天津市北辰區(qū)2024屆高三三模數(shù)學(xué)試卷(解析版)

這是一份天津市北辰區(qū)2024屆高三三模數(shù)學(xué)試卷(解析版)，共19頁(yè)。試卷主要包含了 已知集合,,，則， 對(duì)于實(shí)數(shù)，“”是“”的， 函數(shù)的圖象大致為， 下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)為個(gè)， 中國(guó)載人航天技術(shù)發(fā)展日新月異等內(nèi)容，歡迎下載使用。
參考公式：
·如果事件A，B互斥，那么.
·如果事件A，B相互獨(dú)立，那么.
一?選擇題
1. 已知集合,,，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵集合，，
∴，又＝{0,1}，
∴()∩N＝{0,1}．
故選：C．
2. 對(duì)于實(shí)數(shù)，“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】因?yàn)?，等價(jià)于且，
且是的真子集，
所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.
3. 函數(shù)的圖象大致為（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】，且函數(shù)定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以為奇函數(shù)，排除CD．
當(dāng)時(shí)，，所以，排除B，經(jīng)檢驗(yàn)A選項(xiàng)符合題意.
故選：A．
4. 已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，則，即；
又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，則，即；
可得，且在上單調(diào)遞增，
則，即；
綜上所述：.
故選：D.
5. 已知在等比數(shù)列中，，等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（ ）
A. 60B. 54C. 42D. 36
【答案】C
【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，因?yàn)?，所以，?br>所以.故選：C
6. 下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)為（ ）個(gè).
①對(duì)立事件一定是互斥事件；②在經(jīng)驗(yàn)回歸直線方程中，當(dāng)解釋變量每增加一個(gè)單位時(shí)，預(yù)報(bào)變量減少0.1個(gè)單位；③兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)絕對(duì)值越接近于1；④在回歸分析模型中，若相關(guān)指數(shù)越小，則殘差平方和越大，模型的擬合效果越好.
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】對(duì)于①，對(duì)立事件一定是互斥事件，但互斥事件未必是對(duì)立事件，故①正確；
對(duì)于②，根據(jù)回歸直線方程中回歸系數(shù)的含義可知：當(dāng)解釋變量每增加一個(gè)單位時(shí)，預(yù)報(bào)變量增加個(gè)單位，故②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式可知：兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近，故③正確；
對(duì)于④，根據(jù)回歸分析的基本思想可知：相關(guān)指數(shù)越小，則殘差平方和越大，模型的擬合效果越差，④錯(cuò)誤.故選：B.
7. 已知函數(shù)，則下列結(jié)論不正確的是（ ）
A. 的最小正周期為
B. 的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
C. 若是偶函數(shù)，則，
D. 在區(qū)間上的值域?yàn)?br>【答案】D
【解析】由題意，在中，
，
A項(xiàng)，，A正確；
B項(xiàng)，令, 得, 當(dāng)時(shí),,
所以的圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱,故B正確;
C項(xiàng)，是偶函數(shù)，
∴，解得：, 故C正確；
D項(xiàng), 當(dāng) 時(shí), , 所以,
所以在區(qū)間上的值域?yàn)椋蔇錯(cuò)誤.故選：D.
8. 中國(guó)載人航天技術(shù)發(fā)展日新月異.目前，世界上只有3個(gè)國(guó)家能夠獨(dú)立開展載人航天活動(dòng).從神話“嫦娥奔月”到古代“萬(wàn)戶飛天”，從詩(shī)詞“九天攬?jiān)隆钡奖诋嫛笆伺w天”……千百年來(lái)，中國(guó)人以不同的方式表達(dá)著對(duì)未知領(lǐng)域的探索與創(chuàng)新.如圖，可視為類似火箭整流罩的一個(gè)容器，其內(nèi)部可以看成由一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱組合而成的幾何體.圓柱和圓錐的底面半徑均為2，圓柱的高為6，圓錐的高為4.若將其內(nèi)部注入液體，已知液面高度為7，則該容器中液體的體積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由題意可知：容器中液體分為：下半部分為圓柱，上半部分為圓臺(tái)，
取軸截面，如圖所示，分別為的中點(diǎn)，
可知：∥∥，且，
可得，即，
所以該容器中液體的體積為.
