一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.
1. 已知復(fù)數(shù)z滿（為虛數(shù)單位），則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因?yàn)椋?
故選：B.
2. 已知向量，，點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】設(shè)點(diǎn)，又因?yàn)?，，所以?br>即，所以，解得
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.
故選：C.
3. 據(jù)慈溪市氣象局統(tǒng)計(jì)，年我市每月平均最高氣溫（單位：攝氏度）分別為、、、、、、、、、、、，這組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】將這組數(shù)據(jù)由小到大排列依次為、、、、、、、、、、、，因?yàn)?，因此，這組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為.
故選：D.
4. 據(jù)長(zhǎng)期觀察，某學(xué)校周邊早上6時(shí)到晚上18時(shí)之間的車流量y（單位：量）與時(shí)間t（單位：）滿足如下函數(shù)關(guān)系式：（為常數(shù)，）.已知早上8：30（即）時(shí)的車流量為500量，則下午15：30（即）時(shí)的車流量約為（ ）（參考數(shù)據(jù)：，）
A. 441量B. 159量C. 473量D. 127量
【答案】A
【解析】由題意可得，可得，
解得，所以，
當(dāng)時(shí)，
（量）.
故選：A.
5. 如圖，設(shè)，是平面內(nèi)相交成角（）的兩條數(shù)軸，，分別是與x軸、y軸正方向同向的單位向量.若向量，則稱有序?qū)崝?shù)對(duì)為向量在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，已知在該坐標(biāo)系下，向量，，若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由題意可得向量，，，
因?yàn)?，所?br>，
所以.
故選：A.
6. 已知某圓錐的底面積為，且它的外接球的體積為，則該圓錐的側(cè)面積為（ ）
A. B. 或
C. 或D. 或
【答案】C
【解析】設(shè)該圓錐的底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l，高為h，圓錐的外接球的半徑為R，
，；，，
設(shè)圓錐底面圓心為，外接球球心為，如圖所示，
則有，即，得，解得或，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)圓錐的側(cè)面積為；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)圓錐側(cè)面積為.
故選：C.
7. 從2023年6月開(kāi)始，浙江省高考數(shù)學(xué)使用新高考全國(guó)數(shù)學(xué)I卷，與之前浙江高考數(shù)學(xué)卷相比最大的變化是出現(xiàn)了多選題.多選題規(guī)定：在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)且沒(méi)有選錯(cuò)的得2分.若某題多選題正確答案是BCD，某同學(xué)不會(huì)做該題的情況下打算隨機(jī)選1個(gè)到3個(gè)選項(xiàng)作為答案，每種答案都等可能（例如，選A，AB，ABC是等可能的），則該題得2分的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】隨機(jī)地填涂了1個(gè)或2個(gè)或3個(gè)選項(xiàng)，有A，B，C，D，AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD共有14種涂法，
得2分的涂法為BC，BD，CD，B，C，D，共6種，
故能得2分的概率為．
故選：B．
8. 在四面體中，已知二面角為直二面角，，，，設(shè).若滿足條件的四面體有兩個(gè)，則t的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】取中點(diǎn)為，連接，
因?yàn)?，，為中點(diǎn)，所以，
且，
因?yàn)槠矫妫侄娼侵倍娼?，所以平面?br>又平面，所以，
在中，，由余弦定理得：
，
又，
所以，即，
設(shè)，即，滿足條件的四面體有兩個(gè)，
所以有兩個(gè)正根，所以，所以.
故選：D.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.
9. 如圖，在等邊正三棱柱中（注：側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)相等的正三棱柱叫做等邊正三棱柱），，已知點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段和上，且滿足，若過(guò)，，三點(diǎn)的平面把等邊正三棱柱分成上下兩部分，則（ ）
A. 上半部分是四棱錐B. 下半部分是三棱柱
C. 上半部分的體積是D. 下半部分的體積是
【答案】AD
【解析】連接，如圖，
對(duì)于A，以為頂點(diǎn)，面為底面，則上半部分是四棱錐，故A正確；
對(duì)于B，因?yàn)橄掳氩糠值膬蓚€(gè)底面并不平行，
所以下半部分不可能是三棱柱，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，記的中點(diǎn)為，連接，
因?yàn)樵诘冗呎庵?，?br>所以是等邊三角形，所以，，，
易知面，面，所以，
又面，所以面，
而，則，易知，，
所以梯形的面積為，
故，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，易得，
所以，故D正確.
