1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、班級、學(xué)校在答題卡上填寫清楚.
2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).在試卷上作答無效.
3.考試結(jié)束后，請將答題卡交回，試卷自行保存.滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1．命題“存在，”的否定形式是（ ）
A．任意，
B．存在，或
C．存在，
D．任意，或
2．已知集合且，則的非空真子集的個(gè)數(shù)為（ ）
A．14B．15C．30D．31
3．若，且，則下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知函數(shù)，若，則（ ）
A．B．6C．D．
5．已知函數(shù)（）的最小值為0，若關(guān)于x的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)c的值為（ ）
A．9B．8C．6D．4
6．冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則（ ）
A．27B．C．D．
7．已知偶函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，則的解集為（ ）
A．B．
C．D．
8．設(shè)，則取得最小值時(shí)，的值為（ ）
A．B．2C．4D．
二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9．下列命題正確的是（ ）
A．的定義城為，則的定義域?yàn)?br>B．函數(shù)的值域?yàn)?br>C．函數(shù)的值域?yàn)?br>D．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為
10．函數(shù)概念最早是在17世紀(jì)由德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨提出的，后又經(jīng)歷了貝努利?歐拉等人的改譯.1821年法國數(shù)學(xué)家柯西給出了這樣的定義：在某些變數(shù)存在著一定的關(guān)系，當(dāng)一經(jīng)給定其中某一變數(shù)的值，其他變數(shù)的值可隨著確定時(shí)，則稱最初的變數(shù)叫自變量，其他的變數(shù)叫做函數(shù)．德國數(shù)學(xué)家康托爾創(chuàng)立的集合論使得函數(shù)的概念更嚴(yán)謹(jǐn)．后人在此基礎(chǔ)上構(gòu)建了高中教材中的函數(shù)定義：“一般地，設(shè)是兩個(gè)非空的數(shù)集，如果按某種對應(yīng)法則，對于集合中的每一個(gè)元素，在集合中都有唯一的元素和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)叫做從到的一個(gè)函數(shù)”．下列對應(yīng)法則滿足函數(shù)定義的有（ ）
A．B．
C．D．
11．已知函數(shù)，，構(gòu)造函數(shù)，那么關(guān)于函數(shù)的說法正確的是（ ）
A．的圖象與x軸有3個(gè)交點(diǎn)B．在上單調(diào)遞增
C．有最大值1，無最小值D．有最大值3，最小值1
12．下列說法正確的有（ ）
A．的最小值為2
B．已知，則的最小值為
C．若正數(shù)x，y為實(shí)數(shù)，若，則的最大值為3
D．設(shè)x，y為實(shí)數(shù)，若，則的最大值為
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13．集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．
14．若“存在實(shí)數(shù)x，使得成立”為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________．
15．設(shè)（、為常數(shù)），若，則______
16．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______．
四、解答題：本題共6小題，第17小題10分，其余小題每題12分，共70分.解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．記函數(shù)的定義域?yàn)榧?，集合?br>（1）當(dāng)時(shí)，求；
（2）若，且，求的取值范圍．
18．（本小題滿分12分，（Ⅰ）小問6分，（Ⅱ）小問6分）
設(shè)，集合，．
（Ⅰ）若且，求實(shí)數(shù)P的取值范圍；
（Ⅱ）若，求B．
19．設(shè).
(1)若不等式對一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(2)解關(guān)于x的不等式.
20．已知函數(shù)．
(1)若，判斷的奇偶性并加以證明．
(2)當(dāng)時(shí)，先用定義法證明函數(shù)f（x）在[1，）上單調(diào)遞增，再求函數(shù)在[1，）上的最小值．
(3)若對任意恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
21．二次函數(shù)滿足，且
(1)求的解析式;
(2)求在上的最值;
(3)若函數(shù)為偶函數(shù)，求的值;
(4)求在上的最小值.
22．定義在上的函數(shù)滿足下面三個(gè)條件：
① 對任意正數(shù)，都有；② 當(dāng)時(shí)，；③
(1)求和的值；
(2)試用單調(diào)性定義證明：函數(shù)在上是減函數(shù)；
(3)求滿足的的取值集合．
新高考地區(qū)高2025屆高一（上）期中模擬三
數(shù)學(xué)試卷
注意事項(xiàng)：
1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、班級、學(xué)校在答題卡上填寫清楚.
2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).在試卷上作答無效.
3.考試結(jié)束后，請將答題卡交回，試卷自行保存.滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1．命題“存在，”的否定形式是（ ）
A．任意，
B．存在，或
C．存在，
D．任意，或
【答案】D
【分析】由特稱命題的否定是全稱命題直接求解即可.