故選：A.
9. 在中，，為外心，且，則的最大值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由O為△ABC外心，可得在方向上的投影向量為，
則，故，
又，設(shè)，
則
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
由可知，，
故的最大值為．故選：A．
第Ⅱ卷
二?填空題
10. 是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的虛部為___________.
【答案】
【解析】，
所以復(fù)數(shù)Z的虛部為.
故答案為：
11. 若展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為128，則展開式中的系數(shù)為___________.
【答案】280
【解析】由題意可知：二項(xiàng)式系數(shù)和為，解得，
則展開式的通項(xiàng)為，
令，解得，
所以展開式中的系數(shù)為.
故答案為：280.
12. 過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作圓：的兩條切線，切點(diǎn)分別為，若為等邊三角形，則的值為___________.
【答案】4
【解析】如圖，
過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F作圓C：的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N，又△FMN為等邊三角形，
則在直角三角形MCF中，，，
又C(2,0)，，又，
則，即，則p＝4．
故答案為：4．
13. 某單位為了提高員工身體素質(zhì)，開展雙人投籃比寒，現(xiàn)甲?乙兩人為一組參加比賽，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若投中，則此人繼續(xù)投籃，若未投中，則換為對(duì)方投籃，無(wú)論之前投籃的情況如何，甲每次投籃的命中率均為，乙每次投籃的命中率均為.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲?乙的概率各為.第2次投籃的人是甲的概率為___________；已知在第2次投籃的人是乙的情況下，第1次投籃的人是甲的概率為___________.
【答案】
【解析】設(shè)“第次是甲投籃”為事件，“投籃命中”為事件B，
由題意可知：，，
則，
所以第2次投籃的人是甲的概率為
；
且在第2次投籃的人是乙的情況下，第1次投籃的人是甲的概率為
.故答案為：；.
14. 已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)且垂直于軸的直線與該雙曲線的左支交于A，B兩點(diǎn).若是虛軸長(zhǎng)的倍，則該雙曲線的一條漸近線為___________；若，分別交軸于，兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為8，則的最大值為___________.
【答案】（或）
【解析】由題意可知：，且該雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，
若是虛軸長(zhǎng)的倍，則，即，
所以該雙曲線的一條漸近線為（或）；
由題意可知：∥，且為線段的中點(diǎn)，可知分別為，的中點(diǎn)，
則，
可得，結(jié)合對(duì)稱性可知，
又因?yàn)辄c(diǎn)A在雙曲線上，則，即，
可得，整理可得，解得，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最大值為.
故答案：（或）；.
15. 若函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.
【答案】
【解析】由題意可知：的定義域?yàn)椋?br>且
，
可知關(guān)于直線對(duì)稱，
原題意等價(jià)于：當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)，且，
即，
若，則，
顯然，
若時(shí)，令，可得，
令，可知與在內(nèi)只有一個(gè)交點(diǎn)，
則，令，解得或；令，解得；
可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，
且，又，
可得的圖象如圖所示，
由圖象可知：或或，解得或或，
綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故答案為：.
三?解答題
16. 已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，滿足
.
（1）求角的大??；
（2）若，求的值；
（3）若的面積為，，求的周長(zhǎng).
解：（1）因?yàn)?，所以?br>所以，所以，
因?yàn)?，所以?br>（2）由已知得，，
所以，，
所以；
（3）因?yàn)椋?br>所以，由余弦定理得，
所以，
所以，
所以的周長(zhǎng)為.
17. 如圖，在四棱錐中，平面，，∥，，，為棱的中點(diǎn).
（1）證明：∥平面；
（2）求平面和平面夾角的余弦值；
（3）求A點(diǎn)到直線的距離.
（1）證明：取中點(diǎn)，連接，．在中，，分別為，的中點(diǎn)，則，，因?yàn)椤?，，則，，可知四邊形為平行四邊形，則，
且平面，平面，所以∥平面PAD．
（2）解：因?yàn)槠矫?，，平面ABCD，
則，，且，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，取CD的中點(diǎn)，連接BE，
因?yàn)椤?，，則，，
又因?yàn)?，所以四邊形ABED為矩形，
且，可知四邊形ABED是以邊長(zhǎng)為2的正方形，
則，，，，，，
可得，，，
設(shè)平面BDM的法向量為，所以，
令，則，．所以平面BDM的一個(gè)法向量為，
易知為平面PDM的一個(gè)法向量，所以，
所以平面和平面夾角的余弦值為.
