個B禮盒，4個C禮盒，若一個甲套餐售價1800元，利潤率為20%，一個乙和一個丙套餐一共成本和為1830元，且一個A禮盒的利潤率為25%，則一個丁套餐的利潤率為多少？
四、綜合應(yīng)用。
14．模仿學(xué)習(xí)：如圖①，網(wǎng)狀平面圖中共有AB，BC，……，共11條線段，有點A，點B……，共7個點，將整個平面分成S1，S2，……S6共6個不可連通的區(qū)域，其中S6是多邊形ABCDEFG外部的區(qū)域，若現(xiàn)在對圖形進行如下操作，先去掉線段AB，則區(qū)域S1，S6即可連通成一個區(qū)域，將此合并后的區(qū)域記為新的S1，如圖②，圖②中共有5個不可連通的區(qū)域，點A，點B依舊存在，若在此基礎(chǔ)上再去掉線段BC，可以連通的區(qū)域數(shù)目不會變，但是會少一點B，去掉線段BC后點C依舊存在，這樣一直操作下去，無論最初的平面網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)圖有幾條線段，幾個點，幾個區(qū)域，最后都只剩下1條線段，該線段有2個端點，且平面內(nèi)只剩下1區(qū)域。
（1）根據(jù)前面的推理，對于任意一個復(fù)雜的網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)圖，其將平面分成的不可連通的區(qū)域數(shù)目S，線段條數(shù)L，結(jié)點的個數(shù)D之間一定滿足數(shù)量關(guān)系： ；
（2）對于一個多面體，去掉一個面之后，剩下的部分可以等于同一張平面網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)圖，則原多面體的棱的條數(shù)E，面的個數(shù)F，及頂點的個數(shù)V之間的數(shù)量關(guān)系為： 。
15．拓展應(yīng)用：1996年諾貝爾化學(xué)獎授予對發(fā)現(xiàn)C60（一種分子，下標60表示該分子內(nèi)有60個原子，如圖中的點即表示原子）有重大貢獻的三位科學(xué)家，C60分子是形如球狀的多面體，該結(jié)構(gòu)的建立基于以下考慮：①C60分子中每兩個碳原子之間有一個“化學(xué)鍵”，每個原子與周圍三個原子間有化學(xué)鍵；②?x分子只含有五邊形碳環(huán)和六邊形碳環(huán)；請回答下列問題：
（1）C60分子中有幾個化學(xué)鍵。
（2）C70分子也已制得，它的分子結(jié)構(gòu)模型可以與C60同樣考慮推知，求C70分子中五邊形碳環(huán)和六邊形碳環(huán)的數(shù)目。
（3）C72分子結(jié)構(gòu)與C60不同，但其恰好具有12個五邊形，求其六邊形碳環(huán)的個數(shù)。
2023年重慶市宏帆八中小升初數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、計算題
1．計算。
【解答】解：0.72×23+6.7×7.2+7.2
＝0.72×23+67×0.72+0.72×10
＝0.72×（23+67+10）
＝0.72×100
＝72
8.1×1.3+8+1.3+1.9×1.3﹣11.9+1.3
＝8.1×1.3+1.9×1.3+（8+1.3+1.3）﹣11.9
＝1.3×（8.1+1.9）+10.6﹣11.9
＝1.3×10+10.6﹣11.9
＝13+10.6﹣11.9
＝23.6﹣11.9
＝11.7
＝×3.5+5.5×+1×
＝×（3.5+5.5+1）
＝×10
＝8
（12×2021+18×4016+1）÷（132×2021+1584×502+11）
＝[12×（2000+21）+18×（4000+16）+1）]÷[（100+32）×（2000+21）+（1500+84）×（500+2）+11）]
＝[12×2000+12×21+18×4000+18×16+1）]÷[100×2000+100×21+32×2000+32×21+1500×500+84×500+1500×2+84×2+11]
