1. 已知平面向量，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】.
故選：A.
2. 化簡：（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】.
故選：C.
3. 在△中，，，，那么等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由題意可知，，
根據(jù)正弦定理得.
故選：A.
4. 是虛數(shù)單位，若為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】依題意為純虛數(shù)，
所以，解得.
故選：C.
5. 復(fù)數(shù)（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】.
故選：A.
6. 若球的表面積擴(kuò)大到原來的倍，那么該球的體積擴(kuò)大到原來的（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】設(shè)擴(kuò)大前后球半徑分別，
由表面積之比為，得，
則體積之比為.
故選：D.
7. 為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（ ）
A. 向左平移個單位長度B. 向右平移個單位長度
C. 向左平移個單位長度D. 向右平移個單位長度
【答案】D
【解析】對于A，，
A錯誤；
對于B，，B錯誤；
對于C，，C錯誤；
對于D，，D正確.
故選：D.
8. 設(shè)m，n是兩條不同的直線，α是一個平面，則下列說法正確的是（ ）
A. 若m∥α，n∥α，則m∥nB. 若m∥α，n∥α，則m⊥n
C. 若m⊥α，n⊥α，則m∥nD. 若m⊥α，n⊥α，則m⊥n
【答案】C
【解析】由m，n是兩條不同的直線，α是一個平面，知：
在A中，若m∥α，n∥α，則m與n相交、平行或異面，故A錯誤；
在B中，若m∥α，n∥α，則m與n相交、平行或異面，故B錯誤；
在C中，若m⊥α，n⊥α，則由線面垂直的判定定理得m∥n，故C正確；
在D中，若m⊥α，n⊥α，則由線面垂直的判定定理得m∥n，故D錯誤．
故選：C．
9. 已知函數(shù)的圖象與軸的兩個相鄰交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，下面4個有關(guān)函數(shù)的結(jié)論：
①函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；②在區(qū)間上，的最大值為；③是的一條對稱軸；④將的圖象向左平移個單位，得到的圖象，若為兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)，則面積的最小值為．
其中正確的結(jié)論個數(shù)為（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】，，將代入，
得．又，．
，
不是奇函數(shù)，
的圖象不關(guān)于原點(diǎn)對稱，①錯；
當(dāng)時，，
由的單調(diào)性可知：，即的最大值為，②對；
由，得的對稱軸方程為，
不是的對稱軸，③錯；
，
由，得，，
相鄰兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差為，
將代入，得到交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
面積的最小值為，④對．
故選：B．
二、填空題：本大題共6個小題，每小題4分，共24分.
10. 若是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)=____________.
【答案】
【解析】.
故答案為：.
11. 函數(shù)的最小正周期為，則_______.
【答案】
【解析】的最小正周期，.
故答案為：.
12. 已知平面向量，，若共線，則___________.
【答案】
【解析】共線，，解得：.
故答案為：.
13. 用與球心距離為1的平面去截該球，所得截面面積為π，則該球的體積_____________.
【答案】
【解析】截面面積為π?截面圓半徑為1，又與球心距離為1?球的半徑是，
所以根據(jù)球的體積公式知V球＝
故答案為：.
14. 已知圓錐的側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線與底面半徑的比為_______.
【答案】
【解析】設(shè)圓錐的母線長為，底面圓的半徑為，
由題意可知，底面圓的周長為，故，，
則該圓錐的母線長與底面半徑的比為.
故答案為：2.
15. 在中，，，，點(diǎn)在線段上（點(diǎn)不與端點(diǎn)重合），延長到，使得，（為常數(shù)），
（ⅰ）若，則___________；
（ⅱ）線段的長度為____________.
【答案】
【解析】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建系如圖，則，
所以，
由得，
整理得，
由得解得或，
當(dāng)時，，此時重合，由可得，此時，
因?yàn)辄c(diǎn)不與端點(diǎn)重合，所以不滿足題意，舍去，
當(dāng)時，，
的直線方程為，
的直線方程為，
聯(lián)立解得，所以，
所以，
若，則解得，
此時.
故答案為： .
三、解答題：本大題共4個小題，共40分.解答寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
16. 在中，內(nèi)角所對的邊分別是，已知，，.
（1）求：的值；
（2）求：面積.
解：（1）已知，由正弦定理得，，
由于，所以，
因?yàn)椋?br>所以.
（2）由于，所以是銳角，
所以，
則.
17. 已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）在中，內(nèi)角所對的邊分別是，若，，，求的值.
解：（1），的最小正周期；
令，解得：，
的單調(diào)遞增區(qū)間為.
（2）由（1）得：，，
，，，解得：，
由余弦定理得：，.
18. 如圖，在底面是矩形的四棱錐中，平面，，，是的中點(diǎn).
（1）求證：平面；
（2）求平面與平面夾角的余弦值；
（3）求點(diǎn)到平面的距離.
解：（1）因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>由于四邊形是矩形，所以，
由此，以坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則；
所以，
因?yàn)?，所以?br>由于，所以，
由于，平面，
所以平面.
（2）設(shè)平面的法向量，
則，即，
不妨令，可得，
且為平面的一個法向量，
于是，
所以平面與平面夾角的余弦值為.
（3）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，
由（2）可知平面的法向量，，
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，
則，
所以點(diǎn)到平面的距離為.
19. 已知如圖，四邊形為矩形，為梯形，平面平面，，，．
（1）若為中點(diǎn)，求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值；
（3）在線段上是否存在一點(diǎn)（除去端點(diǎn)），使得平面與平面所成銳二面角的大小為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
解：（1）證明：如圖，連接，
四邊形為矩形，與交于點(diǎn)，
為的中點(diǎn)，
又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，，
而平面，平面，
平面.
（2）如下圖，分別以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，
根據(jù)題意，則有，0，，，1，，，2，，，0，，
所以，0，，，1，，，2，，
假設(shè)平面的一個法向量為，，，
則，取，得，1，，
設(shè)直線與平面所成角的平面角為，
則，直線與平面所成角的正弦值為．
（3）假設(shè)存在點(diǎn)，，，滿足題意，
設(shè)此時，則，
即，，，2，，解得，，，
則，，，，0，，
假設(shè)平面的一個法向量為，，，
則，取，得，1，，
又平面的一個法向量為，1，，
平面與平面所成銳二面角的大小為，
根據(jù)題意，則有，解得，
在線段上存在一點(diǎn)（除去端點(diǎn)），
使得平面與平面所成銳二面角的大小為，．

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