一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)、是符合題目要求的.
1. 已知集合，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因?yàn)椋郑?br>所以.
故選：A.
2. 命題“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】命題“，”為全稱(chēng)量詞命題，其否定為：，.
故選：C.
3. 下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在0，+∞上單調(diào)遞增的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】對(duì)于定義域?yàn)椋魂P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，是非奇非偶函數(shù)，選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于是偶函數(shù)，但是0，+∞是減函數(shù)，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
對(duì)于是奇函數(shù)，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
對(duì)于的定義域?yàn)?，滿(mǎn)足，
是偶函數(shù)，且在0，+∞是遞增的，選項(xiàng)D正確.
故選：D.
4. 給定數(shù)集滿(mǎn)足方程，下列對(duì)應(yīng)關(guān)系為函數(shù)的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A選項(xiàng)，，當(dāng)時(shí)，，由于，故A選項(xiàng)不合要求；
B選項(xiàng)，，存在唯一確定的，使得，故B正確；
CD選項(xiàng)，對(duì)于，不妨設(shè)，此時(shí)，解得，
故不滿(mǎn)足唯一確定的與其對(duì)應(yīng)，不滿(mǎn)足要求，CD錯(cuò)誤.
故選：B.
5. “不等式在上恒成立”的一個(gè)必要不充分條件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因?yàn)椤安坏仁皆谏虾愠闪ⅰ保?br>所以當(dāng)時(shí)，原不等式為在上不是恒成立的，所以，
所以“不等式在上恒成立”，等價(jià)于，解得.
A選項(xiàng)是充要條件，不成立；
B選項(xiàng)中，不可推導(dǎo)出，B不成立；
C選項(xiàng)中，可推導(dǎo)，且不可推導(dǎo)，
故是的必要不充分條件，正確；
D選項(xiàng)中，可推導(dǎo)，且不可推導(dǎo)，
故是的充分不必要條件，D不正確.
故選：C.
6. 已知，且，則的最小值為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因?yàn)榍?，所以，所以?br>所以，
所以，所以，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.
故選：A.
7. 定義在0，+∞上的函數(shù)滿(mǎn)足：對(duì)，且，都有成立，且，則不等式的解集為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】令，
因?yàn)閷?duì)，且，都有成立，
不妨設(shè)，則，故，則，
即，
所以在0，+∞上單調(diào)遞增，
又因?yàn)?，所以，故可化為?br>所以由的單調(diào)性可得，即不等式的解集為.
故選：A.
8. 已知函數(shù)，若對(duì)均有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，則函數(shù)在上為增函數(shù)，
因?yàn)閷?duì)均有成立，
則，即對(duì)恒成立，
令，則，解得，
因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：B.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分
9. 若且，則下列不等式正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】對(duì)于AB，因?yàn)?，所以，，故AB正確；
對(duì)于C，，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，因?yàn)?，所以，又，所以，故D正確.
故選：ABD.
10. 我們知道，如果集合，那么的子集的補(bǔ)集為且，類(lèi)似地，對(duì)于集合我們把集合且，叫作集合和的差集，記作，例如：，則有，下列解答正確的是（ ）
A. 已知，則
B. 已知或，則或x≥4
C. 如果，那么
D. 已知全集、集合、集合關(guān)系如上圖中所示，則
【答案】BCD
【解析】根據(jù)差集定義即為且，
由，可得，所以A錯(cuò)誤；
由定義可得即為且，
由或，可知或x≥4，
即B正確；
若，那么對(duì)于任意，都滿(mǎn)足，所以且，
因此，所以C正確；
易知且在圖中表示的區(qū)域可表示為，也即，
可得，所以D正確.
故選：BCD.
11. 已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A.
B. 關(guān)于的方程有個(gè)不同的解
C. 在上單調(diào)遞減
D. 當(dāng)時(shí)，恒成立.
【答案】ACD
【解析】選項(xiàng)A：，判斷正確；
選項(xiàng)B：畫(huà)出部分圖像如下：
當(dāng)時(shí)，由，可得或，
由，可得或；由，可得，
即當(dāng)時(shí)，由可得3個(gè)不同的解，不是5個(gè)，判斷錯(cuò)誤；
選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，，
若即，則
則，為減函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，，
若即，則，
則，為減函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，，
若即，則，
則，為減函數(shù)；
綜上，在上單調(diào)遞減，判斷正確；
選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，可化為，
同一坐標(biāo)系內(nèi)做出與的圖像如下：
等價(jià)于，即，而恒成立，判斷正確.
