湖北省宜城一中、棗陽一中2024-2025學年高一上學期期中考試數(shù)學試卷（Word版附解析）

這是一份湖北省宜城一中、棗陽一中2024-2025學年高一上學期期中考試數(shù)學試卷（Word版附解析），文件包含湖北省宜城一中棗陽一中2024-2025學年高一上學期期中考試數(shù)學試卷Word版含解析docx、湖北省宜城一中棗陽一中2024-2025學年高一上學期期中考試數(shù)學試卷Word版無答案docx等2份試卷配套教學資源，其中試卷共21頁， 歡迎下載使用。
高一數(shù)學試題
時間：120分鐘 主命題學校：襄陽六中
分值：150分 命題教師：陳凌云 王園園 漆莉莉
注意事項：
1．答題前，先將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．
2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．
3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 已知全集，集合，，那么下面的韋恩圖中，陰影部分所表示的集合為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)韋恩圖，等價轉(zhuǎn)化為集合的表示，結(jié)合并集和補集，可得答案.
【詳解】由圖可知，陰影部分為，由，則，
故選：C.
2. 命題“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】利用特稱命題的否定的概念即可求解,改量詞，否結(jié)論.
【詳解】由特稱命題的否定的概念知，
“，”的否定為：，．
故選：B．
3. 已知冪函數(shù)的圖象過點，設，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的概念和冪函數(shù)圖象過的點，可求出的值，從而根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性可比較大小.
【詳解】因為冪函數(shù)的圖象過點，
所以，解得，
所以冪函數(shù)的解析式為，函數(shù)為上的單調(diào)遞增函數(shù)，
又，所以，即.
故選：B.
4. 在一個展現(xiàn)人腦智力的綜藝節(jié)目中，一位參加節(jié)目的少年能將圓周率π準確地記憶到小數(shù)點后面200位，更神奇的是，當主持人說出小數(shù)點后面的位數(shù)時，這位少年都能準確地說出該數(shù)位上的數(shù)字．已知圓周率，如果記圓周率π小數(shù)點后第n位數(shù)字為，則下列說法不正確的是（ ）
A. 當時，B. ，是一個函數(shù)
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由題意，結(jié)合圓周率小數(shù)點后的數(shù)字，依次判斷選項即可.
【詳解】A：當時，，故A錯誤；
B：由題意可知圓周率小數(shù)點后第n位上的數(shù)字y是唯一確定的，
即任取一個正整數(shù)n都有唯一確定的y與之對應，因此y是n的函數(shù)，故B正確；
C：，所以，故C正確；
D：由題意知，函數(shù)的定義域為，值域為，故D正確.
故選：A
5. 關于x的不等式的解集是,則關于x的不等式的解集是
A. 或B.
C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)的解集判斷出的關系，由此求得不等式的解集.
【詳解】由于x的不等式的解集是，所以且.所以不等式等價于，故解集為.
故選：C
【點睛】本小題主要考查一元一次不等式解法，考查一元二次不等式的解法，屬于基礎題.
6. 已知函數(shù)是R上的增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由分段函數(shù)的單調(diào)性列出不等式，代入計算，即可得到結(jié)果.
【詳解】因為函數(shù)是R上的增函數(shù)，
則，解得.
故選：D
7. 若定義在R上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則滿足的的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由的奇偶性，確定和的解集，進而可求解.
【詳解】因為奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，
可得：在上單調(diào)遞減，且，同時，
所以當時，的解集為：，
當，的解集為：，
又時，滿足，
綜上可知：的解集為：，
故選：B
8. 《九章算術》中有“勾股容方”問題：“今有勾五步，股十二步．問：勾中容方幾何？”魏晉時期數(shù)學家劉徽在《九章算術注》中利用出入相補原理給出了這個問題的一般解法：如圖1，用對角線將長和寬分別為b和a的矩形分成兩個直角三角形，每個直角三角形再分成一個內(nèi)接正方形（黃）和兩個小直角三角形（朱、青）將三種顏色的圖形進行重組，得到如圖2所示的矩形，該矩形長為，寬為內(nèi)接正方形的邊長d．由劉徽構(gòu)造的圖形可以得到許多重要的結(jié)論，如圖3，設D為斜邊的中點，作直角三角形的內(nèi)接正方形對角線，過點A作于點F，則下列推理正確的是（ ）
A. 由圖1和圖2面積相等得B. 由可得
C. 由可得D. 由可得
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)圖1，圖2面積相等，可求得d的表達式，可判斷A選項正誤，由題意可求得圖3中的表達式，逐一分析B、C、D選項，即可得答案
【詳解】對于A，由圖1和圖2面積相等得，所以，故A錯誤；
對于B，因為，所以，所以，，
因為，所以，整理得，故B錯誤；
對于C，因為D為斜邊BC的中點，所以，
因為，所以，整理得，故C正確；
對于D，因為，所以，整理得，故D錯誤．
故選：C．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 下列命題恒成立的是（ ）
A. 若，則B. 若，，，則
C. 若，則D. 若，，且，則
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用不等式的基本性質(zhì)可判斷AB；舉例可判斷C；結(jié)合基本不等式可判斷D.
