1. 為虛數(shù)單位，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】.
故選：A.
2. 已知向量，，且向量與平行，則的值為（ ）
A. B. -2C. D. 2
【答案】D
【解析】向量，，且向量與平行，
所以，即.
故選：D.
3. 甲、乙兩人進行射擊比賽，甲的中靶概率為，乙的中靶概率為，則兩人各射擊一次，恰有一人中靶的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】記甲中靶為事件A，乙中靶為事件B，
則，
甲乙兩人各射擊一次恰有一人中靶，分甲中乙不中和甲不中乙中兩種情況，
則甲乙兩人各射擊一次恰有一人中靶的概率為
.
故選：C.
4. 演講比賽共有位評委，分別給出某選手的原始評分，，，，，，，，，評定該選手的成績時，從個原始評分中去掉個最高分和個最低分，得到個有效評分．這個有效評分與個原始評分相比，不變的數(shù)字特征是（ ）
A. 極差B. 中位數(shù)C. 平均數(shù)D. 方差
【答案】B
【解析】從9個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到7個有效評分為：
9.2，9.5，9.6，9.1，9.3，9.0，9.3，
極差：，
將7個有效評分從小到大排列為：9.0，9.1，9.2，9.3，9.3，9.5，9.6，
所以中位數(shù)為：9.3；
平均數(shù)：，
，
9個原始評分的極差為：，
將9個有效評分從小到大排列為：8.8，9.0，9.1，9.2，9.3，9.3，9.5，9.6，9.7，
所以中位數(shù)為：9.3；
平均數(shù)為：，
，
所以不變的數(shù)字特征是中位數(shù).
故選：B.
5. 某中學組織三個年級的學生進行黨史知識競賽. 經(jīng)統(tǒng)計，得到前名學生分布的扇形圖（如圖）和前名中高一學生排名分布的頻率條形圖（如圖），則下列命題錯誤的是（ ）
A. 成績前名的學生中，高一人數(shù)比高二人數(shù)多人
B. 成績前名的學生中，高一人數(shù)不超過人
C. 成績前名的學生中，高三人數(shù)不超過人
D. 成績第名到第名的學生中，高二人數(shù)比高一人數(shù)多
【答案】D
【解析】由餅狀圖，成績前200名的200人中，
高一人數(shù)比高二人數(shù)多，A正確；
由條形圖知高一學生在前200名中，前100和后100人數(shù)相等，
因此高一人數(shù)為，B正確；
成績前50名的50人中，高一人數(shù)為，因此高三最多有32人，
C正確；
第51到100名的50人中，高一人數(shù)為，故高二最多有23人，
因此高二人數(shù)比高一少，D錯誤．
故選：D．
6. 如圖，、、三點在半徑為的圓上運動，且，是圓外一點，，則的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】連接，如下圖所示：
因為，則為圓的一條直徑，故為的中點，
所以，，
所以，
，
當且僅當、、共線且、同向時，等號成立，
因此，的最大值為.
故選：C.
7. 一個袋中有大小和質(zhì)地相同的個球，其中有個紅球和個白球，從中一次性隨機摸出個球，則下列說法正確的是（ ）
A. “恰好摸到個紅球”與“至少摸到個白球”是互斥事件
B. “恰好沒摸到紅球”與“至多摸到個白球”是對立事件
C. “至少摸到個紅球”的概率大于“至少摸到個白球”的概率
D. “恰好摸到個紅球”與“恰好摸到個白球”是相互獨立事件
【答案】B
【解析】對于A選項，“恰好摸到個紅球”為紅白，
“至少摸到個白球”包含：紅白、白，
所以，“恰好摸到個紅球”與“至少摸到個白球”不是互斥事件，A錯；
對于B選項，“恰好沒摸到紅球”為白，“至多摸到個白球”包含：紅、紅白，
所以，“恰好沒摸到紅球”與“至多摸到個白球”是對立事件，B對；
對于C選項，個紅球分別記為、，個白球分別記為、，
從個紅球和個白球中一次性隨機摸出個球，所有的基本事件有：、、、、
、，
其中，事件“至少摸到個紅球”包含的基本事件有：、、、、，
其概率為，
事件“至少摸到個白球”包含的基本事件有：、、、、，其概率為，
所以，“至少摸到個紅球”的概率等于“至少摸到個白球”的概率，C錯；
對于D選項，記事件恰好摸到個紅球，事件恰好摸到個白球，
則，，則，
所以，“恰好摸到個紅球”與“恰好摸到個白球”不是相互獨立事件，D錯.