【詳解】因?yàn)樘胤Q命題的否定是全稱命題，所以命題“存在，”的否定是“，或”.
故選：D.
2．已知集合且，則的非空真子集的個(gè)數(shù)為（ ）
A．14B．15C．30D．31
【答案】A
【分析】根據(jù)集合的定義，結(jié)合正整數(shù)集與真子集的定義求解即可
【詳解】解：因?yàn)榍遥?br>則該集合的非空真子集個(gè)數(shù)為個(gè)，
故選：A
3．若，且，則下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】對于ABD，舉例判斷，對于C，利用不等式的性質(zhì)判斷即可
【詳解】對于A，若，則滿足，此時(shí)，所以A錯(cuò)誤，
對于B，若，則滿足，而當(dāng)時(shí)，則，所以B錯(cuò)誤，
對于C，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以C正確，
對于D，若，則滿足，而當(dāng)時(shí)，則，所以D錯(cuò)誤，
故選：C
4．已知函數(shù)，若，則（ ）
A．B．6C．D．
【答案】D
【分析】分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合已知條件可得出關(guān)于的等式，求出的值，代值計(jì)算可得的值.
【詳解】因?yàn)椋?，函?shù)在和上均為增函數(shù)，
因?yàn)?，所以，可得?br>由題意可得，即，解得，合乎題意，
所以，.
故選：D.
5．已知函數(shù)（）的最小值為0，若關(guān)于x的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)c的值為（ ）
A．9B．8C．6D．4
【答案】D
【分析】利用一元二次函數(shù)、一元二次不等式以及韋達(dá)定理進(jìn)行求解.
【詳解】∵函數(shù)（）的最小值為0，
∴，∴，
∴函數(shù)，其圖像的對稱軸為．
∵不等式的解集為，
∴方程的根為m，，
∴，解得，，
又∵，∴．故A，B，C錯(cuò)誤.
故選：D．
6．冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則（ ）
A．27B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的概念及性質(zhì)，求得實(shí)數(shù)的值，得到冪函數(shù)的解析式，即可求解.
【詳解】由題意，令，即，解得或，
當(dāng)時(shí)，可得函數(shù)，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增，符合題意；
當(dāng)時(shí)，可得，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞減，不符合題意，
即冪函數(shù)，則.
故選：A.
7．已知偶函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，則的解集為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】采用分離常數(shù)法和偶函數(shù)的性質(zhì)可確定的單調(diào)性，結(jié)合可構(gòu)造不等式求得結(jié)果.
【詳解】，在上單調(diào)遞減，又為偶函數(shù)，
，，，解得：或，
的解集為.
故選：D.
8．設(shè)，則取得最小值時(shí)，的值為（ ）
A．B．2C．4D．
【答案】A
【解析】轉(zhuǎn)化條件為原式，結(jié)合基本不等式即可得解.
【詳解】
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，，時(shí)，等號(hào)成立.
故選：A.
【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：
（1） “一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.
二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9．下列命題正確的是（ ）
A．的定義城為，則的定義域?yàn)?br>B．函數(shù)的值域?yàn)?br>C．函數(shù)的值域?yàn)?br>D．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為
【答案】AB
【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的定義域求法，可判斷A;利用換元法求得函數(shù)值域，可判斷B;利用基本不等式可判斷C;單調(diào)區(qū)間之間不能用并集符號(hào)，可判斷D.
【詳解】對于A選項(xiàng)，由于函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢τ诤瘮?shù)，，
解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋珹選項(xiàng)正確；
對于B選項(xiàng)，令，則，，且時(shí)，取得等號(hào)，所以函數(shù)的值域?yàn)?，B選項(xiàng)正確；
對于C選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即等號(hào)取得，但等號(hào)取不到，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對于D選項(xiàng)，，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)區(qū)間之間不能用并集符號(hào)，D選項(xiàng)錯(cuò)誤，
故選：AB．
10．函數(shù)概念最早是在17世紀(jì)由德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨提出的，后又經(jīng)歷了貝努利?歐拉等人的改譯.1821年法國數(shù)學(xué)家柯西給出了這樣的定義：在某些變數(shù)存在著一定的關(guān)系，當(dāng)一經(jīng)給定其中某一變數(shù)的值，其他變數(shù)的值可隨著確定時(shí)，則稱最初的變數(shù)叫自變量，其他的變數(shù)叫做函數(shù)．德國數(shù)學(xué)家康托爾創(chuàng)立的集合論使得函數(shù)的概念更嚴(yán)謹(jǐn)．后人在此基礎(chǔ)上構(gòu)建了高中教材中的函數(shù)定義：“一般地，設(shè)是兩個(gè)非空的數(shù)集，如果按某種對應(yīng)法則，對于集合中的每一個(gè)元素，在集合中都有唯一的元素和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)叫做從到的一個(gè)函數(shù)”．下列對應(yīng)法則滿足函數(shù)定義的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】根據(jù)題中函數(shù)的定義，逐項(xiàng)進(jìn)行判定，令，可得，則，可判斷A選項(xiàng)；令，則，則，可判斷B選項(xiàng)；令，則，所以，可判斷C選項(xiàng)；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的定義，即可判斷D選項(xiàng).