故選：AD.
10. 已知復(fù)數(shù)，設(shè)，當(dāng)取大于的一組實(shí)數(shù)、、、、時(shí)、所得的值依次為另一組實(shí)數(shù)、、、、，則（ ）
A. 兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相同B. 兩組數(shù)據(jù)的極差相同
C. 兩組數(shù)據(jù)的方差相同D. 兩組數(shù)據(jù)的均值相同
【答案】BC
【解析】因?yàn)?，則，
則，
所以，，不妨設(shè)，
則，
對(duì)于A選項(xiàng)，值的中位數(shù)為，值的中位數(shù)為，且，A錯(cuò)；
對(duì)于B選項(xiàng)，值的極差為，值的極差為，
且，故兩組數(shù)據(jù)的極差相同，B對(duì)；
對(duì)于C選項(xiàng)，記，
，
值的方差為，
值的方差為
，
故兩組數(shù)據(jù)的方差相同，C對(duì)；
對(duì)于D選項(xiàng)，由C選項(xiàng)可知，，D錯(cuò).
故選：BC.
11. 如圖，在正方體中，點(diǎn)Q在線段上運(yùn)動(dòng)（包括端點(diǎn)），則（ ）
A. 直線與直線互相垂直
B. 直線與直線是異面直線
C. 存在點(diǎn)Q使得直線與直線所成的角為45°
D. 當(dāng)Q是線段的中點(diǎn)時(shí)，二面角的平面角的余弦值為
【答案】ACD
【解析】由面，面，則，
又，，面，則面，
由面，則，同理可證，
由，面，故面，
又面，則，且它們可能相交，A對(duì)，B錯(cuò)；
由正方體性質(zhì)易知：為等邊三角形，而Q在線段上運(yùn)動(dòng)（包括端點(diǎn)），
所以直線與直線所成角的范圍為到之間（含端點(diǎn)值），又，
所以存在點(diǎn)Q使得直線與直線所成的角為45°，C對(duì)；
令正方體棱長(zhǎng)為2，若Q與中點(diǎn)重合，分別為，連接，
顯然，則，，故，
，
所以，，面，則面，
面，故，，故為二面角的平面角，
且，
面面，面面，，
面，
所以面，面，則，故，
銳二面角的余弦值為，D對(duì).
故選：ACD.
12. 如圖，在四邊形，點(diǎn)E、F、M、N分別是線段AD、BC、AB、CD中點(diǎn)，則（ ）
A.
B.
C. 當(dāng)點(diǎn)G滿足時(shí)，點(diǎn)G必在線段BD上
D. 當(dāng)點(diǎn)P在直線BD上運(yùn)動(dòng)，且當(dāng)最小時(shí)，必有
【答案】ABC
【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，，，所以，
同理，以上兩式相加得，所以A正確；
對(duì)于B選項(xiàng)，連接，
點(diǎn)E、M分別是線段AD、AB的中點(diǎn)，所以，
同理，所以，則四邊形是平行四邊形，
設(shè)與交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，
所以，，
所以，所以B正確；
對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)椋郑?br>所以，所以，
整理得，且，所以點(diǎn)在線段上，所以C正確；
對(duì)于D選項(xiàng)，的中點(diǎn)為，
因?yàn)椋?br>又不變，所以最小時(shí)取得最小值，當(dāng)時(shí)，最小，
此時(shí)，即，所以D不正確.
故選：ABC.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 據(jù)浙江省新高考規(guī)則，每名同學(xué)在高一學(xué)期結(jié)束后，需要從七門選考科目中選擇其中三門作為高考選考科目.某同學(xué)已經(jīng)選擇了物理、化學(xué)兩門學(xué)科，還需要從生物、技術(shù)這兩門理科學(xué)科和政治、歷史、地理這三門文科學(xué)科共五門學(xué)科中再選擇一門，設(shè)事件“選擇生物學(xué)科”，“選擇一門理科學(xué)科”，“選擇政治學(xué)科”，“選擇一門文科學(xué)科”，現(xiàn)給出以下四個(gè)結(jié)論：
①和是互斥事件但不是對(duì)立事件；
②和是互斥事件也是對(duì)立事件；
③；
④.