【詳解】對于A，由，則，所以，故A正確；
對于B，因為，，
所以，則，
所以，
又，則，故B正確；
對于C，當時，滿足，而，故C錯誤；
對于D，由于，，且，
所以，
當且僅當，即時等號成立，
所以，故D正確.
故選：ABD.
10. 下列說法正確的是（ ）
A. 若的定義域為，則的定義域為
B. 關于x的不等式恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是
C. 函數(shù)的值域為
D. 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍
【答案】AD
【解析】
【分析】由抽象函數(shù)定義域即可判斷A，由一元二次不等式恒成立即可判斷B，由換元法求函數(shù)值域即可判斷C，由二次函數(shù)的單調(diào)性即可判斷D
【詳解】對于A，因為的定義域為，則，解得，
所以的定義域為，故A正確；
對于B，當時，不等式，符合要求；
當時，關于x的不等式恒成立，
則滿足，解得，
綜上，實數(shù)k的取值范圍是，故B錯誤；
對于C，令，則，即，
所以，
因為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當時，，所以，則函數(shù)的值域為，故C錯誤；
對于D，由函數(shù)區(qū)間上單調(diào)遞減，
可得，解得，故D正確；
故選：AD
11. 高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的稱號，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設，用表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，如，．設函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A. 在R上是增函數(shù)B. 的最小值為0，無最大值
C. D. 當時，
【答案】BD
【解析】
【分析】，使得，即可運算判斷；由結(jié)合函數(shù)單調(diào)性即可判斷，根據(jù)高斯函數(shù)定義及周期函數(shù)計算可判斷；根據(jù)高斯函數(shù)定義計算可判斷.
【詳解】，使得，此時，
從而，即，故錯誤；
對于，有，故錯誤，
由，可知是以1為周期的周期函數(shù)，
故只需討論在上的值域即可，
當時，，
即函數(shù)的值域為，故正確；
當時，，故正確；
故選：.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知函數(shù)的圖象如圖所示，則______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象，先求得的值，進而求得的值，得到答案.
【詳解】由函數(shù)的圖象，可得，則.
故答案為：.
13. 已知集合，，若，則實數(shù)________．
【答案】或
【解析】
【分析】根據(jù)條件先判斷出，然后再對進行分類討論，結(jié)合集合中元素的互異性求解出結(jié)果.
【詳解】因為，所以，所以或，
當時，或，
若，，滿足要求；
若，，不滿足集合元素的互異性；
當時，或，
若，，不滿足集合元素的互異性；
若，，滿足要求；
綜上，的取值為或，
故答案為：或.
14. 如圖，居民小區(qū)要建一座八邊形的休閑場所，它的主體造型平面圖是由兩個周長均為28m的相同的矩形和構(gòu)成的十字形地域．計劃在正方形上建一座花壇，造價為元；在四個相同的矩形（圖中陰影部分）鋪上鵝卵石，造價元；在四個空角（圖中四個三角形）鋪上草坪，造價為元．若要使總造價不高于元，則正方形周長的最大值為________ m．

【答案】
【解析】
【分析】先分別求出正方形，長方形，四個空角的面積，再由題意計算出總成本小于28000列不等式解出即可；
【詳解】設正方形的邊長為，則正方形的面積為，
四個相同的矩形即陰影部分的面積為，
四個空角的面積為，
設總造價為元，則
，
即，即，解得，
故正方形周長的最大值為.
故答案為：
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知存在，使不等式成立的實數(shù)a的取值集合為A，非空集合．
（1）求集合A；
（2）設p：；q：，若p是q的必要不充分條件，求實數(shù)m的范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）將“存在，使得成立”變?yōu)椤按嬖冢沟?成立”，再利用基本不等式即可求解.
（2）由p是q的必要不充分條件知是的真子集，根據(jù)集合間的基本關系即可求得實數(shù)的取值范圍.
【小問1詳解】
當時， ，則，
∵，當且僅當，即時，等號成立.
∴
若存在，使不等式成立，則，即.
所以.
【小問2詳解】
∵p是q的必要不充分條件，∴是A的真子集.
∵，是A的真子集，∴，解得.
所以實數(shù)m的范圍是.
