一、選擇題
1. 要使二次根式有意義，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由題意得：x＋1≥0，
解得：x≥?1，
故選：C．
2. 以下列各組數(shù)據(jù)中的三個數(shù)作為三角形的邊長，其中能構(gòu)成直角三角形的是（ ）
A. 2，3，5B. ，，
C. ，，D. 9、16、25
【答案】B
【解析】A． ，不能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；
B． 能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)符合題意；
C． ，不能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；
D． ，不能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：B．
3. 下列計算中，正確是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A.與不是同類二次根式，不能合并，原式計算錯誤，不符合題意；
B.與不能合并，原式計算錯誤，不符合題意；
C.，原式計算錯誤，不符合題意；
D.，原式計算正確，符合題意；
故選：D．
4. 下列根式中，化簡后能與進(jìn)行合并的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】A.能與進(jìn)行合并，符合題意；
B.不能與進(jìn)行合并，不符合題意；
C.不能與進(jìn)行合并，不符合題意；
D.不能與進(jìn)行合并，不符合題意；
故選：A．
5. 如圖，在中，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，，，則的長為（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】在中，，，，
由勾股定理得：，
點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，
．
故選：C．
6. 如圖，四邊形中，對角線，相交于點(diǎn)，下列條件不能判定這個四邊形是平行四邊形的是（ ）

A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】A.由，，可以判定四邊形平行四邊形，本選項(xiàng)不符合題意；
B.由，，可以判定四邊形是平行四邊形，本選項(xiàng)不符合題意；
C.由，，可以判定四邊形是平行四邊形，本選項(xiàng)不符合題意；
D.由，，不能判定四邊形是平行四邊形，本選項(xiàng)符合題意；
故選：D．
7. 如圖，在菱形中，，，則菱形的面積為（ ）
A. B. 8C. D.
【答案】C
【解析】如圖所示：和交于點(diǎn)O
四邊形是菱形，，
，，，
，
，
在中根據(jù)勾股定理得：
，
，
，
故選：C．
8. 如圖，在正方形中，E為上一點(diǎn)，連接，交對角線于點(diǎn)F，連接，若，則的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】四邊形是正方形，
，，，
在和中
，
，
，
，
，
，
，
故選：A．
9. 如圖，在平行四邊形中，于點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，已知，則的長為（ ）
A. 3B. 4C. D.
【答案】B
【解析】連接交于點(diǎn)，連接，，
∵平行四邊形，
∴，
∵是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，
∴是的中位線，是的中位線，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴；故選B．
10. 如圖，矩形中，，以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交，于點(diǎn)E，F(xiàn)，再分別以點(diǎn)E，F(xiàn)，為圓心，大于長為半徑畫弧交于點(diǎn)P，作射線，過點(diǎn)C作的垂線分別交于點(diǎn)M，N，則的長為（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】A
【解析】矩形中，，，
，，，
，
由作圖過程知平分，則，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
故選：A．
二、填空題
11. 計算的結(jié)果是______.
【答案】2
【解析】 ()2=2．
12. 如圖，平行四邊形的周長為，與相交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，則的周長為______．
【答案】6
【解析】四邊形平行四邊形，
，，
，
是線段的中垂線，
，
，
的周長，
又平行四邊形的周長為，
∴，
故答案為：6．
13. 點(diǎn)是矩形的對角線的延長線上一點(diǎn)，若，，則______．
【答案】
【解析】∵四邊形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故答案為：．
14. 《九章算術(shù)》是我國古代第一部數(shù)學(xué)專著，它的出現(xiàn)標(biāo)志著中國古代數(shù)學(xué)形成了完整的體系．“折竹抵地”問題源自《九章算術(shù)》中：今有竹高一丈，末折抵地，去根五尺，問折高者幾何？意思是一根竹子，原高一丈（一丈尺）一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部5尺遠(yuǎn)，則折斷處離地面的高度是______尺．
【答案】
【解析】設(shè)竹子折斷處離地面尺，則斜邊為尺，
根據(jù)勾股定理得：．
解得：，
折斷處離地面的高度為尺，
故答案為：
15. 如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點(diǎn)E是BC邊上的一點(diǎn)，連結(jié)AE，把△ABE沿AE折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B'處，當(dāng)△CEB'為直角三角形時，CE的長為_______．
【答案】或
【解析】當(dāng)△CEB′為直角三角形時，有兩種情況：
①當(dāng)點(diǎn)B′落在矩形內(nèi)部時，如圖所示，
連結(jié)AC，
在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝＝10，
∵∠B沿AE折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，
∴∠AB′E＝∠B＝90°，
當(dāng)△CEB′為直角三角形時，只能得到∠EB′C＝90°，
∴點(diǎn)A、B′、C共線，即∠B沿AE折疊，使點(diǎn)B落在對角線AC上的點(diǎn)B′處，如圖，
∴EB＝EB′，AB＝AB′＝6，
∴CB′＝10?6＝4，
設(shè)BE＝x，則EB′＝x，CE＝8?x，
在Rt△CEB′中，
∵EB′2＋CB′2＝CE2，
∴x2＋42＝（8?x）2，
解得x＝3，
∴BE＝3，
∴CE=8-3=5；
②當(dāng)點(diǎn)B′落在AD邊上時，如圖所示，
此時ABEB′為正方形，
∴BE＝AB＝6，
∴CE=8-6=2；
綜上所述，CE的長為2或5．
故答案為：2或5．
三、解答題
16. 計算：
（1）；
（2）．
（1）解：，
；
（2）解：
．
17. 已經(jīng)，求下列各式的值：
（1）；
（2）．
解：（1），
，
；
（2），
．
18. 先化簡，再求值：，其中，．
解：原式
，
當(dāng)，時，
原式．
19. 如圖，點(diǎn)在平行四邊形的對角線上，連接，過點(diǎn)作，交對角線于，求證：．