其中，正確結(jié)論的序號(hào)是______.（請(qǐng)把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都寫上）
【答案】②④
【解析】事件“選擇一門文科學(xué)科”，包含“選擇政治學(xué)科”，“選擇歷史學(xué)科”，“選擇地理學(xué)科”，
所以事件“選擇政治學(xué)科”，包含于事件，故事件可以同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故①不正確；
事件“選擇一門理科學(xué)科”，與事件 “選擇一門文科學(xué)科”，不能同時(shí)發(fā)生，且必有一個(gè)事件發(fā)生，故和是互斥事件也是對(duì)立事件，故②正確；
由題意可知，所以，故③不正確；
事件“選擇生物學(xué)科”，與事件“選擇一門文科學(xué)科”，不能同時(shí)發(fā)生，故和是互斥事件，所以，故④正確.
故答案為：②④.
14. 已知向量在向量上的投影向量為，則向量______.（寫出滿足條件的一個(gè)即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】向量在向量上的投影向量為
，
所以，則向量（答案不唯一）.
故答案為：（答案不唯一）.
15. 若虛數(shù)是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)根，則的值等于______.
【答案】
【解析】因?yàn)樘摂?shù)是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)根，
所以也是實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)虛數(shù)根，
由根與系數(shù)的關(guān)系得，即；
，所以.
故答案為：.
16. 在三棱錐中，已知，，若點(diǎn)是線段延長(zhǎng)線上的一動(dòng)點(diǎn)，則直線與平面所成的角的正弦值的最大值為_(kāi)_____.
【答案】
【解析】設(shè)是直線與平面所成的角，設(shè)是平面與平面所成夾角，
取中點(diǎn)，
因?yàn)椋裕?br>因?yàn)槠矫妫?br>所以平面，
因?yàn)椋?br>所以，所以，，
所以，
設(shè)，則，
所以，
因?yàn)椋?br>所以，
所以，
又因?yàn)槠矫?，所以由最大角定理可知，?br>于是，當(dāng)時(shí)取得“＝”，滿足條件.
故答案為:.
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或驗(yàn)算步驟.
17. 已知向量、滿足：，，.
（1）求；
（2）若向量與共線，求實(shí)數(shù)的值.
解：（1）設(shè)向量、的夾角為，
由可得，
因?yàn)?，，則，可得，
所以，，又因?yàn)椋瑒t，
故.
（2）由（1）可知，、不共線，
因?yàn)榕c共線，所以存在實(shí)數(shù)，使得，
即，所以，，解得.
18. 第十九屆亞運(yùn)會(huì)將于2023年9月23日至10月8在中國(guó)杭州舉辦，為了了解我市居民對(duì)杭州亞運(yùn)會(huì)相關(guān)信息和知識(shí)的掌握情況，某學(xué)校組織學(xué)生開(kāi)展社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，采用問(wèn)卷的形式隨機(jī)對(duì)我市100名居民進(jìn)行了調(diào)查.為了方便統(tǒng)計(jì)分析，調(diào)查問(wèn)卷滿分20分，得分情況制成如下頻率分布直方圖.
（1）求x的值；
（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這100名居民調(diào)查問(wèn)卷中得分的
（i）平均值（各組區(qū)間的數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中間值作代表）；
（ii）中位數(shù)（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）.
解：（1），
所以.
（2）（i）.
（ii）因?yàn)椋?br>，
所以中位數(shù)在8和12之間，
設(shè)中位數(shù)是，所以，可得.
19. 如圖，在塹堵中（注：塹堵是一長(zhǎng)方體沿不在同一面上的相對(duì)兩棱斜解所得的幾何體，即兩底面為直角三角形的直三棱柱，最早的文字記載見(jiàn)于《九章算術(shù)》商功章），已知平面，，，點(diǎn)、分別是線段、的中點(diǎn).
（1）證明：平面；
（2）求直線與平面所成角的余弦值.
解：（1）證明：連接，
因?yàn)榍?，故四邊形為平行四邊形?br>因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則為的中點(diǎn)，
又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，
因?yàn)槠矫?，平面，所以平?
（2）取中點(diǎn)，由題意可知，
所以，且，
因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>又，所以，
因?yàn)?，、平面，所以平面?br>連接，則是直線與平面所成的角，
由題意，同理可得，
則，
因?yàn)槠矫?，平面，則，則，
因?yàn)?，，即直線與平面所成角的余弦值為.