故選：B.
8. 將函數(shù)的圖象向右平移個單位得到函數(shù)的圖象，點是與圖象的連續(xù)相鄰的三個交點，若是銳角三角形，則的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】依題意，，
函數(shù)周期，
在同一坐標系內(nèi)作出函數(shù)的圖象，如圖，
，，為連續(xù)三交點，(不妨設在軸下方)，為的中點，
由對稱性知，是以為底邊的等腰三角形，，
由，整理得，
又，解得，
于是點，的縱坐標有，即，
要使為銳角三角形，當且僅當，
即，解得，
所以的取值范圍是.
故選：C.
二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．每小題給出的四個選項中有多項符合題目要求，全部選對得5分，部分選對得2分，錯選得0分．
9. 已知復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點為，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】因為，故，故，，
而，故ACD正確；
取，故，則，故B錯誤.
故選：ACD.
10. 已知是異面直線，是不同的平面，，，直線 滿足，，則下列關(guān)系不可能成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】若，可得，又，可得，與是異面直線矛盾，
故A不能成立；
若，，，則可能異面或相交，故B可能成立；
當，，直線 滿足，，
當直線與兩個平面的交線平行且在平面外時，滿足，如圖，
故C可能成立；
當時，由知，這與矛盾，故D不可能成立.
故選：AD.
11. 已知是單位向量，則下列命題正確是（ ）
A. 若，則
B. 若不共線，則
C. 若，則夾角的最小值是
D. 若的夾角是，則在上的投影向量是
【答案】BC
【解析】A：因為向量是單位向量，
所以，锝，故A錯誤；
B：，所以，故B正確；
C：，
得，則，所以夾角的最小值是，故C正確；
D：在上的投影向量是，故D錯誤.
故選：BC.
12. 如圖，矩形所在平面與正方形所在平面互相垂直，，，點是線段上的動點，則下列命題中正確的是（ ）
A. 不存在點，使得直線平面
B. 直線與所成角余弦值的取值范圍是
C. 直線與平面所成角的取值范圍是
D. 三棱錐的外接球被平面所截得的截面面積是
【答案】BCD
【解析】取EF中點G，連DG，令，連FO，如圖，
在正方形ABCD中，O為BD中點，而BDEF是矩形，
則且，即四邊形DGFO是平行四邊形，
即有，而平面ACF，平面，
于是得平面ACF，當點P與G重合時，直線平面ACF，故A錯誤；
因平面平面ABCD，平面平面，，
平面，
所以平面，因為，所以平面，
因為平面，所，
因為，，所以，
又，所以直線與所成角為（或其補角），
因為
，
而，，所以，
當時，，
當時，
，
綜上，，故B正確；
設到平面的距離為，因為，，
所以，又，
由等體積法，，即，解得，
設直線與平面所成角為，
當與重合時，直線平面ACF，直線與平面所成角，
當點由向運動時，變大，當運動到時，因為，
所以，由知，，
當運動到時，，
綜上知，，故C正確；
在中，，顯然有，
，
由正弦定理得外接圓直徑，，
以為長寬高作長方體，如圖，
則三棱錐的外接球即為長方體的外接球，
三棱錐的外接球被平面ACF所截得的截面是的外接圓，
其面積為，故D正確.
故選：BCD.
三、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分．
13. 若圓錐的母線長為，軸截面是等腰直角三角形，則該圓錐的體積是______．
【答案】
【解析】因為圓錐的母線長為，軸截面是等腰直角三角形，
故圓錐的高為且底面半徑為，故體積為.
故答案為：.
14. 若，則________.
【答案】4
【解析】∵，∴．
故答案為：4．
15. 如圖，平面四邊形的斜二測直觀圖是等腰梯形，，那么原平面四邊形中的邊的長是______．
【答案】
【解析】在等腰梯形中，，，
則，
由斜二測畫法規(guī)則知，四邊形的頂點A與原點O重合，
點B，D分別在x軸、y軸上，，
且，如圖，
顯然四邊形為直角梯形，于是得.
故答案為：.
16. 如圖，測量河對岸的塔高，可以選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個基點和進行測量，現(xiàn)測得米，，在點和測得塔頂?shù)难鼋欠謩e為，則塔高______米．
【答案】
【解析】設米，
在中，，
中，，
在中，，
即，所以，
解得（米）.
故答案為：28.
17. 如圖，從正四面體的4個頂點處截去4個相同的正四面體，得到一個由正三角形與正六邊形構(gòu)成的多面體.若該多面體的表面積是，則該多面體外接球的表面積是______.