【詳解】解：對于A中，令，可得，則，所以不滿足函數(shù)的定義，所以A不正確；
對于B中，令，則，則，滿足函數(shù)的定義，所以B正確；
對于C中，令，則，所以，滿足函數(shù)的定義，所以C正確；
對于D中，由于函數(shù)中的每一個(gè)值，都有唯一的一個(gè)與之對應(yīng)，
所以滿足函數(shù)的定義，所以D正確.
故選：BCD.
11．已知函數(shù)，，構(gòu)造函數(shù)，那么關(guān)于函數(shù)的說法正確的是（ ）
A．的圖象與x軸有3個(gè)交點(diǎn)B．在上單調(diào)遞增
C．有最大值1，無最小值D．有最大值3，最小值1
【答案】AC
【分析】根據(jù)給定條件，作出函數(shù)的圖象，借助圖象逐項(xiàng)判斷作答.
【詳解】依題意，由解得，則，
作出函數(shù)的圖象，如圖：
觀察圖象知，函數(shù)的圖象與x軸有三個(gè)交點(diǎn)，在上單調(diào)遞減，有最大值1，無最小值，
即選項(xiàng)A，C正確；選項(xiàng)B，D不正確.
故選：AC
12．下列說法正確的有（ ）
A．的最小值為2
B．已知，則的最小值為
C．若正數(shù)x，y為實(shí)數(shù)，若，則的最大值為3
D．設(shè)x，y為實(shí)數(shù)，若，則的最大值為
【答案】BD
【分析】對于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C選項(xiàng)，可以利用基本不等式求出的最小值為3，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于BD選項(xiàng)，可以根據(jù)已知條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)，以及基本不等式的公式，即可求解.
【詳解】對于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，
對于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故B選項(xiàng)正確，
對于C選項(xiàng)，若正數(shù)、滿足，則，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，
對于D選項(xiàng)，，
所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，可得，
時(shí)取最大值，故的最大值為，D選項(xiàng)正確．
故選：BD．
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13．集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．
【答案】
【分析】先化簡集合，再根據(jù)集合間的基本關(guān)系，與集合進(jìn)行集合包含關(guān)系運(yùn)算即可，注意討論子集中的空集的情況.
【詳解】，若，則是的子集，
當(dāng)時(shí)，，所以，
當(dāng)時(shí)，，所以，
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．
故答案為: .
14．若“存在實(shí)數(shù)x，使得成立”為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________．
【答案】
【分析】根據(jù)一元二次型不等式恒成立問題，分類討論即可求解.
【詳解】由題意知：對任意實(shí)數(shù)，都有恒成立．
當(dāng)時(shí)，滿足題意；
當(dāng)時(shí)，，解得，
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．
故答案為：
15．設(shè)（、為常數(shù)），若，則______
【答案】40
【分析】根據(jù)題意，求解相應(yīng)函數(shù)值，利用等量代還，可得答案.
【詳解】由題意，則，即，
由，
故答案為：40.
16．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______．
【答案】
【分析】根據(jù)的范圍去絕對值，再根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.
【詳解】，
時(shí)，，
時(shí)，=.
①當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，不符合題意;
②當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增，
③當(dāng)即時(shí)，此時(shí)函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，不符合題意;
④當(dāng)即時(shí)，此時(shí)函數(shù)在單調(diào)遞增，
⑤當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減，不符合題意，
函數(shù)在處，函數(shù)連續(xù)，綜合②④可知，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，則.
故答案為：
四、解答題：本題共6小題，第17小題10分，其余小題每題12分，共70分.解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．記函數(shù)的定義域?yàn)榧希希?br>（1）當(dāng)時(shí)，求；
（2）若，且，求的取值范圍．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）化簡可得，，直接求交集即可；
（2）根據(jù)集合關(guān)系，直接求參數(shù)的范圍，即可得解.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域滿足：，故，即．
，故
（2）當(dāng)時(shí)，，．
，故，即．
【點(diǎn)睛】本題考查了集合的運(yùn)算以及利用集合關(guān)系求參數(shù)范圍，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.