20. 為了紀(jì)念中國(guó)古代數(shù)學(xué)家祖沖之在圓周率上的貢獻(xiàn)，聯(lián)合國(guó)教科文組織第四十屆大會(huì)上把每年的3月14日定為“國(guó)際數(shù)學(xué)日”.2023年3月14日，某學(xué)校舉行數(shù)學(xué)文化節(jié)活動(dòng)，其中一項(xiàng)活動(dòng)是數(shù)獨(dú)比賽（注：數(shù)獨(dú)是源自18世紀(jì)瑞士的一種數(shù)學(xué)游戲，又稱九宮格）.甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)入了最后決賽，進(jìn)行數(shù)獨(dú)王的爭(zhēng)奪.決賽規(guī)則如下：進(jìn)行兩輪數(shù)獨(dú)比賽，每人每輪比賽在規(guī)定時(shí)間內(nèi)做對(duì)得1分，沒(méi)做對(duì)得0分，兩輪結(jié)束總得分高的為數(shù)獨(dú)王，得分相同則進(jìn)行加賽.根據(jù)以往成績(jī)分析，已知甲每輪做對(duì)的概率為0.8，乙每輪做對(duì)的概率為0.75，且每輪比賽中甲、乙是否做對(duì)互不影響，各輪比賽甲、乙是否做對(duì)也互不影響.
（1）求兩輪比賽結(jié)束乙得分為1分的概率；
（2）求不進(jìn)行加賽甲就獲得數(shù)獨(dú)王的概率.
解：（1）設(shè)“甲第i輪做對(duì)”，設(shè)“乙第i輪做對(duì)”，
設(shè)“兩輪比賽甲得i分”，設(shè)“兩輪比賽乙得i分”．
.
所以兩輪比賽結(jié)束乙得分為1分的概率為.
（2）設(shè)“不進(jìn)行加賽甲就獲得數(shù)獨(dú)王”.
，
，
，
，
所以不進(jìn)行加賽甲就獲得數(shù)獨(dú)王的概率為.
21. 在①，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并求解（1）、（2）的答案.
問(wèn)題：在中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，已知 .
（1）求角C；
（2）若點(diǎn)D滿足，且，求的面積的最大值.
（注：如果選擇兩個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.）
解：（1）若選①：由正弦定理得，
在中，，
所以，
即，
所以，又，有，
所以，由，得.
若選②：由正弦定理得
，
在中，，
所以
即，
所以，又，有，
所以，由，得.
（2）方法一：由，
可得，
兩邊平方可得，
即，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“＝”，
所以，所以.
方法二：由角C余弦定理可得③，
由結(jié)合余弦定理可得
，
整理得④，
由③可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“＝”，
所以，所以即.
22. 如圖，在矩形ABCD中，，，M是線段AD上的一動(dòng)點(diǎn)，將沿著B(niǎo)M折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)的位置，滿足點(diǎn)平面且點(diǎn)在平面內(nèi)的射影E落在線段BC上.
（1）當(dāng)點(diǎn)M與端點(diǎn)D重合時(shí)，證明：平面；
（2）求三棱錐的體積的最大值；
（3）設(shè)直線CD與平面所成的角為，二面角的平面角為，求的最大值.
解：（1）當(dāng)點(diǎn)M與端點(diǎn)D重合時(shí)，由可知，
由題意知上平面，平面，所以，
又，，平面，平面，
所以平面，又平面，可知，
，平面，平面，
所以平面.
（2）矩形中作，垂足為點(diǎn)O，折起后得，
由平面，平面，可得，
所以平面，，
所以平面，
平面，可得，
所以A，O，E三點(diǎn)共線，
因此與相似，滿足，
設(shè)，所以，，，
，，
要使點(diǎn)射影落在線段上，則，所以，
所以，
當(dāng)時(shí)，.
（3）過(guò)點(diǎn)做交于，
所以直線與平面所成的角即為直線與平面所成的角，
由（2）可知平面，平面，
所以平面平面，
作，垂足為，平面平面，平面，
可得平面，
連接，是直線與平面所成角，即，
由題意可得，，，
因?yàn)椋?，所以是二面角平面角?br>即，，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“＝”成立，
故的最大值為.

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