1. 已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根據(jù)題意，
由三角函數(shù)的定義得.
故選：A.
2. 若拋物線的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線的右焦點(diǎn)，則的值為（ ）
A. 4B. C. 2D.
【答案】D
【解析】雙曲線的右焦點(diǎn)為，所以拋物線的準(zhǔn)線為，
，解得.
故選：D.
3. 已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，則（ ）
A. 120B. 40C. 48D. 60
【答案】B
【解析】因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，設(shè)數(shù)列的公比為，
若，則，
此時(shí)，由已知，即，
解得，不成立，所以；
因?yàn)椋?br>則有：，解得，，
所以.
故選：B
4. 從甲隊(duì)60人、乙隊(duì)40人中，按照分層抽樣的方法從兩隊(duì)共抽取10人，進(jìn)行一輪答題．相關(guān)統(tǒng)計(jì)情況如下：甲隊(duì)答對(duì)題目的平均數(shù)為1，方差為1；乙隊(duì)答對(duì)題目的平均數(shù)為1.5，方差為0.4，則這10人答對(duì)題目的方差為（ ）
A. 0.8B. 0.675C. 0.74D. 0.82
【答案】D
【解析】根據(jù)題意，按照分層抽樣的方法從甲隊(duì)中抽取人，
從乙隊(duì)中抽取人，
這人答對(duì)題目的平均數(shù)為，
所以這人答對(duì)題目的方差為.
故選：D.
5. 已知，，且，則的最小值為（ ）
A. 10B. 9C. D.
【答案】C
【解析】由已知，令，，
所以，，代入得：，
因?yàn)?，?br>所以
.
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立.
的最小值為.
故選：C.
6. 已知正方體的棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)滿足，若在正方形內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)滿足平面，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為（ ）
A. 4B. C. 5D.
【答案】C
【解析】如圖，在棱上分別取點(diǎn)，使得，，
連接，
因?yàn)?，?br>所以，，
因?yàn)槠矫?，平面?br>所以平面，
因?yàn)椋裕?br>又，正方體的棱長(zhǎng)為4，
所以，，，
在棱上取點(diǎn),使得，
則且，又且，
所以且，所以四邊形是平行四邊形，
所以，
又且，則四邊形是平行四邊形，
所以，所以，
因?yàn)椋?br>所以，則，
所以四邊形是平行四邊形，所以，
因?yàn)槠矫?，平面?br>所以，平面，
因?yàn)?，平面?br>所以平面平面，
因?yàn)槠矫嫫矫妫?br>所以，在正方形內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)滿足平面時(shí)，
點(diǎn)的軌跡為線段，
因?yàn)椋?br>所以，動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為.故選：C.
7. 已知定義在上的函數(shù)滿足且，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由，可知關(guān)于對(duì)稱，又，則，
又，則，
，.
故選：A.
8. 已知，求（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根據(jù)題意，，
由誘導(dǎo)公式，可得，
所以，
則
.
故選：D.
二、多選題
9. 設(shè)為復(fù)數(shù)，且，下列命題中正確的是（ ）
A. 若，則
B. 若，則最大值為3
C. 若，則
D. 若，則在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在一條直線上
【答案】BD
【解析】對(duì)于A，令，滿足，但不成立，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，設(shè)，，
因?yàn)?，則復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓上，的幾何意義為到的距離，其最大值為，故B正確；
對(duì)于C，令，則，，
滿足，但，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，因?yàn)椋O(shè)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，
若，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到和的距離相等，即在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在線段的垂直平分線上，所以在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在一條直線上，故D正確；
故選：BD．
10. 已知中，為的角平分線，交于點(diǎn)為中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（ ）
A.
B.
C. 的面積為
D. 在的外接圓上，則的最大值為
【答案】ACD
【解析】在中，由余弦定理得，
由角平分線定理得：，
所以A正確；
由得，
解得，所以B錯(cuò)誤；
，所以C正確；
在中，設(shè)，則，由正弦定理得：
，其中，所以D正確.
故選：ACD.
11. 若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值可以是（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】ABD
【解析】由題知，，
①當(dāng)時(shí)，在恒成立，
②當(dāng)時(shí)，由，則，即恒成立，
設(shè)，則，令得，
所以當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞增，
所以，則，
所以，即滿足題意；
③當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，令，，
當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞增，
所以在單調(diào)遞增，且，，
所以，使得；
當(dāng)時(shí)，，即，設(shè)，
則，所以在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，即，設(shè)，
則，設(shè)，
，設(shè)，
則，
可知在內(nèi)單調(diào)遞增，
所以，即，
所以，
所以，
所以在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，，
又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)， ，解得，
又，所以，
綜上，，
故選：ABD
三、填空題
12. 若集合，，且，則___________.
【答案】
【解析】因?yàn)?，，且?br>所以且，顯然，所以且，所以，
所以，，
所以.
故答案為：
13. 已知分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上且不與頂點(diǎn)重合，滿足，則該雙曲線的離心率為______．
【答案】
【解析】因?yàn)?，所以?br>所以，故點(diǎn)在左支上，
作的內(nèi)切圓，設(shè)內(nèi)切圓與切于點(diǎn)，與切于點(diǎn)，
該內(nèi)切圓切于點(diǎn)，
連接，，，，，則，，，
且平分，平分，
接下來證明點(diǎn)為雙曲線的左頂點(diǎn)：
由雙曲線的定義可知：，
因?yàn)椋?，?br>所以，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，
則，解得：，故點(diǎn)為雙曲線的左頂點(diǎn)，
因?yàn)椋?br>所以，所以
所以，所以，
所以，所以．故答案為：.
14. 球面上的三個(gè)點(diǎn)，每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)之間用大圓劣弧相連接，三弧所圍成的球面部分稱為球面三角形．半徑為的球面上有三點(diǎn)，且，則球面三角形的面積為______．
【答案】
【解析】如圖1所示，設(shè)過的大圓與過的大圓交于直徑，過點(diǎn)分別作，垂足為，連接，則，
在中，由余弦定理得，，則，
所以，則，
在中，由余弦定理得，，即，
由二面角定義得，二面角為，
在圖2中，設(shè)過的大圓與過的大圓交于直徑，過的大圓與過的大圓交于直徑，同理可得，二面角為，二面角為；

