一、選擇題
利用二分法求方程lg3x＝3﹣x的近似解，可以取的一個(gè)區(qū)間是( )
A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4)
【答案解析】答案為：C
解析：設(shè)f(x)＝lg3x﹣3＋x，當(dāng)x→0時(shí)，f(x)→﹣∞，f(1)＝﹣2，又∵f(2)＝lg32﹣1＜0，f(3)＝lg33﹣3＋3＝1＞0，故f(2)·f(3)＜0，故方程lg3x＝3﹣x在區(qū)間(2，3)上有解，即利用二分法求方程lg3x＝3﹣x的近似解，可以取的一個(gè)區(qū)間是(2，3).
函數(shù)f(x)＝x3﹣(eq \f(1,2))x﹣2的零點(diǎn)所在的區(qū)間為( )
A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4)
【答案解析】答案為：B
解析：由題意知，f(x)＝x3﹣(eq \f(1,2))x﹣2，f(0)＝﹣4，f(1)＝﹣1，f(2)＝7，因?yàn)閒(x)在R上連續(xù)且在R上單調(diào)遞增，所以f(1)·f(2)＜0，f(x)在(1，2)內(nèi)有唯一零點(diǎn).
若函數(shù)f(x)＝x2﹣ax＋1在區(qū)間(eq \f(1,2)，3)上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.(2，＋∞) B.[2，＋∞) C.[2，eq \f(5,2)) D.[2，eq \f(10,3))
【答案解析】答案為：D
解析：由題意知方程ax＝x2＋1在(eq \f(1,2)，3)上有實(shí)數(shù)解，即a＝x＋eq \f(1,x)在(eq \f(1,2)，3)上有解，設(shè)t＝x＋eq \f(1,x)，x∈(eq \f(1,2)，3)，則t的取值范圍是[2，eq \f(10,3)).所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[2，eq \f(10,3)).
函數(shù)f(x)＝2x|lg2x|﹣1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( )
A.0 B.1 C.2 D.4
【答案解析】答案為：C
解析：令f(x)＝0，得|lg2x|＝(eq \f(1,2))x，分別作出y＝|lg2x|與y＝(eq \f(1,2))x的圖象(圖略)，由圖可知，y＝|lg2x|與y＝(eq \f(1,2))x的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即原函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn).
設(shè)函數(shù)f(x)＝eq \f(1,3)x﹣ln x，則函數(shù)y＝f(x)( )
A.在區(qū)間(eq \f(1,e)，1)，(1，e)內(nèi)均有零點(diǎn)
B.在區(qū)間(eq \f(1,e)，1)，(1，e)內(nèi)均無(wú)零點(diǎn)
C.在區(qū)間(eq \f(1,e)，1)內(nèi)有零點(diǎn)，在區(qū)間(1，e)內(nèi)無(wú)零點(diǎn)
D.在區(qū)間(eq \f(1,e)，1)內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，在區(qū)間(1，e)內(nèi)有零點(diǎn)
【答案解析】答案為：D
解析：f(x)的定義域?yàn)閧x|x＞0}，f′(x)＝eq \f(1,3)﹣eq \f(1,x)＝eq \f(x－3,3x)，令f′(x)＞0?x＞3，f′(x)＜0?0＜x＜3，∴f(x)在(0，3)上單調(diào)遞減，在(3，＋∞)上單調(diào)遞增，又f(eq \f(1,e))＝eq \f(1,3e)＋1＞0，f(1)＝eq \f(1,3)＞0，∴f(x)在(eq \f(1,e)，1)內(nèi)無(wú)零點(diǎn).又f(e)＝eq \f(e,3)﹣1＜0，∴f(x)在(1，e)內(nèi)有零點(diǎn).
函數(shù)f(x)＝ax2﹣2x＋1在區(qū)間(﹣1,1)和區(qū)間(1,2)上分別存在一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.(﹣3,1) B.(eq \f(3,4)，1) C.(﹣3，eq \f(3,4)) D.(﹣∞，﹣3)或(eq \f(3,4)，+∞)
【答案解析】答案為：B.
解析：根據(jù)零點(diǎn)存在性定理及二次函數(shù)的圖象可知，函數(shù)f(x)＝ax2﹣2x＋1在區(qū)間(﹣1,1)和區(qū)間(1,2)上分別存在一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，f(﹣1)f(1)0，,－1＋ln x＝0，))解得x＝﹣2或x＝e.
