山東省日照市2024屆高三下學(xué)期校際聯(lián)考(二模)數(shù)學(xué)試卷(解析版)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、選擇題
1. 已知冪函數(shù)圖象過點，則函數(shù)的解析式為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】設(shè)冪函數(shù)的解析式為，由于函數(shù)過點，故，解得，該冪函數(shù)的解析式為；
故選：B.
2. 已知，則“”是“”的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】因為函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，
所以由推得出，故充分性成立；
由推得出，故必要性成立，
所以“”是“”的充要條件.
故選：C
3. 已知，若，則（）
A 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】由，且，
可得，解得.
故選：C.
4. 已知，則（）
A. B.
C.D.
【答案】B
【解析】因為，
所以,故選：B.
5. 已知數(shù)列各項均為正數(shù)，首項，且數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，則（）
A. B. C. 1D. 9
【答案】A
【解析】因為數(shù)列各項均為正數(shù)，首項，則，
又數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，
則，故，
故選：A.
6. 已知棱長為1的正方體，以正方體中心為球心的球與正方體的各條棱相切，若點在球的正方體外部（含正方體表面）運動，則的最大值為（）
A. 2B. C. D.
【答案】B
【解析】取中點，可知在球面上，可得，
所以，

點在球的正方體外部（含正方體表面）運動，當為直徑時，，
所以最大值為.
故選：B.
7. 已知是定義域為的偶函數(shù)，，，若是偶函數(shù)，則（）
A. B. C. 4D. 6
【答案】D
【解析】因為是偶函數(shù)，
所以的圖象關(guān)于直線對稱，
即，
即，
所以.
所以關(guān)于點中心對稱.
又是定義域為的偶函數(shù)，
所以，
所以，
即，
所以函數(shù)的周期為4.
所以，
所以.故選：D.
8. 如圖，已知四面體的棱平面，且，其余的棱長均為．四面體以所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)弧度，且四面體始終在水平放置的平面的上方．如果將四面體在平面內(nèi)正投影面積看成關(guān)于的函數(shù)，記為，則函數(shù)的最小正周期與取得最小值時平面與平面所成角分別為（）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】設(shè)過且平行于平面的平面為，
由題意知，四面體在平面的上方時和下方時完全對稱，故函數(shù)的周期為．取中點E，連接CE、D+E，如圖，

，，，
，，，
則，而，故，，
所以到的距離為，
又，，平面，所以平面，
則為直線與平面所成的角，又，
所以直線與平面所成的角為，
，E為AB中點，
，又在平面內(nèi)，則面CDE，
又面CDE，則DE，
，在平面內(nèi) ，則面ABC，
又面ABD，則面ABD面ABC，
設(shè)在平面的投影為，可得．
下面討論一個周期內(nèi)的情形：
當時，如圖，

，
，，則，故．
當時，如圖，

到的距離為，，
當時等號成立，
，
即．
綜上所述，，此時，又直線與平面所成的角為，
所以平面與平面所成的角為．故選：D．
二、選擇題
9. 同時投擲甲、乙兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，記“甲正面向上”為事件，“乙正面向上”為事件，“甲、乙至少一枚正面向上”為事件，則下列判斷正確的是（）
A.與相互獨立B.與互斥
C. D.
【答案】AC
【解析】對于A，依題意，，，
所以事件與事件相互獨立，故A正確；
對于B，由題意可知，事件與事件有可能同時發(fā)生，
例如“甲正面向上且乙正面向上”，故事件與事件不是互斥事件，故B錯誤；
對于C、D，，因為，所以，
所以，故C正確，D錯誤．故選：AC．
10. 已知函數(shù)的部分圖象如圖中實線所示，圖中圓與的圖象交于兩點，且在軸上，則下列命題正確的是（）
A. 函數(shù)的最小正周期是
B. 函數(shù)在上單調(diào)遞減
C. 函數(shù)的圖象向左平移個單位后關(guān)于直線對稱
D. 若圓的半徑為，則
【答案】ACD
【解析】A選項，由對稱性可知點的橫坐標為，
設(shè)的最小正周期為，則，
解得，A正確；
B選項，因為，所以，
點在圖象上，即點在圖象上，將其代入函數(shù)解析式得，又，故，解得，
故，
當時，，
又，在上不單調(diào)，
故函數(shù)在上不單調(diào)遞減，B錯誤；
C選項，函數(shù)的圖象向左平移個單位后得到，
其中，故關(guān)于直線對稱，C正確；
D選項，若圓的半徑為，即，
又，故，解得，
所以將代入中得，，解得，
則，D正確.
故選：ACD
11. 已知是曲線上不同的兩點，為坐標原點，則（）
A. 的最小值為3
B.
C. 若直線與曲線有公共點，則
D. 對任意位于軸左側(cè)且不在軸上的點，都存在點，使得曲線在兩點處的切線垂直
【答案】BCD
【解析】當時，原方程即，
化簡為，軌跡為橢圓，將代入，解得，則此時，即此部分為橢圓的一半，當時，原方程即，化簡得，
將代入，解得或，
則此時，即此部分為圓的一部分，作出曲線的圖形如下：