證明：∵，
，
，
，
在平行四邊形中，，
，
在和中，，
，
．
20. 如圖，矩形的對角線相交于點(diǎn)，，．

（1）求證：四邊形是菱形；
（2）若，，求四邊形的周長．
（1）證明：，，
四邊形是平行四邊形．
四邊形矩形，
，，．

四邊形是菱形．
（2）解：四邊形是矩形，
．
．
又
設(shè)，則．
．
解得（負(fù)值舍去）．
，
又四邊形是菱形
四邊形的周長等于4．
21. 如圖所示，矩形中，以對角線為底邊，作等腰直角（點(diǎn)在上方），，，連接，過點(diǎn)作，交于．
（1）求證：；
（2）若，，連接，請求出的長．
（1）證明：如圖，設(shè)與交于點(diǎn)，則，
四邊形是矩形，
，
，
，
，
，
，
在和中
，
；
（2）解：如圖所示，連接，
由（1）可知：
，
四邊形是矩形，
，，
是等腰直角三角形，
，
而由（1）可知，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
B、E、F三點(diǎn)共線 ，
．
22. 2024年2月7日，云夢縣楚王城公園（南片）開園迎客．開園當(dāng)天，建設(shè)東路年貨集市、非遺趕大集、文藝晚會和煙火晚會等豐富多彩的文娛活動精彩呈現(xiàn)，吸引了近萬名市民共同感受“云上王城，龍鳳呈祥”的美好圖景．如圖，公園在建設(shè)東路上有A、B兩個出口，相距250米，在公路北面不遠(yuǎn)處的C地是煙火晚會煙花燃放處，已知C與A的距離為150米，與B的距離為200米，在煙花燃放過程中，為了安全起見，燃放點(diǎn)C周圍半徑130米范圍內(nèi)不得進(jìn)入．
（1）煙花燃放點(diǎn)C距離公路的垂直距離為多少米？
（2）煙花燃放過程中，按照安全要求，A、B之間的公路是否需要暫時封鎖？若需要封鎖，請說明理由，并求出需要封鎖的公路長．
解：（1）由題意得米，米，米，
如圖，過C作，
，
，
是直角三角形，且，
，
，
解得：（米），
答：煙花燃放點(diǎn)C距離公路的垂直距離為120米；
（2）按照安全要求，之間的公路需要暫時封鎖，理由如下：
如圖，由（1）可知，，
公路上存在兩點(diǎn)E、F到的距離為130米，公路上之間到燃放點(diǎn)C的距離勻小于130米，
按照安全要求，A、B之間的公路段需要暫時封鎖，
以點(diǎn)C為圓心，以130米為半徑畫弧，交于點(diǎn)E、F連接、，
，，
，
在中，，
，
即需要封鎖的公路長為100米．
23. （1）【問題發(fā)現(xiàn)】學(xué)習(xí)矩形后，小明發(fā)現(xiàn)：矩形兩條對角線的平方和，等于它四邊的平方和，即：如圖1，在矩形中，有，請你證明小明的發(fā)現(xiàn)的正確性．
（2）【一般探究】如圖2，在中，小明的發(fā)現(xiàn)還成立嗎？請說明理由．
（3）【拓展應(yīng)用】如圖3，在中，為的中點(diǎn)，，，，求的長．
（1）證明：四邊形是矩形，
，，
，，
；
（2）解：在中，小明的發(fā)現(xiàn)還成立，即：，
理由如下：
如圖：分別過點(diǎn)作的垂線，垂足分別為，
四邊形是平行四邊形，
，，，
，
又，
，，
在直角三角形中，由勾股定理得：
，
同理，在直角三角形中，由勾股定理得：
，
；
（3）解：如圖，延長到，使，連接，
，，
四邊形是平行四邊形，
由（2）可知：，
，
．
24. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形是正方形，點(diǎn)的坐標(biāo)為，是邊上一點(diǎn)，連接，以為一邊在的右側(cè)作正方形，連接．

（1）求證：．
（2）若，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）如圖，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動時，請直接寫出的最小值．
（1）證明：∵四邊形和四邊形都是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如圖，過點(diǎn)作軸于，過點(diǎn)作軸于，則，

∵四邊形為正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（3）解：如圖，過點(diǎn)作軸于，延長至，使，則，

∵四邊形、四邊形都為正方形，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，∴，
∵，∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
當(dāng)點(diǎn)共線時，最小，最小值等于的長，
∵，，
∴，
∴的最小值為．

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