選擇題部分
一．選擇題
1. 下列圖形中，是中心對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】A．是中心對稱圖形，故此選項符合題意；
B．不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；
C．不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；
D．不是中心對稱圖形，故此選項不合題意．
故選：A．
2. 已知．下列不等式變形正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】∵，
∴，
∴變形錯誤，故選項A不符合題意；
∵，
∴，
∴變形正確，故選項B符合題意；
∵，
∴，
∴變形錯誤，故選項C不符合題意；
∵，
∴，
∴，
∴變形錯誤，選項D不符合題意．
故選：B．
3. 下列等式從左到右的變形，屬于因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A．從等式的左邊到右邊的變形屬于整式乘法不屬于因式分解，故本選項不符合題意；
B．從等式的左邊到右邊的變形是錯誤，是因式分解錯誤，故本選項不符合題意；
C．從左邊到右邊的變形屬于因式分解，故本選項符合題意；
D．從等式的左邊到右邊的變形不屬于因式分解，故本選項不符合題意；
故選：C．
4. 不等式的解集在數(shù)軸上表示正確的為（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】，
不等式兩邊同除以2得：，
將解集表示在數(shù)軸上，如圖所示：

故選：D．
5. 如圖，在中，，是的平分線，若，則點D到的距離是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】A
【解析】作，如圖所示：
∵，是的平分線，
∴
∵，
∴
∴點D到的距離是：
故選：A
6. 如圖，點A，B的坐標(biāo)分別為(﹣2，1)，(0，﹣2)．若將線段AB平移至A1B1，且點A1，B1的坐標(biāo)分別為(1，4)，(a，1)，則a的值為（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】由點A，B的坐標(biāo)分別為（-2，1），（0，-2）．若將線段AB平移至A1B1，且點A1，B1的坐標(biāo)分別為（1，4），（a，1）知，線段AB向上平移了4-1=3個單位，線段AB向右平移了1-（-2）=3個單位，
則a=3，
故選：D．
7. 如圖，是中邊上的垂直平分線，如果，則的周長為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵是中邊上的垂直平分線，
∴，
∵，
∴的周長為，
故選：B.
8. 如圖，將繞頂點C逆時針旋轉(zhuǎn)角度α得到，且點B剛好落在上．若，，則α等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵繞頂點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到，且點B剛好落在上，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故選：D．
9. 如圖，在等腰中，，．在、上分別截取、，使，再分別以點，為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點，作射線，交于點．若點、分別是線段和線段上的動點，則的最小值為（ ）

A. 9.6B. 10C. 12D. 12.8
【答案】A
【解析】過點作于點，交于點，

由作圖過程可知，為的平分線，
，
垂直平分，
，，．
當(dāng)點與點重合，點于點重合時，，為最小值．
在中，由勾股定理得，，
，
，，
的最小值為9.6．
故選：A．
10. 對于任意實數(shù)p、q，定義一種運算：,如：，請根據(jù)以上定義解決問題：若關(guān)于x的不等式組 有2個整數(shù)解，則m的取值范圍為是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】∵，
∴，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式組的解集是，
∵不等式組有2個整數(shù)解，
∴，
解得：，
故選：A．
非選擇題部分
二．填空題
11. 因式分解：_____
【答案】
【解析】a2-9=（a+3）（a-3），
故答案為：（a+3）（a-3）．
12. 在平面直角坐標(biāo)系中，把點向左平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度，平移后點的坐標(biāo)為______．
【答案】
【解析】點向左平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度，可得點的坐標(biāo)，即，
故答案為：．
13. 如圖，正比例函數(shù)（k是常數(shù)，）的圖象與一次函數(shù)的圖象相交于點P，點P的縱坐標(biāo)為4，則不等式的解集是_____．

【答案】
【解析】∵正比例函數(shù)（k是常數(shù)，）的圖象與一次函數(shù)的圖象相交于點P，點P的縱坐標(biāo)為4，
∴，
∴，
∴，
由圖象可知：不等式的解集是；
故答案為：．
14. 如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AB＝10，將△ABC沿CB方向向右平移得到△DEF．若四邊形ABED的面積為20，則平移距離為___________．