（3）解：由（2）可知：，
則，
即，可知為銳角，
則，
所以A點(diǎn)到直線的距離為.
18. 已知橢圓：的離心率為，左?右焦點(diǎn)分別為，，上?下頂點(diǎn)分別為，，且四邊形的面積為.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線：與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，且P，Q關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為M，N，若是一個(gè)與無(wú)關(guān)的常數(shù)，則當(dāng)四邊形面積最大時(shí)，求直線的方程.
解：（1），
，所以，
因?yàn)閍2＝b2+c2，所以a＝2，，c＝1，
所以橢圓方程為．
（2）如圖，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），
，
聯(lián)立，消去y整理得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，
Δ＝（8km）2﹣4（4m2﹣12）（3+4k2）＞0，即m2＜3+4k2，
所以，. ，

，
因?yàn)閨OP|2+|OQ|2是一個(gè)與m無(wú)關(guān)的常數(shù)，
所以32k2﹣24＝0，，，
，，
點(diǎn)O到直線l的距離，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即m2＝3，
因?yàn)閙＞0，所以時(shí)，取得最大值為，
因?yàn)镾四邊形MNPQ＝4S△POQ，
所以S△POQ最大時(shí)，S四邊形MNPQ最大，
所以或．
19. 已知為等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，若，；數(shù)列滿足：，.
（1）求和的通項(xiàng)公式；
（2）對(duì)任意的，將中落入?yún)^(qū)間內(nèi)項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為.
（i）求；
（ii）記，的前項(xiàng)和記為，是否存在，，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
解：（1），
所以，①
當(dāng)時(shí)，令得：②
①②得：，所以是公差為的等差數(shù)列，
當(dāng)時(shí)有：，所以
（2）（i）
因?yàn)椋?，所?br>（ii），把代入得：，
所以，，
所以
因?yàn)椋?，所以?br>當(dāng)時(shí)，（舍去），當(dāng)時(shí)，（舍去），
當(dāng)時(shí)，，所以存在，.
20. 已知，曲線在點(diǎn)處的切線為.
（1）當(dāng)時(shí)，求直線的方程；
（2）證明：與曲線有一個(gè)異于點(diǎn)的交點(diǎn)，且；
（3）在（2）的條件下，令，求的取值范圍.
（1）解：當(dāng)時(shí)，，而，所以.
所以的方程是，即；
（2）證明：由于，故的方程可化為.
設(shè)，則直線的方程為.
令，
設(shè)，則對(duì)有，所以在上單調(diào)遞增.記，
則.
由于，
且
，
故一定存在，使得，即.而，故是與曲線的交點(diǎn)，且；
（3）解：對(duì)，設(shè).
則，
，
.
由于當(dāng)時(shí)，的導(dǎo)數(shù)，
故在上單調(diào)遞增.
若，則.
所以對(duì)有，從而在上單調(diào)遞增；
所以對(duì)有，從而在上單調(diào)遞增；
所以對(duì)有，從而在上單調(diào)遞增；
所以對(duì)有，從而在上無(wú)零點(diǎn).
若，則.
由于對(duì)有，
故.
從而存在使.
結(jié)合在上單調(diào)遞增，知對(duì)有，從而在上單調(diào)遞減；
所以對(duì)有，從而在上單調(diào)遞減；
所以對(duì)有，從而在上單調(diào)遞減；
所以，又由于對(duì)有
，
故對(duì)有，從而當(dāng)時(shí)，有
.
結(jié)合，就知道在上存在零點(diǎn)，
從而在上存在零點(diǎn).
綜上，對(duì)，函數(shù)在上存在零點(diǎn)的充要條件是.最后，一方面我們?nèi)?，就?br>，
所以在上存在零點(diǎn)，故，得；
另一方面，對(duì)任意，取，則在上存在零點(diǎn).
記該零點(diǎn)為，取，則
.
所以這樣的滿足原條件，且.
綜上，的取值范圍是.