設(shè)球的表面積為，則，設(shè)球面三角形的面積為，
則所在的大圓和所在的大圓，將球面分成了四個(gè)部分，其中面積較大的兩個(gè)部分的面積之和等于球的表面積的倍，
即，類似可定義，且同理有，，
而根據(jù)球面被這三個(gè)大圓的劃分情況，又有，
所以，
所以，
故答案為：．
四、解答題
15. 如圖，圓臺(tái)的軸截面為等腰梯形，，為下底面圓周上異于、的點(diǎn)．

（1）點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，證明：直線平面；
（2）若四棱錐的體積為3，求直線與平面夾角的正弦值．
解：（1）取中點(diǎn)，連接，則有，，
如圖：

在等腰梯形中，，
所以，，
則四邊形為平行四邊形，所以，
又平面，平面，所以直線平面．
（2）過點(diǎn)作于，在等腰梯形中，，
所以梯形的高，所以等腰梯形面積為，
所以四棱錐的體積，解得，
在中，由射影定理得或，
當(dāng)時(shí)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以過點(diǎn)平行與的方向，所在直線為坐標(biāo)軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系；

則有，
故，，
設(shè)平面的法向量，故，
令，得，
設(shè)直線與平面夾角的大小為，
則，
所以直線與平面夾角的正弦值為；
當(dāng)時(shí)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以過點(diǎn)平行與的方向，所在直線為坐標(biāo)軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系；

則有，
故，，
設(shè)平面的法向量，故，
令，得，
設(shè)直線與平面夾角的大小為，
則，
所以直線與平面夾角的正弦值為，
綜上所述，直線與平面夾角的正弦值為或．
16. 若數(shù)列滿足條件：存在正整數(shù)，使得對(duì)一切都成立，則稱數(shù)列為級(jí)等差數(shù)列．
（1）若數(shù)列為2級(jí)等差數(shù)列，且前四項(xiàng)分別為，，，，求數(shù)列的前項(xiàng)和；
（2）若，且是3級(jí)等差數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
解：（1）因?yàn)閿?shù)列為2級(jí)等差數(shù)列，所以，對(duì)一切都成立，
因?yàn)?，?br>若為奇數(shù)，由可知奇數(shù)項(xiàng)是常數(shù)列；
若為偶數(shù)，由可知偶數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為0，公差為4的等差數(shù)列；
所以．
（2）因?yàn)槭?級(jí)等差數(shù)列，所以，對(duì)一切都成立，
所以，
，
所以或，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，，
又因?yàn)?，所以，此時(shí)
由于，
所以，
所以
．
17. 已知函數(shù)
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；
（2）設(shè)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，若恒成立，求最小值．
解：（1）當(dāng)時(shí)，有，
令，即，解得或，
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
所以時(shí)，取得極大值，極大值為，
時(shí)，取得極小值，極小值為.
（2）因?yàn)椋?br>所以
由已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，
所以方程有兩個(gè)相異正根
所以，即或，
又，所以，，所以；
所以對(duì)稱軸為，二次函數(shù)與軸交點(diǎn)為、，
且，所以在對(duì)稱軸的右側(cè)，則有，
因?yàn)?，?，
所以，其中，
令，
則，
令，解得均不在定義域內(nèi)，
所以時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
，
所以，即最小值為.
18. 已知橢圓，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，直線交橢圓于另一點(diǎn)，直線交橢圓于另一點(diǎn)．
（1）求面積的最大值；
（2）求與面積之比的最大值．
解：（1）設(shè)，，
設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立方程組，得，
所以，，
則，
點(diǎn)到直線距離為：，
所以，
令，
則，當(dāng)即時(shí)面積取得最大值，
所以面積的最大值為.
（2）設(shè)，，，設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立方程組，得，
即
所以，即，同理可得：，
所以
化簡(jiǎn)得：，
當(dāng)時(shí)，取得最大值.
19. 在三維空間中，立方體的坐標(biāo)可用三維坐標(biāo)表示,其中，而在維空間中，以單位長(zhǎng)度為邊長(zhǎng)的“立方體”的頂點(diǎn)坐標(biāo)可表示為維坐標(biāo)，其中．現(xiàn)有如下定義：在維空間中兩點(diǎn)間的曼哈頓距離為兩點(diǎn)與坐標(biāo)差的絕對(duì)值之和，即為．回答下列問題：
（1）求出維“立方體”的頂點(diǎn)數(shù)；
（2）在維“立方體”中任取兩個(gè)不同頂點(diǎn)，記隨機(jī)變量為所取兩點(diǎn)間的曼哈頓距離．
①求的分布列與期望；
②求的方差．
解：（1）對(duì)于維坐標(biāo)，，
所以共有種不同的點(diǎn)，即共有個(gè)頂點(diǎn)．
（2）①對(duì)于的隨機(jī)變量，在坐標(biāo)與中有個(gè)坐標(biāo)值不同，剩下個(gè)坐標(biāo)相同，此時(shí)對(duì)應(yīng)情況數(shù)有種，
所以，
則的分布列為：
所以，
倒序相加得，，
所以；
②
，
設(shè)，
兩邊求導(dǎo)得，，
兩邊乘以后得，，
兩邊求導(dǎo)得，，
令得，，
所以
．
1
2

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