＝[24000+252+72000+288+1）]÷[200000+2100+64000+672+750000+42000+3000+168+11]
＝96541÷1061951
＝
＝
（2x+1）：4＝3x：2
2×（2x+1）＝4×3x
4x+2＝12x
12x﹣4x＝2
8x＝2
x＝
0.3（7﹣4x）＝x+1
0.3×7﹣0.3×4x＝x+1
2.1﹣1.2x＝x+1
1.2x+x＝2.1﹣1
2.2x＝1.1
x＝
2020×6.666+3.34×202
＝2020×6.666+0.334×2020
＝2020×（6.666+0.334）
＝2020×7
＝14140
106÷11÷1×1
＝÷×
＝××
＝
＝15
＝+20+16﹣
＝+16+（20﹣）
＝16+17
＝16.75+17.3
＝34.05
（1﹣）÷（4）
＝÷（+﹣）
＝÷（+﹣）
＝÷
＝×
＝
2（）×÷﹣
＝××﹣×
＝﹣
＝
＝1﹣+﹣+﹣+﹣+﹣+﹣+﹣
＝1﹣
＝
2020×20212021﹣2021×20202020
＝2020×2021×10001﹣2021×2020×10001
＝0
＝1÷（+++……+）
＝1÷（1﹣+﹣+﹣+……+﹣）
＝1÷（1﹣）
＝1÷
＝
＝1
二、填空題。
2．甲、乙兩車同時從A地開往300千米外的B地，甲到達A地后立即返回，返回時速度提高50%，當(dāng)乙到達B地時，甲剛好走到A、B兩地中點。當(dāng)甲到達B地時乙離B地還有 75 千米。
【解答】解：（300÷2）÷（1+50%）
＝150÷1.5
＝100（千米）
（300+100）：300＝4：3
300﹣300×
＝300﹣225
＝75（千米）
答：當(dāng)甲到達B地時乙離B地還有75千米。
故答案為：75。
3．小剛的爸爸自制了一套電動玩具．當(dāng)鬧鐘分別正點指向上午7點和中午1點時，電子狗便吹號．一旦表盤上分針與時針走成反向一條直線，電子狗便“汪汪”叫喚．小剛爸爸欲用此物提醒小剛吃早餐和睡午覺．問小剛在吃早餐過程中，花去 分鐘．
【解答】解：根據(jù)題干分析可設(shè)吃早飯用去x分鐘，則時針走了0.5x度，分針走了6x度，根據(jù)題意可得方程：
150+6x﹣0.5x＝180，
150﹣5.5x＝180，
5.5x＝30，
x＝，
答：小剛吃早飯用去分鐘．
故答案為：．
4．關(guān)于x的方程的解是正整數(shù)，則符合條件的所有整數(shù)a的積為 ﹣12 。
【解答】解：
6x﹣4+ax＝2x+8﹣6
4x+ax＝6
x＝
因為關(guān)于x的方程的解是正整數(shù)，所以a＝﹣3、或﹣2、或﹣1、或2；
（﹣3）×（﹣2）×（﹣1）×2＝﹣12
答：符合條件的所有整數(shù)a的積為﹣12。
故答案為：﹣12。
5．若x2+x﹣1＝0，則x3﹣2x+4＝ 3 。
【解答】解：x2+x﹣1＝0可以得到：x2＝1﹣x和x2+x＝1，
x3﹣2x+4
＝x（x2﹣2）+4
＝x（1﹣x﹣2）+4
＝x（﹣1﹣x）+4
＝﹣x2﹣x+4
＝﹣（x2+x）+4
＝﹣1+4
＝3
故答案為：3。
6．觀察下列各式：2＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，……找出規(guī)律，用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出227的末位數(shù)字是 8 。
【解答】解：27÷4＝6……3
即227的末位數(shù)字和23的末尾數(shù)字相同，是8。
答：227的末位數(shù)字是8。
故答案為：8。
三、解答題。
7．某項工程，甲隊單獨做需12天完成，乙隊單獨做需9天完成，若按整日安排兩隊工作，有幾種方案可以使這項工程完工的天數(shù)不超過8天？
【解答】解：①設(shè)甲乙合作x天，然后甲單獨做y天，由題意得：
化簡得：
解得：y≤5，
整日安排兩隊工作，滿足題意的只有：x＝3，y＝5；
②設(shè)甲乙合作x天，然后乙單獨做y天，由題意得：
化簡得：
解得：y≤4，
整日安排兩隊工作，滿足題意的只有：x＝4，y＝2；