18．（本小題滿分12分，（Ⅰ）小問6分，（Ⅱ）小問6分）
設(shè)，集合，．
（Ⅰ）若且，求實(shí)數(shù)P的取值范圍；
（Ⅱ）若，求B．
【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）．
【詳解】試題分析：（Ⅰ）集合是一個(gè)二次方程的解集，，則其判別式；（Ⅱ）由，說明二次方程的解是和3，由韋達(dá)定理可求得，解方程可得集合．
試題解析：（Ⅰ）由已知得：，
則方程有實(shí)根，故，解得：或；
（Ⅱ）由知：方程有兩根-1和3，
由韋達(dá)定理得：，所以，于是集合B的元素是方程
，即的根，解之得：或或，
從而集合．
考點(diǎn)：一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，解方程．
19．設(shè).
(1)若不等式對一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(2)解關(guān)于x的不等式.
【答案】(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）不等式轉(zhuǎn)化為對一切實(shí)數(shù)成立，列不等式即可求解；
（2）不等式轉(zhuǎn)化為，對a進(jìn)行分類討論求解即可.
（1）
由題意可得對一切實(shí)數(shù)成立，
當(dāng)時(shí)，不滿足題意；
當(dāng)時(shí)，得.
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
（2）
由題意可得，
當(dāng)時(shí)，不等式可化為，所以不等式的解集為，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
①當(dāng)，解集，
②當(dāng)，解集為或，
③當(dāng)，解集為或.
綜上所述，
當(dāng)，不等式的解集為或，
當(dāng)，不等式的解集為，
當(dāng)，不等式的解集為或，
當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，
當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.
20．已知函數(shù)．
(1)若，判斷的奇偶性并加以證明．
(2)當(dāng)時(shí)，先用定義法證明函數(shù)f（x）在[1，）上單調(diào)遞增，再求函數(shù)在[1，）上的最小值．
(3)若對任意恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【答案】(1)奇函數(shù)；證明見解析
(2)證明見解析；最小值為
(3)
【分析】（1）證得，即可得到為奇函數(shù).
（2）將代入，由定義法證明在[1，）上的單調(diào)性即可，再由單調(diào)性即可求得最小值.
（3）首先參變分離，然后將題目轉(zhuǎn)化為大于函數(shù)在上的最大值即可.
（1）
因?yàn)椋?br>定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對稱，
且，
所以為奇函數(shù).
（2）
當(dāng)時(shí)，，
且，有．
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
函數(shù)在上的最小值為．
（3）
若對任意恒成立，
則，
所以，問題轉(zhuǎn)化為大于函數(shù)在上的最大值．
且函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以最大值為，
故實(shí)數(shù)的取值范圍是
21．二次函數(shù)滿足，且
(1)求的解析式;
(2)求在上的最值;
(3)若函數(shù)為偶函數(shù)，求的值;
(4)求在上的最小值.
【答案】(1)
(2)在上的最小值為，最大值為
(3)
(4)時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，
【分析】（1）待定系數(shù)法求解解析式；
（2）配方后得到函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而求出最值；
（3）根據(jù)函數(shù)奇偶性求出，從而求出的值；
（4）結(jié)合對稱軸，對分類討論，求出不同情況下函數(shù)的最小值.
（1）
設(shè)，
則，
又因?yàn)椋?br>所以，
解得：，
又
所以的解析式為.
（2）
，
所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，，，
因?yàn)?br>故在上的最小值為，最大值為.
（3）
因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)闉榕己瘮?shù)，
所以，
即，解得：，
.
（4）
，
當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，
所以；
當(dāng)且,即時(shí)，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
所以；
綜上：時(shí)，；
時(shí)，；
時(shí)，.
22．定義在上的函數(shù)滿足下面三個(gè)條件：
① 對任意正數(shù)，都有；② 當(dāng)時(shí)，；③
(1)求和的值；
(2)試用單調(diào)性定義證明：函數(shù)在上是減函數(shù)；
(3)求滿足的的取值集合．
【答案】(1),
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）賦值計(jì)算得解；
（2）根據(jù)定義法證明單調(diào)性；
（3）根據(jù)①及單調(diào)性計(jì)算得解.
(1)
得，則，
而，
且，則；
(2)
取定義域中的任意的，，且，，
當(dāng)時(shí)，，，
，
在上為減函數(shù)．
(3)
由條件①及（1）的結(jié)果得，
，，
，，解得，
故的取值集合為.

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