【答案】4
【解析】在Rt△ABC中，∵∠ABC=30°，
∴AC=AB=5，
∵△ABC沿CB向右平移得到△DEF，
∴AD=BE，ADBE，
∴四邊形ABED為平行四邊形，
∵四邊形ABED的面積等于20，
∴AC?BE=20，即5BE=20，
∴BE=4，即平移距離等于4．
故答案為：4．
15. 如圖，將的按下面的方式放置在一把刻度尺上：頂點與尺下沿的端點重合，與尺下沿重合，與尺上沿的交點在尺上的讀數(shù)恰為cm．若按相同的方式將的放置在該刻度尺上，則與尺上沿交點在尺上準(zhǔn)確讀數(shù)為________cm
【答案】
【解析】如圖，作于，于，
，
是等腰直角三角形，
cm，
cm，
，
cm，
在中，cm．
故答案為：．
16. 如圖，在中，是邊上的高，，，，連接，交的延長線于點，連接，，則下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的有_________（寫出所有正確結(jié)論的序號）
【答案】①②③④
【解析】，
，即，
又，，
，，故①正確；
，
，
，
設(shè)與相交于點，
，；故②正確；
過點作于點，過點作交的延長線于點，
，
，，
，
又，
，
，，
故③正確，
同理，
，
，
，，
，
，
，
，故④正確．
故選：①②③④．
三．解答題
17. 解不等式組，并寫出它的所有正整數(shù)解．
解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式組的解集為，
∴不等式組的所有正整數(shù)解有1，2，3．
18. 把下列各式因式分解：
（1）；
（2）．
解：（1）
；
（2）
．
19. 如圖，是的角平分線，，求證：是等腰三角形．
證明：∵是的角平分線，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
20. 如圖，上午8時，一條船從A處測得燈塔C在北偏西，該船以30海里時的速度向正北航行，9時30分到達B處，測得燈塔C在北偏西，若船繼續(xù)向正北方向航行，求輪船何時到達燈塔C的正東方向D處．
解：為的外角，，，
，
，
，
，
在中，，
，
從到用的時間為小時分鐘，
則當(dāng)船繼續(xù)航行，10時15分到達燈塔在正東方向．
21. 如圖，已知為等邊三角形，點D、E分別在、邊上，且，與相交于點F．
（1）求證：；
（2）求的度數(shù)．
（1）證明：∵為等邊三角形，，
在和中，
，．
（2）解：由（1）已證：，，
．
22. 正方形網(wǎng)格中（網(wǎng)格中的每個小正方形邊長是1），的頂點均在格點上，請在所給的直角坐標(biāo)系中解答下列問題：
（1）的形狀為 三角形；
（2）把向右平移5個單位，再向上平移3個單位，畫出平移后的；
（3）畫出繞點A順時針旋轉(zhuǎn)的，并寫出點的坐標(biāo)．
解：（1）由勾股定理得，，，
∴，，
∴為等腰直角三角形．
故答案為：等腰直角．
（2）如圖，即為所求．
（3）如圖，即所求．
由圖可得，點的坐標(biāo)為．
23. “體育承載著國家強盛、民族振興的夢想，體育強則中國強，國運興則體育興．”為引導(dǎo)學(xué)生在體育鍛煉中享受樂趣、增強體質(zhì)，學(xué)校開展大課間活動，七年級五班擬組織學(xué)生參加跳繩活動，需購買，兩種跳繩若干，已知購買根種跳繩和根種跳繩共需元；購買根種跳繩和根種跳繩共需元．
（1）求，兩種跳繩的單價；
（2）如果班級計劃購買，兩型跳繩共根，型跳繩個數(shù)不少于型跳繩個數(shù)的倍，那么購買跳繩所需最少費用是多少元？
（1）解：設(shè)種跳繩單價為元，種跳繩的單價為元．
由題意可得，
解得：，
答：種跳繩的單價為元，種跳繩的單價為元
（2）解：設(shè)購買型跳繩根．
班級計劃購買，兩型跳繩共48根
購買型跳繩根．
根據(jù)題意得：
解得：．
設(shè)購買跳繩所需費用為元，
則
即
，
隨的增大而減?。?br>當(dāng)時，取得最小值，最小值為（元）．
答：購買跳繩所需最少費用是元．
24. 先閱讀以下材料，然后解答問題：


以上分解因式的方法稱為分組分解法．
（1）請用分組分解法分解因式：
①
②
（2）拓展延伸
①若，求x，y的值；
②求當(dāng)x、y分別為多少時，代數(shù)式有最小值，最小的值是多少？
（1）解：

；
②解：
；
（2）解：①∵，
∴，
∴，
∴，，∴，
②
∵，，
∴，時，代數(shù)式有最小的值，最小的值是．此時，∴，，
即當(dāng)，時，代數(shù)式有最小的值，最小的值是．
25. 如圖，和都是等腰直角三角形，．
（1）【猜想】如圖1，點在上，點在上，線段與的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______；
（2）【探究】：把繞點旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置，連接，，（1）中的結(jié)論還成立嗎？說明理由；
（3）【拓展】：把繞點在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，，當(dāng)A，，三點在同一直線上時，直接寫出的長．
（1）解：∵和都是等腰直角三角形，，
∴，，
，
，
∵，
，
故答案為：；
（2）解：（1）中結(jié)論仍然成立，
理由：
由旋轉(zhuǎn)知，，
，，
，
，
，，
，
，
，；
（3）解：①當(dāng)點E在線段上時，如圖3，過點C作于M，
∵是等腰直角三角形，且，
∴，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
在中，
；
②當(dāng)點D在線段上時，如圖4，過點C作于N，
∵是等腰直角三角形，且，
∴，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
在中，
；
綜上，的長為或．
26. 如圖，直線與x軸、y軸分別交于B、C兩點．
（1）求B、C兩點的坐標(biāo)．
（2）若點是第一象限內(nèi)的直線上的一個動點，則當(dāng)點A運動到什么位置（求出點A 的坐標(biāo)）時，的面積是3．
（3）在（2）成立的情況下，x軸上是否存在點P，使是等腰三角形？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（1）解：直線與x軸、y軸分別交于B、C兩點，
令，得到，即；
令，得到，即；
（2）解：點是第一象限內(nèi)的直線上，且，
由（1）知，
，
，
當(dāng)時，，
；
（3）解：在（2）成立的情況下，x軸上存在點P，使是等腰三角形，
設(shè)，
，
，，，
分三種情況考慮：
當(dāng)時，即，
解得：或，
點P的坐標(biāo)為或；
當(dāng)時，即，
整理得：，
解得：，
點P的坐標(biāo)為；
當(dāng)時，即，
即，
，
解得：（舍去，不符合題意）或，
點P的坐標(biāo)為；
綜上，P的坐標(biāo)為或或或．

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