所以共有兩種方案可以使這項工程完工的天數(shù)不超過8天。
答：共有兩種方案可以使這項工程完工的天數(shù)不超過8天。
8．如圖所示，求如圖陰影部分的面積。
【解答】解：8×4﹣3.14×42÷4
＝32﹣12.56
＝19.44
答：陰影部分的面積是19.44。
9．某公司進行年終分紅，規(guī)定按下面的規(guī)則將錢平均分給每個人，第一個人先取1元，再取余下的；接著第二人先取2元，再取余下的；如此繼續(xù)下去，第k個人先取k元，再取余下獎金的，最后獎金被分完，則公司有多少人參與分紅？
【解答】解：設(shè)總錢數(shù)為x元。
第一個人先取1元，此時剩下（x﹣1）元，再取余下的，即（x﹣1）×＝（元）
所以第1個人共取錢數(shù)為：1+＝（元）
第二個人先取2元，此時剩下（x﹣﹣2）元，再取余下的，即（x﹣﹣2）×＝（元）
所以第2個人共取錢數(shù)為：2+＝（元）
因為最后獎金被分完，即第一個人分的錢和第二個分的錢相等（這里假設(shè)只有2個人先進行分析，實際對于任意相鄰的人分的錢數(shù)是相等的），即列方程為：＝
解得：x＝4080400
所以每人分得錢數(shù)為：＝（4080400+2020）÷2021＝2020（元）
即參與分紅的人數(shù)為4080400÷2020＝2020（人）
答：公司有2020人參與分紅。
10．國際數(shù)學(xué)家大會會標是由4個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的大正方形（如圖），若大正方形的面積是32，小正方形的面積是4，則每個直角三角形的周長是多少？
【解答】解：設(shè)直角三角形的兩條直角邊分別是a、b。
根據(jù)題意，得a2+b2＝32①
2ab＝32﹣4＝28②
①+②，得（a+b）2＝60。
a+b＝
由①，得直角三角形的斜邊是，
則每個直角三角形的周長是。
11．為了備戰(zhàn)北京奧運會，國家田徑隊的運動員在專門設(shè)置的新型三環(huán)形跑道上，夜以繼日抓緊訓(xùn)練，每條環(huán)形跑道的長度都是200米并相交于同一個點A（如圖所示），有天，李剛與甲、乙兩名隊員從三條跑道的共同交點A同時出發(fā)，各取一條跑道練習(xí)長跑（按圖中箭頭所示方向開始跑），甲每小時跑5千米，乙每小時跑7千米，李剛每小時跑9千米，請問他們?nèi)说谖宕卧贏點相遇時，跑了多長時間？
【解答】解：5千米＝5000米，7千米＝7000米，9千米＝9000米
甲跑一圈用時：200÷5000＝（小時）
乙跑一圈用時：200÷7000＝（小時）
李剛跑一圈用時：200÷9000＝（小時）
[，，]＝＝
即他們?nèi)说谝淮蜗嘤鲇昧诵r（此時他們?nèi)朔謩e跑了5、7、9圈）
所以他們第五次在A點相遇時恰好跑了：×5＝1（小時）
答：他們?nèi)说谖宕卧贏點相遇時，跑了1小時。
12．有一個底面周長為4πcm的圓柱體，斜著截去一段后，剩下的幾何體如圖所示，求該剩下幾何體的體積。（結(jié)果保留π）
【解答】解：π×（4π÷π÷2）2×（4+6）÷2
＝π×4×10÷2
＝40π÷2
＝20π（立方厘米）
13．中秋將至，重百超市推出了甲、乙、丙、丁四種禮品套餐組合：甲套餐每袋裝有15個A禮盒，10個B禮盒，10個C禮盒；乙套餐每袋裝有5個A禮盒，7個B禮盒，6個C禮盒；丙套餐每袋裝有7個A禮盒，8個B禮盒，9個C禮盒；丁套餐每袋裝有3個A禮盒，4個B禮盒，4個C禮盒，若一個甲套餐售價1800元，利潤率為20%，一個乙和一個丙套餐一共成本和為1830元，且一個A禮盒的利潤率為25%，則一個丁套餐的利潤率為多少？
【解答】解：1800÷（1+20%）
＝1800÷1.2
＝1500（元）
即甲套餐的成本之和為1500元。
設(shè)每個A禮盒的成本為x元，每個B禮盒的成本為y元，每個C禮盒的成本為z元。根據(jù)題意可得：
即
所以：45x﹣24x＝4500﹣3660
即21x＝840
解得x＝40
即15×40+10y+10z＝1500
所以y+z＝（1500﹣600）÷10＝90