16. 已知全集，集合，集合．
（1）求，；
（2）若集合，且，求實數(shù)a的取值范圍．
【答案】（1）或，
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)并集，交集，補集的定義計算即可；
（2）由題意得集合間的包含關系，然后分和兩種情況分類討論即可.
【小問1詳解】
由解得或，所以或，
所以或；
，所以；
【小問2詳解】
由得，
當時，，解得，
當時，，解得，
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為.
17. 已知定義在R上的函數(shù)滿足：．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）解關于x的不等式；
（3）若不等式在上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
【答案】（1）
（2）答案見解析 （3）
【解析】
【分析】（1）利用方程組法求函數(shù)解析式即可；
（2）整理不等式為，再根據(jù)含參一元二次不等式的解法求解即可；
（3）轉(zhuǎn)化問題為在上恒成立，即，進而結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求解即可.
【小問1詳解】
由，
得，
兩式聯(lián)立解得，.
【小問2詳解】
由（1）知，，
則不等式，即為，
整理得，，即，
當時，不等式為，解得；
當時，不等式解得；
當時，不等式解得.
綜上所述，當時，不等式的解集，
當時，不等式的解集為，
當時，不等式的解集為.
【小問3詳解】
由（1）知，，
由不等式在上恒成立，
即在上恒成立，
即在上恒成立，即，
因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)上單調(diào)遞增，
所以時，，即，解得，
所以實數(shù)a的取值范圍為．
18. 某學習機公司生產(chǎn)學習機的年固定成本為20萬元，每生產(chǎn)1萬部還需另投入16萬元．設該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款學習機x萬部并全部銷售完，每萬部的銷售收入為萬元，且．當該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款學習機8萬部并全部銷售完時，年利潤為1196萬元；當該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款學習機20萬部并全部銷售完時，年利潤為2960萬元．
（1）求a，b；
（2）寫出年利潤W（萬元）關于年產(chǎn)量x（萬部）的函數(shù)解析式；
（3）當年產(chǎn)量為多少萬部時，公司在該款學習機的生產(chǎn)中所獲得的利潤最大？并求出最大利潤．
【答案】（1）
（2）
（3）當年產(chǎn)量為萬部時所獲得的利潤最大，最大利潤為萬元.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)已知條件列出關于的方程組求解出結(jié)果；
（2）根據(jù)利潤的計算公式分別考慮當，時的解析式，由此可求解出結(jié)果；
（3）利用二次函數(shù)性質(zhì)分析時的最大值，利用基本不等式分析時的最大值，由此可確定出結(jié)果.
小問1詳解】
由題意可知，解得；
【小問2詳解】
當時，，
當時，，
綜上所述，；
【小問3詳解】
當時，，
此時由二次函數(shù)單調(diào)性可知；
當時，，
當且僅當，即時取等號，
且，
綜上所述，當年產(chǎn)量為萬部時所獲得的利潤最大，最大利潤為萬元.
19. 我們知道，函數(shù)圖象關于坐標原點成中心對稱的圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為函數(shù)的圖象關于點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．給定函數(shù)．
（1）求函數(shù)圖象的對稱中心；
（2）用定義證明在區(qū)間上的單調(diào)性，并求在上的值域；
（3）已知函數(shù)的圖象關于點對稱，且當時，．若對任意，總存在，使得，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）；
（2）證明見解析；值域為；
（3）.
【解析】
【分析】（1）設函數(shù)圖象的對稱中心為，根據(jù)函數(shù)關于點對稱的性質(zhì)得到，代入求解即可得到的值，從而得到對稱中心；
（2）根據(jù)單調(diào)性定義證明，再根據(jù)所得單調(diào)性結(jié)合定義域求值域即可；
（3）由題意可知函數(shù)的值域是值域的子集，由（2）可知的值域，的值域可對二次函數(shù)分析得到，最終整合得到實數(shù)m的取值范圍.
【小問1詳解】
設函數(shù)圖象的對稱中心為，則，
即，
整理得，
于是，解得，
所以的對稱中心為.
【小問2詳解】
任取，且，則
，
所以且，
所以，即，
所以在上單調(diào)遞增.
所以在上單調(diào)遞增，故的值域為.
【小問3詳解】
由于對任意，總存在，使得，
于是問題轉(zhuǎn)化為在0,2上的值域是值域的子集，
在0,1單調(diào)遞增，圖象又關于點對稱且經(jīng)過點，
可知在上也單調(diào)遞增，故在0,2上單調(diào)遞增，又；g2=2，
所以在0,2的值域為0,2，在的值域為，
，，解得，則的取值范圍是.
【點睛】關鍵點點睛：本題第三問的關鍵是求出兩函數(shù)的值域，再利用兩函數(shù)值域的包含關系即可得到不等式組，解出即可.