數(shù)學(xué)
注意事項：
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準考證號填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑．如需改動用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一?選擇題：本題共8小題，每題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知向量，若，則（ ）
A. B. 2C. 2或D. 2或
【答案】C
【解析】
【分析】由數(shù)量積的坐標運算公式可得結(jié)果.
【詳解】，解得：或.
故選：C.
2. 已知集合，若，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由集合的包含關(guān)系，對集合是否是空集分類討論即可求解.
【詳解】集合，若，
則若，則滿足題意；
若，且，則，
綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.
故選：
3. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用二倍角余弦公式和誘導(dǎo)公式直接求解即可.
【詳解】，，
.
故選：B.
4. 下列選項中，是的充要條件的是（ ）
A. 已知非零向量
B. 已知
C. 在中，
D. 直線
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)充要條件、向量數(shù)量積運算、一元二次不等式、正弦定理、直線平行等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.
【詳解】是的充要條件，則，
A選項，對于，，可能，
但的長度、方向不一定相等，不能得到，所以A選項錯誤.
B選項，對于，，
解得，而，所以B選項錯誤.
C選項，在三角形中，大角對大邊，所以，
由正弦定理得，所以，所以C選項正確.
D選項，對于，時，兩直線的方程都可以化為，
此時兩直線重合，所以D選項錯誤.
故選：C
5. 已知，則的解集為（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)定義判斷奇偶性，由解析式判斷對數(shù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，綜合運用奇函數(shù)、單調(diào)性解不等式即可.
【詳解】由，且定義域為R，
根據(jù)在上遞增，則在上遞增，
又在上遞增，則在上遞增，
結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)且函數(shù)在R上連續(xù)，則在R上遞增，
由，
所以，解集或.
故選：D
6. 過雙曲線的右焦點的直線與交于兩點，若線段的長度取最小值時，直線恰有兩條，則雙曲線的離心率為（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】若線段的長度取最小值時，直線恰有兩條，則可得直線軸，和直線與軸重合，而從確定，最后求出雙曲線的離心率.
【詳解】
由過雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的右焦點的直線與交于兩點，
若兩點均在雙曲線的右支時，則軸時，線段的長度取最小值，即為通徑，此時為，
若兩點在雙曲線的兩支時，則直線與軸重合時，線段的長度取最小值，即為實軸，此時為，
若線段的長度取最小值時，直線恰有兩條，則，即，
則雙曲線的離心率，
故選：A.
7. 已知數(shù)列中，，若，則（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用等比數(shù)列定義求出，利用構(gòu)造法求出，再列式求解即得.
【詳解】在數(shù)列中，由，得數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，，
則，即， 因此數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列.
則，即，由，得，
所以.
故選：B
8. 已知，若函數(shù)沒有零點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用導(dǎo)數(shù)明確在上的單調(diào)性后根據(jù)最值的符號可得，在這個條件下可證在上無零點，故可得正確的選項.
【詳解】由題設(shè)可得當時無零點，
此時，
當時，；當時，，
故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，
因為，故當時，，
故，
而為上的增函數(shù)，且，
故即.
當時，，
設(shè)，，
設(shè)，則，
當時，，當時，，
故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
故，
，，故，
故在上恒成立，故在上為減函數(shù)，
故即在上恒成立，
故在上無零點，
綜上，，
故選：D.
【點睛】思路點睛：函數(shù)的零點問題，往往需要根據(jù)導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合最值的符號來判斷，如果還涉及到分段函數(shù)，可以先求出一段上滿足零點個數(shù)時參數(shù)的取值范圍，再根據(jù)這個范圍討論余下一段即可.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知且，則（ ）
A B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用基本不等式可判斷ABC的正誤，利用導(dǎo)數(shù)可判斷D的正誤.
【詳解】對于A，因為，當且僅當時等號成立，故A正確；
對于B，，當且僅當時等號成立，故B錯誤；
對于C，，當且僅當時等號成立，故C正確；
對于D，，設(shè)，則，
當時，；當時，，
故在上為減函數(shù)，在12,1為增函數(shù)，
故，故D成立，
故選：ACD.
10. 在平面直角坐標系中，角的頂點為坐標原點，始邊為軸的非負半軸，終邊與以為圓心，1為半徑的圓交于點，射線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后交圓于點，若點的縱坐標為，設(shè)，則（ ）
A.
B.
C. 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為
D. 的對稱中心為
【答案】BC
【解析】
【分析】由已知條件直接驗算AB即可；對于CD，整體代入法求單調(diào)區(qū)間、對稱中心，對比即可求解.
【詳解】對于A，由題意，所以，故A錯誤；
對于B，由題意，故B正確；
對于C，
，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，故C正確；
對于D，，
所以的對稱中心為，故D錯誤.
故選：BC.
11. 在棱長為2的正方體中，為棱的中點，為線段上的動點，為底面（含邊界）上的動點，且平面平面，則（ ）
A. 直線與平面所成角的最大值為
B. 點的軌跡長度為
C. 三棱錐的體積為定值
D. 若，且平面，則的取值范圍為
【答案】ABD
【解析】
【分析】對于A，點到平面的距離最大時，計算可判斷；對于B，取的中點，可得，計算可判斷；對于C，取的中點，取的中點，可得與平面不平行，進而可判斷；對于D，以為坐標原點，所在直線為坐標軸建立如圖所示的空間直角坐標系，，計算可得，進而可判斷.
【詳解】對于A，由圖可知，點到平面的距離最大時，直線與平面所成的角最大，
又點為線段上的動點，所以點為時，到平面的距離最大，
又因為平面，所以為直線與平面所成的角，
又，所以直線與平面所成角的最大值為，故A正確；
對于B，取的中點，延長交的延長線于，
由，可得，所以，
所以為的中點，
由正方體，可得，又易得平面，
又平面，所以，
又，平面，所以平面，
又且，所以四邊形是平行四邊形，所以，
所以平面，又平面，所以平面，
因為平面平面，所以（不含端點），
易得，
所以點的軌跡長度為，故B正確；
對于C，取的中點，取的中點，易證，
因為，，所以四邊形是平行四邊形，
所以且，又且，
所以且，所以四邊形是平行四邊形，
所以，所以，
又平面，所以與平面不平行，
所以點到平面的距離不是定值，又三角形的面積為定值，
所以三棱錐的體積不為定值，故C錯誤；
對于D，以為坐標原點，所在直線為坐標軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，
由平面，所以為平面的一個法向量，
又，所以，所以點，
設(shè)，則，
因為平面，所以，所以，
所以，故的取值范圍為，故D正確.
故選：ABD.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決軌跡長度的關(guān)鍵是先由面面垂直可得點的軌跡，進而計算可得軌跡長度.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知復(fù)數(shù)滿足，則__________.
【答案】##
【解析】
【分析】先利用復(fù)數(shù)的四則運算求出復(fù)數(shù)，再求其模長即得.
【詳解】由，可得，
則.
故答案為：.
13. 設(shè)拋物線的焦點為，直線與的一個交點為，直線與的另一個交點為，則__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，聯(lián)立直線與拋物線的方程求出交點坐標，進而求出點的坐標，再借助拋物線定義求出長.
【詳解】拋物線的焦點為，由，解得或，
即點或，當點時，直線，即，
由，得，因此，
顯然點與關(guān)于軸對稱，則當點時，點與點關(guān)于軸對稱，，
所以.
故答案為：
14. 已知三棱錐，二面角的大小為，當三棱錐的體積取得最大值時，其外接球的表面積為__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用已知條件得到為等邊三角形、為等腰直角三角形，且面，進而求棱錐外接球半徑，即可得表面積.
【詳解】由，則底面外接圓半徑，
所以，外接圓是以為直徑的圓，
又，且二面角的平面角為，
結(jié)合對稱性，即在以為圓心，2為半徑的半圓上，
要使棱錐體積最大，需保證到面的距離最大，故，
此時，又，,都在面上，故面，
同時，還要保證面積最大，而，
所以，當且僅當時等號成立，此時最大面積，
綜上，棱錐體積最大時，為等邊三角形、為等腰直角三角形，且面，
如下圖，分別是中點，為的中心，為棱錐外接球球心，