因為A禮盒的利潤率為25%，
所以一個A禮盒的利潤為：40×25%＝10（元）
所以一個A禮盒的售價為：40+10 ＝50（元）
設(shè)一個B禮盒的售價為a元，一個C禮盒的售價為b元，根據(jù)甲套餐每袋裝有15個A禮盒，10個B禮盒，10個C禮盒，可得：
15×50+10a+10b＝1800
即750+10（a+b）＝1800
所以a+b＝（1800﹣750）÷10＝105（元）
而丁套餐每袋裝有3個A禮盒，4個B禮盒，4個C禮盒，
所以一個丁套餐的售價為：3×50+4（a+b）＝150+4×105＝150+420＝570（元）
一個丁套餐的成本為：3×40+4（y+z）＝120+4×90＝120+360＝480（元）
因此一個丁套餐的利潤率為：（570﹣480）÷480×100%＝18.75%
答：一個丁套餐的利潤率為18.75%。
四、綜合應(yīng)用。
14．模仿學(xué)習(xí)：如圖①，網(wǎng)狀平面圖中共有AB，BC，……，共11條線段，有點A，點B……，共7個點，將整個平面分成S1，S2，……S6共6個不可連通的區(qū)域，其中S6是多邊形ABCDEFG外部的區(qū)域，若現(xiàn)在對圖形進行如下操作，先去掉線段AB，則區(qū)域S1，S6即可連通成一個區(qū)域，將此合并后的區(qū)域記為新的S1，如圖②，圖②中共有5個不可連通的區(qū)域，點A，點B依舊存在，若在此基礎(chǔ)上再去掉線段BC，可以連通的區(qū)域數(shù)目不會變，但是會少一點B，去掉線段BC后點C依舊存在，這樣一直操作下去，無論最初的平面網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)圖有幾條線段，幾個點，幾個區(qū)域，最后都只剩下1條線段，該線段有2個端點，且平面內(nèi)只剩下1區(qū)域。
（1）根據(jù)前面的推理，對于任意一個復(fù)雜的網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)圖，其將平面分成的不可連通的區(qū)域數(shù)目S，線段條數(shù)L，結(jié)點的個數(shù)D之間一定滿足數(shù)量關(guān)系： L＝S+D﹣2 ；
（2）對于一個多面體，去掉一個面之后，剩下的部分可以等于同一張平面網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)圖，則原多面體的棱的條數(shù)E，面的個數(shù)F，及頂點的個數(shù)V之間的數(shù)量關(guān)系為： E＝F+V﹣2 。
【解答】解：（1）從題目中的操作來看，每去掉一條線段，區(qū)域的數(shù)量要么減少1（當(dāng)去掉線段會使兩個區(qū)域連通時），要么不變（當(dāng)去掉線段不影響區(qū)域連通性時），但是最后只剩下1條線段和1個區(qū)域。
根據(jù)題意，開始時區(qū)域數(shù)目為S，線段條數(shù)為L，結(jié)點個數(shù)為D。當(dāng)我們逐步去掉線段時，每去掉一條線段，區(qū)域數(shù)和線段數(shù)的變化關(guān)系可以這樣理解：每一條線段是兩個區(qū)域的邊界（除了最外面的區(qū)域邊界情況，但整體考慮不影響結(jié)果），所以每去掉一條線段，區(qū)域數(shù)和線段數(shù)的差會減少1。
即線段數(shù)L＝3（S﹣1）﹣（S﹣1﹣1）＝2S﹣1
結(jié)點數(shù)D＝3（S﹣1）﹣2（S﹣1﹣1）＝S+1
所以線段數(shù)﹣區(qū)域數(shù)﹣結(jié)點數(shù)＝L﹣S﹣D＝2S﹣1﹣S﹣（S+1）＝﹣2
即L﹣S﹣D＝﹣2
所以L＝S+D﹣2
因此線段的條數(shù)＝結(jié)點數(shù)+區(qū)域數(shù)﹣2驗證正確。
即區(qū)域數(shù)目S，線段條數(shù)L，結(jié)點的個數(shù)D之間一定滿足數(shù)量關(guān)系為：L＝S+D﹣2