選項A：當時，，當時取最小值3，
當時，，當時取最小值1，
則的最小值為1，故A錯誤；
選項B：因為表示點與點和點的
距離之和，當時，點和點為橢圓的焦點，
由橢圓定義可知=4，
當時，點為圓的圓心，點在圓上，
所以=
當點P在或時最大，且為2，
所以，
即，故B正確；
選項C：直線過定點，當直線經(jīng)過或時，
直線斜率，
聯(lián)立，化簡得，
因直線與曲線有公共點，即，
解得或，
所以直線與曲線有公共點時，故C正確；
選項D：當點P在橢圓上時，對任意位于y軸左側(cè)且不在x軸上的點P，
則曲線C在點P處的切線斜率可以取任何非零正實數(shù)，
曲線C在y軸右側(cè)橢圓部分切線斜率也可以取到任何非零負實數(shù)，使得兩切線斜率為負倒數(shù)，
同理，當點P在圓上時，對任意位于y軸左側(cè)且不在x軸上的點P，
則曲線C在點P處的切線斜率可以取任何非零負實數(shù)，
曲線C在y軸右側(cè)圓部分切線斜率也可以取到任何非零正實數(shù)，使得兩切線斜率為負倒數(shù)，
所以對任意位于軸左側(cè)且不在軸上的點，都存在點，使得曲線在兩點處的切線垂直，故D正確；
故選：BCD.
三、填空題
12. 設(shè)為虛數(shù)單位．若集合，，且，則______．
【答案】
【解析】由集合，，因為，
當時，此時，方程組無解；
當時，此時，解得，
綜上可得，實數(shù)的值為.故答案為：.
13. 已知軸為函數(shù)的圖像的一條切線，則實數(shù)的值為___________.
【答案】
【解析】由，得，
設(shè)切點為，，
則，消去并整理，得，則．．
故答案為：．
14. “序列”在通信技術(shù)中有著重要應(yīng)用，該序列中的數(shù)取值于或1.設(shè)是一個有限“序列”，表示把中每個都變?yōu)?，每個0都變?yōu)?，每個1都變?yōu)?，1，得到新的有序?qū)崝?shù)組.例如：，則.定義，，若中1的個數(shù)記為，則的前10項和為______.
【答案】
【解析】因為，依題意得，，，
顯然，中有2項，其中1項為，1項為1，中有4項，其中1項為，1項為1，2項為0，中有8項，其中3項為，3項為1，2項為0，
由此可得中共有項，其中1和的項數(shù)相同，
設(shè)中有項為0，1和的項數(shù)相同都為，所以，，
從而①，
因為表示把中每個都變?yōu)?，每個0都變?yōu)?，每個1都變?yōu)?，1，
得到新的有序?qū)崝?shù)組，則②，
①②得③，所以④，
④③得，
所以當為奇數(shù)且時，，
經(jīng)檢驗，當時符合，所以(為奇數(shù))，
當偶數(shù)，則為奇數(shù)，又因為，
所以，
所以，
當為奇數(shù)時，，
所以的前10項和為.
故答案為：
四、解答題
15. 的內(nèi)角的對邊分別為．分別以為邊長的正三角形的面積依次為，且．
（1）求角；
（2）若，，求．
（1）解：由分別以為邊長的正三角形的面積依次為，
則，可得，
由余弦定理得，因為，所以.
（2）解：設(shè)（其中為銳角），
在和中，由正弦定理可得且，于是，
又因為，所以，
化簡得，
根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，可得，
因為，聯(lián)立方程組，解得，即.
16. 在三棱錐中，，平面，點在平面內(nèi)，且滿足平面平面，．

（1）求證：；
（2）當二面角的余弦值為時，求三棱錐的體積．
（1）解：作交于，
因為平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，
又因為平面，所以，
因為平面，且平面，所以，
又因為，，且平面，，
所以平面，
因為平面，所以.
（2）解：以為原點，以所在的直線分別為，建立空間直角坐標，
如圖所示，則，
設(shè)，因，所以，
因為，所以，即，
又由，
設(shè)平面的一個法向量為，則，
取，可得，
所以，
又因為為平面的一個法向量，
設(shè)二面角的平面角為，
則，
因為，
解得（舍去）或，
所以點或，
所以三棱錐的體積為.