又，，
所以，外接球半徑，故其表面積為.
故答案為：
【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)已知條件確定為等邊三角形、為等腰直角三角形，且面，再確定外接球球心，進而求半徑為關(guān)鍵.
四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15. 設(shè)為橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左?右焦點，點在橢圓上，點關(guān)于原點的對稱點為，四邊形的面積為.
（1）求橢圓的方程；
（2）過點作直線與交于兩點，的面積為，求的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）設(shè)橢圓的焦距為，由四邊形的面積為與，可求，進而將代入橢圓方程可求值，從而得到橢圓的方程；
（2）設(shè),與橢圓聯(lián)立方程組，可得，進而求的值，從而由的面積可得的值，即得到直線的方程.
【小問1詳解】
設(shè)橢圓的焦距為，因為，
所以四邊形為平行四邊形，其面積設(shè)為S，則
，所以，
所以，即
又點在橢圓，則，整理得，
解得，
所以橢圓的方程為.
【小問2詳解】
易知的斜率不為，設(shè)，
聯(lián)立，得，
又，
所以.
所以，
由，
解得，
所以的方程為或.

16. 已知函數(shù)，在中，角所對的邊分別為，且.
（1）求；
（2）若，求的值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題干條件將函數(shù)解析式通過二倍角公式和輔助角公式化簡，再代入求得的值；
（2）由（1）中求得的和條件利用余弦定理建立關(guān)系式即可求得的值.
【小問1詳解】
由題意得，因為，
所以由，得.
又因為，所以，
所以，.
【小問2詳解】
由（1）得，.所以由余弦定理可得，，
又因為，所以，
所以，即，
即，故.
把代入，可得，
所以.
17. 如圖，四棱錐中，為等邊三角形，四邊形為直角梯形，，.