故選：ACD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)___________．
【答案】
【解析】的定義域滿(mǎn)足且，解得且.
13 已知冪函數(shù)單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)_________.
【答案】
【解析】因?yàn)閮绾瘮?shù)單調(diào)遞減，所以，解得.
14. 已知，若對(duì)一切實(shí)數(shù)，均有，則___.
【答案】
【解析】由對(duì)一切實(shí)數(shù)，均有，可知，
即，解之得，
則，滿(mǎn)足，
故.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15. 集合，．
（1）求，；
（2）若集合，，求的取值范圍．
解：（1）因?yàn)椋?br>或，
或，
所以或，
或.
（2）當(dāng)時(shí)，顯然，此時(shí)，即；
當(dāng)時(shí)，由題意有或，解得，
綜上，.
16. 已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，．
（1）求出當(dāng)時(shí)，的解析式；
（2）如圖，請(qǐng)補(bǔ)出函數(shù)的完整圖象，根據(jù)圖象直接寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）結(jié)合函數(shù)圖象，求當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域．
解：（1）依題意，設(shè)，則，
于是，
因?yàn)闉镽上的奇函數(shù)，因此，
所以當(dāng)時(shí)，的解析式．
（2）由已知及（1）得函數(shù)的圖象如下：
觀察圖象，得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：．
（3）當(dāng)時(shí)，由（1），（2）知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，有最小值，
當(dāng)時(shí)，有最大值，
而當(dāng)時(shí)，有，
所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?
17. 已知函數(shù)為奇函數(shù)，其中為常數(shù)．
（1）求的解析式和定義域；
（2）若不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
解：（1）由分式的定義可知即，
又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，，
所以，解得，
所以，定義域?yàn)?
（2）因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，，且單調(diào)遞增，所以單調(diào)遞減，
若不等式成立，則，即，
解得.
18. 黨的二十大報(bào)告強(qiáng)調(diào)，要加快建設(shè)交通強(qiáng)國(guó)、數(shù)字中國(guó)．專(zhuān)家稱(chēng)數(shù)字交通讓出行更智能、安全、舒適．研究某市場(chǎng)交通中，道路密度是指該路段上一定時(shí)間內(nèi)通過(guò)的車(chē)輛數(shù)除以時(shí)間，車(chē)輛密度是該路段一定時(shí)間內(nèi)通過(guò)的車(chē)輛數(shù)除以該路段的長(zhǎng)度，現(xiàn)定義交通流量為，x為道路密度，q為車(chē)輛密度，已知當(dāng)?shù)缆访芏葧r(shí)，交通流量，其中．
（1）求a的值；
（2）若交通流量，求道路密度x的取值范圍；
（3）求車(chē)輛密度q的最大值．
解：（1）依題意，，即，故正數(shù)，所以，a的值為.
（2）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，F(xiàn)最大為，
故的解集為空集；
當(dāng)時(shí)，由，解得，即，
所以，交通流量，道路密度x的取值范圍為．
（3）依題意，，
所以，當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
由于，所以，當(dāng)時(shí)，q取得最大值．
因?yàn)?，所以?chē)輛密度q的最大值為．
19. 若存在常數(shù)k，b使得函數(shù)與在給定區(qū)間上任意實(shí)數(shù)都有，則稱(chēng)是與的隔離直線(xiàn)函數(shù)．已知函數(shù)．
（1）證明：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．
（2）當(dāng)時(shí)，與是否存在隔離直線(xiàn)函數(shù)？若存在，請(qǐng)求出隔離直線(xiàn)函數(shù)解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
解：（1）任取，不妨設(shè)，
則
，
由，則，，
故，即，
故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．
（2）當(dāng)時(shí)，y=fx與y=gx存在隔離直線(xiàn)函數(shù)；
令，即，
即，即，
即，解得或，
由于，故舍去；
當(dāng)時(shí)，，即有公共點(diǎn)，
設(shè)y=fx與y=gx存在隔離直線(xiàn)函數(shù)，
則點(diǎn)在隔離直線(xiàn)函數(shù)上，則，即，
則；
若當(dāng)時(shí)有，即，
則上恒成立，即，
由于，故此時(shí)只有時(shí)上式才成立，則，
下面證明，令，
即，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以，即為y=fx與y=gx的隔離直線(xiàn)函數(shù).

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