已知e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，函數(shù)f(x)=ex＋x－2的零點(diǎn)為a，函數(shù)g(x)=lnx＋x－2的零點(diǎn)為b，則f(a)，f(1)，f(b)的大小關(guān)系為 .
【答案解析】答案為：f(a)＜f(1)＜f(b)；
解析：由題意，知f′(x)=ex＋1＞0恒成立，所以函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)遞增的，
而f(0)=e0＋0－2=－1＜0，f(1)=e1＋1－2=e－1＞0，所以函數(shù)f(x)的零點(diǎn)a∈(0,1)；
由題意，知g′(x)=eq \f(1,x)＋1＞0，所以函數(shù)g(x)在(0，＋∞)上是單調(diào)遞增的，
又g(1)=ln1＋1－2=－1＜0，g(2)=ln2＋2－2=ln2＞0，
所以函數(shù)g(x)的零點(diǎn)b∈(1,2).綜上，可得0＜a＜1＜b＜2.
因?yàn)閒(x)在R上是單調(diào)遞增的，所以f(a)＜f(1)＜f(b).
三、解答題
已知a是正實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=2ax2＋2x－3－a.如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[－1,1]上有零點(diǎn)，求a的取值范圍.
【答案解析】解：f(x)=2ax2＋2x－3－a的對(duì)稱(chēng)軸為x=－eq \f(1,2a).
①當(dāng)－eq \f(1,2a)≤－1，即00).
(1)若g(x)＝m有實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍；
(2)確定m的取值范圍，使得g(x)－f(x)＝0有兩個(gè)相異實(shí)根.
【答案解析】解：(1)∵x>0時(shí)，g(x)＝x＋eq \f(e2,x)≥2eq \r(x·\f(e2,x))＝2e，
等號(hào)成立的條件是x＝e，故g(x)的值域是[2e，＋∞)，
因而只需m≥2e，則y＝g(x)－m就有零點(diǎn).
∴m的取值范圍是[2e，＋∞).
(2)若g(x)－f(x)＝0有兩個(gè)相異的實(shí)根，即g(x)與f(x)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
作出g(x)＝x＋eq \f(e2,x)(x>0)的大致圖象.
∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2，
∴其圖象的對(duì)稱(chēng)軸為x＝e，開(kāi)口向下，最大值為m－1＋e2.
故當(dāng)m－1＋e2>2e，即m>－e2＋2e＋1時(shí)，g(x)與f(x)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
即g(x)－f(x)＝0有兩個(gè)相異實(shí)根.
∴m的取值范圍是(－e2＋2e＋1，＋∞).
設(shè)函數(shù)f(x)=|1- eq \f(1,x)|(x＞0).
(1)作出函數(shù)f(x)的圖像；
(2)當(dāng)0＜a＜b且f(a)=f(b)時(shí)，求eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)的值；
(3)若方程f(x)=m有兩個(gè)不相等的正根，求m的取值范圍.
【答案解析】解：(1)如圖所示.
(2)因?yàn)閒(x)=|1- eq \f(1,x)|=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,x)－1，x∈?0，1]，,1－\f(1,x)，x∈?1，＋∞?，))
故f(x)在(0,1]上是減函數(shù)，而在(1，＋∞)上是增函數(shù)，
由0＜a＜b且f(a)=f(b)，得0＜a＜1＜b，
且eq \f(1,a)－1=1－eq \f(1,b)，所以eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)=2.
(3)由函數(shù)f(x)的圖像可知，當(dāng)0＜m＜1時(shí)，方程f(x)=m有兩個(gè)不相等的正根.
已知二次函數(shù)f(x)=x2＋(2a－1)x＋1－2a.
(1)判斷命題：“對(duì)于任意的a∈R，方程f(x)=1必有實(shí)數(shù)根”的真假，并寫(xiě)出判斷過(guò)程；
(2)若y=f(x)在區(qū)間(－1,0)及(0,eq \f(1,2))內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案解析】解：(1)“對(duì)于任意的a∈R，方程f(x)=1必有實(shí)數(shù)根”是真命題.
依題意，f(x)=1有實(shí)根，即x2＋(2a－1)x－2a=0有實(shí)根.
因?yàn)棣?(2a－1)2＋8a=(2a＋1)2≥0對(duì)于任意的a∈R恒成立，
即x2＋(2a－1)x－2a=0必有實(shí)根，從而f(x)=1必有實(shí)根.
(2)依題意，要使y=f(x)在區(qū)間(－1,0)及(0,eq \f(1,2))內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，
只需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f?－1?>0，,f?0?0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－4a>0，,1－2a0，))解得eq \f(1,2)

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