（1）證明：平面平面；
（2）若與平面所成的角為，求平面與平面夾角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取的中點，連接，先利用線線垂直證明平面，得，再由題設(shè)證平面最后由線面垂直證得平面平面；
（2）過作，交于，證明平面,依題意建系，利用題設(shè)條件求出相關(guān)點坐標，計算兩平面的法向量，利用向量夾角的坐標公式計算即得.
【小問1詳解】

如圖，取的中點，連接.
因四邊形為直角梯形，且，則，
又為等邊三角形，，
因平面，
故平面，又平面,則，
又，因平面,
故平面又平面，
平面平面.
【小問2詳解】

由（1）知平面因平面,則平面平面，
過作，交于，因平面平面,故平面,
即為直線與平面所成的角，則，
由（1）知平面 因平面故，
而，則
于是，.
如圖，以為原點，所在直線為軸，過點在面中與平行的直線為軸，建立空間直角坐標系.
則
于是，，
設(shè)平面的法向量為,
由， 則可?。?br>又,
設(shè)平面的法向量為,
由，則可取.
設(shè)平面與平面的夾角為，
則，
即平面與平面的夾角的余弦值為.
18. 已知函數(shù).
（1）若在點處的切線方程為，求的值；
（2）若，判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（3）當時，證明：，其中.
【答案】（1）
（2）在上單調(diào)遞增，理由見解析
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求出切線方程，對照系數(shù)得到答案；
（2）二次求導(dǎo)，求出導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合，得到，恒成立，得到函數(shù)單調(diào)性；
（3）不等式變形為，構(gòu)造，二次求導(dǎo)，結(jié)合（2）中結(jié)論得到其單調(diào)性，又，從而證明出結(jié)論.
【小問1詳解】
因為，
所以，
故又，
所以在點處的切線方程為，
即，由已知得.
【小問2詳解】
因為，所以，
令，則
.
依題意，當時，，所以在上單調(diào)遞增；
當時，，所以在上單調(diào)遞減.
所以，
因為，則，則恒成立，
所以上單調(diào)遞增.
【小問3詳解】
欲證成立，即證成立.
設(shè)，其中.
則.
設(shè)，其中，
則，
由（2）知，在單調(diào)遞減；在單調(diào)遞增；
所以在單調(diào)遞減，且.
故當時，，即，則在單調(diào)遞增；
當時，，即，則在單調(diào)遞減..
故在處取極大值，也是最大值，且最大值為，
當且僅當時，
所以當時，恒成立，即恒成立，
即成立.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：第三問需構(gòu)造，并看出，二次求導(dǎo)后剛好利用（2）中結(jié)論進行求解
19. 已知有窮數(shù)列的各項均為正整數(shù)，記集合的元素個數(shù)為.
（1）若數(shù)列為，試寫出集合，并求的值；
（2）若是遞增數(shù)列且，求證：是等比數(shù)列；
（3）判斷是否存在最大值，若存在，試說明理由.
【答案】（1），
（2）證明見解析 （3）存在，理由見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意得到，求出；
（2）由數(shù)列的單調(diào)性和得到，故，同理可得，對照得到，證明出結(jié)論；
（3）共有個元素，故最多有個，不妨取，其中均為質(zhì)數(shù)，從而推出分母為時，互不相同，結(jié)合等差數(shù)列求和公式得到答案.
小問1詳解】
因為，
所以集合，所以.
【小問2詳解】
證明：因為an是遞增數(shù)列，且，
因為an是遞增數(shù)列，所以，
所以且互不相等，所以，
又因為，
所以且互不相等，所以
所以，
所以，
所以，所以an為等比數(shù)列.
【小問3詳解】
共有個元素，故最多有個，
存在最大值.理由如下：
不妨取，其中均為質(zhì)數(shù).
因為，
則且互不相同，有個元素；
同理，
且互不相同，共有個元素；
且互不相同，共有個元素；
互不相同，有1個元素.
根據(jù)質(zhì)數(shù)的性質(zhì)知，互不相同，
故.
故有最大值.
【點睛】方法點睛：
（1）可通過舉例子的方式，將抽象的定義轉(zhuǎn)化為具體的簡單的應(yīng)用，從而加深對信息的理解；
（2）可用自己的語言轉(zhuǎn)述新信息所表達的內(nèi)容，如果能清晰描述，那么說明對此信息理解的較為透徹；
（3）發(fā)現(xiàn)新信息與所學(xué)知識的聯(lián)系，并從描述中體會信息的本質(zhì)特征與規(guī)律；
（4）如果新信息是課本知識的推廣，則要關(guān)注此信息與課本中概念的不同之處，以及什么情況下可以使用書上的概念.

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