答：對于任意一個復(fù)雜的網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)圖，其將平面分成的不可連通的區(qū)域數(shù)目S，線段條數(shù)L，結(jié)點的個數(shù)D之間一定滿足數(shù)量關(guān)系：L＝S+D﹣2。
（2）對于一個多面體，去掉一個面之后，剩下的部分可以等于同一張平面網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)圖，多面體的棱相當(dāng)于網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)圖的線段，面相當(dāng)于區(qū)域，頂點相當(dāng)于結(jié)點。因為去掉了一個面才得到網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)圖。
所以對于多面體有：F﹣1＝E﹣V+1
整理可得：F+V﹣E＝2
即E＝F+V﹣2
答：對于一個多面體，去掉一個面之后，剩下的部分可以等于同一張平面網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)圖，則原多面體的棱的條數(shù)E，面的個數(shù)F，及頂點的個數(shù)V之間的數(shù)量關(guān)系為：E＝F+V﹣2。
故答案為：（1）L＝S+D﹣2；（2）E＝F+V﹣2。
15．拓展應(yīng)用：1996年諾貝爾化學(xué)獎授予對發(fā)現(xiàn)C60（一種分子，下標60表示該分子內(nèi)有60個原子，如圖中的點即表示原子）有重大貢獻的三位科學(xué)家，C60分子是形如球狀的多面體，該結(jié)構(gòu)的建立基于以下考慮：①C60分子中每兩個碳原子之間有一個“化學(xué)鍵”，每個原子與周圍三個原子間有化學(xué)鍵；②?x分子只含有五邊形碳環(huán)和六邊形碳環(huán)；請回答下列問題：
（1）C60分子中有幾個化學(xué)鍵。
（2）C70分子也已制得，它的分子結(jié)構(gòu)模型可以與C60同樣考慮推知，求C70分子中五邊形碳環(huán)和六邊形碳環(huán)的數(shù)目。
（3）C72分子結(jié)構(gòu)與C60不同，但其恰好具有12個五邊形，求其六邊形碳環(huán)的個數(shù)。
【解答】解：（1）＝90（個）
答：C60分子中有90個化學(xué)鍵。
（2）因為＝70
所以5x+6y＝210
又＝105
所以5x+6y＝210
即等式成立。
因為x、y均為正整數(shù)，經(jīng)嘗試可得x＝12，y＝25
答：C70分子中五邊形碳環(huán)數(shù)碼為12個，六邊形碳環(huán)的數(shù)目為25個。
（3）將V＝72，F(xiàn)＝12+z，E＝，代入歐拉公式V+F﹣E＝2，可得：
72+12﹣z﹣＝2
化簡可得：54﹣2z＝2
即z＝26
答：C72分子中六邊形碳環(huán)的個數(shù)為26個。
0.72×23+6.7×7.2+7.2
8.1×1.3+8+1.3+1.9×1.3﹣11.9+1.3
（12×2021+18×4016+1）÷（132×2021+1584×502+11）
（2x+1）：4＝3x：2
0.3（7﹣4x）＝x+1
2020×6.666+3.34×202
106÷11÷1×1
（1﹣）÷（4）
2（）×÷﹣
2020×20212021﹣2021×20202020
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8.1×1.3+8+1.3+1.9×1.3﹣11.9+1.3
（12×2021+18×4016+1）÷（132×2021+1584×502+11）
（2x+1）：4＝3x：2
0.3（7﹣4x）＝x+1
2020×6.666+3.34×202
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（1﹣）÷（4）
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