參考公式：
柱體的體積公式 ，其中表示柱體的底面積，表示柱體的高．
錐體的體積公式 ，其中表示錐體的底面積，表示錐體的高．
球的體積公式 ，其中表示球的半徑．
第Ⅰ卷
注意事項：
1．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.
2．本卷共9題，每小題4分，共36分.
一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 已知 ，為虛數(shù)單位，若為實數(shù)，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意得，又，求解即可.
【詳解】由于，
因為，則，解得.
故選：C.
2. 設(shè)向量，若，則（ ）
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用向量垂直的坐標(biāo)表示，列式計算即得.
【詳解】向量，由，得，
所以.
故選：C
3. 設(shè)，是兩條不同的直線，，，是三個不同的平面，則下列命題為真命題的是（ ）
A. 若，，，則
B. 若，，則
C 若，，則
D. 若，，則，
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)線面位置關(guān)系，結(jié)合線面平行、垂直的判定性質(zhì)逐項討論即可得答案.
【詳解】對于A，由，得，當(dāng)時，，A正確；
對于B，若，則或相交，B錯誤；
對于C，若，，則或異面，C錯誤；
對于D，若，可以在或內(nèi)，當(dāng)時，， D錯誤.
故選：A
4. 已知圓柱的底面半徑和高都是2，那么圓柱的側(cè)面積是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題可根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式得出結(jié)果.
【詳解】因為圓柱的底面半徑和高都是，所以圓柱的側(cè)面積.
故選：B.
5. 已知平面截球的球面所得圓的面積為，到的距離為，則球的表面積為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用球的截面小圓的性質(zhì)求出球半徑即可.
【詳解】依題意，球的截面小圓半徑為1，而球心到截面距離為1，則球半徑，
所以球的表面積為.
故選：C
6. 如圖：一個水平放置的三角形的斜二測直觀圖是等腰直角三角形，若 ，則原的面積是（ ）
A. B. 4C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先求出，再作出平面圖形，求出相關(guān)線段的長度，即可求出面積.
【詳解】因為直觀圖是等腰直角三角形且，所以，
由直觀圖可得如下平面圖形：
則，，所以.
故選：C
7. 已知向量，若，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)空間向量共線的坐標(biāo)表示，求出的值.
【詳解】向量，且，
所以，解得，
故選：B.
8. 在中， 是中點，，，， 則 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先轉(zhuǎn)化向量，再根據(jù)數(shù)量積公式，即可求解.
【詳解】由余弦定理可知，，
，
.
故選：B
9. 如圖，在棱長為1的正方體中，M，N分別為和的中點，那么直線AM與CN夾角的余弦值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的夾角公式求解.
【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：
則，
所以，
所以，
故選：D
第Ⅱ卷
二、填空題：本大題共6個小題，每小題4分，共24分．
10. 已知為虛數(shù)單位，則__________
【答案】
【解析】
【分析】用復(fù)數(shù)的除法及乘法法則即可求解.
【詳解】，.
故答案為：.
11. 化簡=_______
【答案】
【解析】
【分析】
【詳解】利用平面向量的線性運算法則，=+（+）==.
12. 一個正方體的表面積為6，若一個球內(nèi)切于該正方體，則此球的體積是__________
【答案】##
【解析】
【分析】求出正方體的棱長，進(jìn)而求出其內(nèi)切球的半徑即可得解.
【詳解】正方體的表面積為6，則該正方體的棱長為1，內(nèi)切球半徑為，
所以所求球的體積為.
故答案為：
13. 若圓錐的底面半徑為，側(cè)面積為，則該圓錐的體積為__________
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，求出圓錐的母線及高，再利用錐體的體積公式計算即得.
【詳解】設(shè)圓錐的母線長為，則，解得，因此圓錐的高，
所以圓錐的體積.
故答案為：
14. 已知三棱錐四個頂點在球面上，，是邊長為的正三角形，，分別是，的中點，，則此球的半徑是______.
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)題意結(jié)合余弦定理求得，進(jìn)而可得兩兩垂直，可以把三棱錐P-ABC轉(zhuǎn)化為邊長為1的正方體，利用正方體的性質(zhì)求外接球的半徑.
【詳解】設(shè)，則，
因為，則，
在中，因為，則，
由余弦定理可得，
即，解得（負(fù)值已舍去），
可知，即，同理可得，，所以兩兩垂直，
可以把三棱錐轉(zhuǎn)化為邊長為1的正方體，則三棱錐的外接球即為正方體的外接球，
正方體的體對角線即為外接球的直徑，即.
故答案為：.
15. 已知點O是內(nèi)一點，滿足，，則實數(shù)m為__________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)條件可以得出，并設(shè)，這樣即可得出三點共線，畫出圖形，并得到，從而解出的值．
【詳解】如圖，令，則：
三點共線；
與共線反向，；
；-
解得．

故答案為：.
三、解答題：本大題共4個小題，共40分．解答寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
16. 在中，內(nèi)角所對的邊分別是，已知.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
分析】（1）根據(jù)給定條件，利用余弦定理求解即得.
（2）利用同角公式、二倍角公式及差角的正弦公式計算即得.
【小問1詳解】
在中，由，令，
由余弦定理得.
【小問2詳解】
在中，由及，得，
則， ，
所以.
17. 在中，內(nèi)角所對的邊分別是，已知, ，.
（1）求：的值；
（2）求：的面積.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理化簡已知條件，求得，利用余弦定理求得.
（2）先求得，然后利用三角形面積公式求得三角形的面積.
【小問1詳解】
已知，由正弦定理得，
由于，所以，
因為，
所以；
【小問2詳解】
由于，所以是銳角，
所以，
則.
18. 如圖，在四棱柱中，已知側(cè)棱底面，側(cè)面是正方形，與交于點，，，，.

（1）求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1） 根據(jù)空間向量法結(jié)合線面平行判定定理證明；
（2）應(yīng)用空間向量法求出線面角正弦值.
【小問1詳解】

依題意，以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），
可得，，，，，.
因為，
若，，
設(shè)為平面的法向量，
則即，
不妨令x=1，可得為平面的一個法向量，
，則，又平面，
則平面；
【小問2詳解】
因為，，，
設(shè)為平面的法向量，
則即，
不妨令，可得為平面的一個法向量，
則，
則直線與平面所成角的正弦值為.
19. 如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面ABCD，，，，，，.
（1）證明：；
（2）求二面角的余弦值；
（3）設(shè)Q為線段PD上的點，且直線AQ和平面PAC所成角的正弦值為，求的值.
【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明．
（2）求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值．
（3）設(shè)為線段上的點，，，，，，求出，由平面的法向量，且直線和平面所成角的正弦值為，利用向量法能求出結(jié)果．
【詳解】解：（1）證明：∵四棱錐中，平面ABCD，
，，，，，.
∴以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
，
∴，∴
（2）解：，，，
設(shè)平面APC的法向量，
則，
取，得，
平面PCD的法向量，
設(shè)二面角的平面角為，
則.
∴二面角的余弦值為.
（3）解：設(shè)Q為線段PD上的點，，
，
則，
解得，，，
∴，，
∵平面PAC的法向量，
且直線AQ和平面PAC所成角的正弦值為，
∴，
解得或（舍），
∴.
【點睛】本題考查線線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查滿足線面角的正弦值的兩線段比值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，屬于中檔題．

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