17. 某公司為考核員工，采用某方案對員工進行業(yè)務(wù)技能測試，并統(tǒng)計分析測試成績以確定員工績效等級．
（1）已知該公司甲部門有3名負責(zé)人，乙部門有4名負責(zé)人，該公司從甲、乙兩部門中隨機選取3名負責(zé)人做測試分析，記負責(zé)人來自甲部門的人數(shù)為，求的最有可能的取值：
（2）該公司統(tǒng)計了七個部門測試的平均成績（滿分100分）與績效等級優(yōu)秀率，如下表所示：
根據(jù)數(shù)據(jù)繪制散點圖，初步判斷，選用作為回歸方程．令，經(jīng)計算得，
（?。┮阎巢块T測試的平均成績?yōu)?0分，估計其績效等級優(yōu)秀率；
（ⅱ）根據(jù)統(tǒng)計分析，大致認為各部門測試平均成績，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差．經(jīng)計算，求某個部門績效等級優(yōu)秀率不低于的概率．
參考公式與數(shù)據(jù)：①．
②線性回歸方程中，，．
③若隨機變量，則，，．
解：（1）依題意，隨機變量服從超幾何分布，且的可能取值為，，，，
則，，，．
由此可得最大，即的可能性最大，故最有可能的取值為；
（2）（?。┮李}意，兩邊取對數(shù)，得，
即，其中，
由提供的參考數(shù)據(jù)，可知，又，故，
所以，
由提供的參考數(shù)據(jù)，可得，
故，
當時，，即估計其績效等級優(yōu)秀率為；
（ⅱ）由（?。┘疤峁┑膮⒖紨?shù)據(jù)可知，，，
又，即，可得，即．
又，且，
由正態(tài)分布的性質(zhì)，得，
記“績效等級優(yōu)秀率不低于”為事件，則，
所以績效等級優(yōu)秀率不低于的概率等于．
18. 在平面直角坐標系中，已知橢圓的左焦點為，過點且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）已知直線與橢圓相切，與圓相交于兩點，設(shè)為圓上任意一點，求的面積最大時直線的斜率．
解：（1）由題橢圓的左焦點為，
即①；
當時，，
又過點且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為，所以②，
由①②得：，
所以橢圓的標準方程為：.
（2）當斜率存在時，設(shè)直線方程為,與聯(lián)立，消去并整理得：
已知直線與橢圓相切，所以，
化簡得：；
又O到直線的距離為，
設(shè)P到直線的距離為，則，
則的面積，
令,
得,
當時，，單調(diào)遞增，
當時，，單調(diào)遞減，
所以當時，取得極大值也是最大值,
當斜率不存在時，可得，
此時的面積，
因為，所以，
綜上：的面積最大值為，此時
故的面積最大時直線的斜率為.
19. 已知函數(shù)，．
（1）判斷函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)，并說明理由；
（2）函數(shù)在區(qū)間上的所有極值之和為，證明：對于．
（1）解：因為函數(shù)，所以，
當時，，所以，在上單調(diào)遞減，
且，所以在上無零點；
當時，，所以，在上單調(diào)遞增，
且，，所以在上有唯一零點；
當時，，，在上單調(diào)遞減，
且，，所以在上有唯一零點；
綜上，函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點．
（2）證明：因為，所以，
由（1）知，在無極值點，在有極小值點，記為，
在有極大值點，記為，
同理可得，在有極小值點，，
在有極值點，
由，得，
因為，，所以，
所以，因為，，所以，
所以，，
因為，所以，
由函數(shù)在上單調(diào)遞增，得．
所以，
因為在內(nèi)單調(diào)遞減，所以，
所以，
同理，，，，
因為在上單調(diào)遞減，所以，
所以，且，；
當為偶數(shù)時，，
當為奇數(shù)時，，
綜上知，對，．
32
41
54
68
74
80
92
0.28
0.34
0.44
0.58
0.66
0.74
0.94

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