【答案】
【解析】由題意可得多面體的棱長為原正四面體棱長的，設原正四面體的棱長為，
則其表面積為，由圖易知該多面體與原正四面體相比較，
表面積少了8個邊長為的正三角形的面積，
所以該多面體的表面積為，所以，
如圖，是下底面正六邊形的中心，是上底面正三角形的中心，
由正四面體的對稱性可知截角四面體的外接球的球心在原正四面體的高上，
，，
設球的半徑為，在中，，所以，
在中，，
所以，
所以，解得，所以，
所以該多面體外接球的表面積.
故答案為：.
18. 趙爽是我國古代數(shù)學家，大約在公元年，他為《周髀算經(jīng)》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（由個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成）．類比“趙爽弦圖”，可構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由個全等的三角形與中間一個小等邊三角形拼成的一個較大的等邊三角形，設，若，則的值是_______．
【答案】
【解析】因為，不妨設，因此，，
由題意得，所以
，所以，
延長交于，記，
則，
所以，
又由題意易知，則，
在三角形中，由正弦定理得，
即，
因此，
，
所以，，
因為，即，
整理得，
所以，
又因為，則，
所以.
故答案為：.
四、解答題：本大題共5小題，每小題12分，共60分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
19. 杭州年第屆亞運會將于年月日至月日舉行．隨著亞運會的臨近，亞運會的熱度持續(xù)提升．為讓更多的人了解亞運會運動項目和亞運精神，某大學舉辦了亞運會知識競賽，并從中隨機抽取了名學生的成績，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）試根據(jù)頻率分布直方圖求出這名學生中成績低于分的人數(shù)；
（2）試估計這名學生成績的第百分位數(shù)；
（3）若采用分層抽樣的方法從成績在，，的學生中共抽取人參加志愿者活動．現(xiàn)從這人中隨機抽取人分享活動經(jīng)驗，求抽取的人成績都在的概率．
解：（1）由頻率分布直方圖中數(shù)據(jù)可知：.
（2）成績小于80的頻率為，
成績在的頻率為，因為，
所以這名學生成績的第百分位數(shù)在內(nèi)，
所以隨機抽取的100名學生成績的第75百分位數(shù)為.
（3）因為成績在，，的學生人數(shù)所占比例為3:2:1，
所以從成績在，，所抽取人數(shù)分別應抽取3人，2人，1人，
記抽取成績在的3人為，成績在 為，
，共15種，
抽取的2人成績都在的是，共3種，
抽取的人成績都在的概率為.
20. 已知函數(shù)的最大值為．
（1）求常數(shù)的值；
（2）求使成立的的取值集合．
解：（1）
，
由于函數(shù)的最大值是1，所以，
即.
（2）由，
所以，，
解得，
的取值集合為.
21. 在直三棱柱中，、分別是、的中點，，，．
（1）求證：平面；
（2）求點到平面的距離．
解：（1）連接，因為，，是的中點，
所以，，則，
所以，又，，平面，
所以平面，
又平面，所以，
又平面，平面，所以，
，平面，所以平面.
（2）由平面，平面，，
又，，平面，
所以平面，
因為，所以，則，，
所以，所以，
設點到平面的距離為，
，，
即，解得，
所以點到平面的距離為.
22. 在中，三個內(nèi)角所對的邊分別是，，，且．
（1）求；
（2）當取最大值時，求的周長．
解：（1）因為，所以，
由正弦定理可得，整理得到：，
所以，而，故.
（2）因為，故，
故，所以，
故，
整理得到，
故，當且僅當時等號成立，
故此時，對應的的周長為.
23. 如圖，四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，在銳角中，，點在上，.
（1）求證：平面；
（2）若與平面所成的角為，求二面角的正切值.
解：（1）證明：連接交于點，連接，
，，，
又平面，平面，
平面.
（2）在平面內(nèi)作，為垂足，連接，
平面，
平面，
又平面，，
又因為平面，
所以平面，
所以就是與平面所成的角，即，
因為，所以，，
平面，平面，平面平面，
在平面內(nèi)過作于，交于點，
在平面內(nèi)過作于，連接，
因為平面平面，，平面平面，
平面，
所以平面，又因為平面，所以，
又因為平面，
所以平面，又因為平面，所以，
所以即為二面角的平面角，
求得，，
因為，
所以∽，所以，
所以，
，
在平面內(nèi)過作于，則，
，
則，，，
，
所以二面角正切值是.

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