考生須知：
1．本卷共4頁(yè)滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．
2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫(xiě)班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字．
3．所有答案必須寫(xiě)在答題紙上，寫(xiě)在試卷上無(wú)效．
4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙．
選擇題部分
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 設(shè)集合，若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因，，
所以方程有一個(gè)根是1，且2一定不是它的根，
則，解得，
當(dāng)時(shí)，方程的根是1和，
所以，滿足，
即.
故選：A.
2. 若函數(shù)是指數(shù)函數(shù),則的值為（ ）
A. 2B. -2C. D.
【答案】D
【解析】∵函數(shù)f（x）＝（a﹣3）?ax是指數(shù)函數(shù)，
∴a﹣3＝1，a＞0，a≠1，
解得a＝8，
∴f（x）＝8x，
∴f（）2，
故選D．
3. 設(shè)復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的虛部是（ ）
A B. C. 1D. －1
【答案】C
【解析】因?yàn)椋?br>所以，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的虛部是.
故選：C
4. 已知非負(fù)實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】B
【解析】因?yàn)榉秦?fù)實(shí)數(shù)滿足，
顯然，則，所以，
則
，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，
所以的最小值為.故選：B
5. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
.
故選:B
6. 已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，若將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折疊成三棱錐則在折疊過(guò)程中，不可能出現(xiàn)（ ）
A. B.
C. 三棱錐的體積為D. 平面平面BCD
【答案】A
【解析】對(duì)于A，若，因?yàn)椋鍭BC，
所以，而，即直角邊長(zhǎng)與斜邊長(zhǎng)相等，顯然不對(duì)，故A錯(cuò)；
對(duì)于B，取BD中點(diǎn)O，因?yàn)?，AO 所以面AOC，所以，故B對(duì)；
對(duì)于C，當(dāng)折疊所成的二面角時(shí)，頂點(diǎn)A到底面BCD的距離為，
此時(shí)，故C對(duì)；
對(duì)于D，當(dāng)沿對(duì)角線折疊成直二面角時(shí)，有平面平面，故D對(duì)；
故選:A
7. 一個(gè)袋子中裝有大小相同的5個(gè)小球，其中有3個(gè)白球，2個(gè)黑球，從中無(wú)放回地取出3個(gè)小球，摸到一個(gè)白球記2分，摸到一個(gè)黑球記1分，則總得分的數(shù)學(xué)期望等于（ ）
A. 5分B. 4.8分C. 4.6分D. 4.4分
【答案】B
【解析】設(shè)三個(gè)白球編號(hào)為，黑球編號(hào)為，
表示取到個(gè)白球，則，
所有取法為種，
則，，，
的可能取值為，
所以，
總得分的數(shù)學(xué)期望等于分，
故選：B.
8. 已知，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由題意，，，，
由換底公式，，
，
由于，根據(jù)基本不等式，，
故，即，于是.故選：A
二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 已知向量，則下列命題正確的是（ ）
A.
B. 向量在向量上的投影向量為
C.
D.
【答案】AB
【解析】因?yàn)椋?br>對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)椋?，故A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)椋?br>所以向量在向量上的投影向量為，故B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，所以不平行，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)椋圆淮怪?，故D錯(cuò)誤；
故選：AB.
10. 下列命題中正確的是（ ）
A. 已知隨機(jī)變量，則
B. 已知隨機(jī)變量，若函數(shù)為偶函數(shù)，則
C. 數(shù)據(jù)第80百分位數(shù)是8
D. 樣本甲中有件樣品，其方差為，樣本乙中有件樣品，其方差為，則由甲乙組成的總體樣本的方差為
【答案】ABC
【解析】對(duì)于A，因?yàn)椋?br>所以，，A正確；
對(duì)于B，因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以，
，所以區(qū)間和區(qū)間是關(guān)于的對(duì)稱區(qū)間，所以，B正確；
對(duì)于C，因?yàn)椋詳?shù)據(jù)第80百分位數(shù)是8，C正確；
對(duì)于D，記樣本甲，乙的平均數(shù)分別為，由甲乙組成的總體樣本的平均數(shù)為，
由甲乙組成的總體樣本的方差為，D不正確.
故選：ABC
11. 定義在上的函數(shù)，滿足，且當(dāng)時(shí)，，則使得在上恒成立的可以是（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】ABC
【解析】由題意可知，如圖所示
當(dāng)時(shí)，，
即；
當(dāng)時(shí)，，
故；
當(dāng)時(shí)，，
故；
令，
解得或，
所以或，
所以的最大值為.
即.
故選：ABC.

非選擇題部分
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．把答案填在題中的橫線上．
12. _______
【答案】152
【解析】
，
，
故.
故答案為：152
13. 一位射擊運(yùn)動(dòng)員向一個(gè)目標(biāo)射擊二次，記事件“第次命中目標(biāo)” ，，，則______．
【答案】
【解析】由題意，，
所以.
又，
所以，
所以.
故答案為：
14. 已知在三棱錐中，，點(diǎn)為三棱錐外接球上一點(diǎn)，則三棱錐的體積最大為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】在三棱錐中，由且，可得，
取的中點(diǎn)，連接，
因?yàn)?，，可得?br>所以點(diǎn)為三棱錐的外接球的球心，其中為外接球的直徑，
設(shè)外接球的半徑為，可得，
當(dāng)點(diǎn)到平面的距離為時(shí)，此時(shí)三棱錐的體積最大，
體積的最大值為.
故答案為：.
四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
15. 在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且
（1）若，求的值；
（2）若，且的面積為，求和的值．
解：（1）因?yàn)?，?br>所以，
所以；
（2）由，由正弦定理得，
又，
所以，
又，因?yàn)?，所以，所以?br>解得.
16. 已知四棱錐，⊥面，底面為正方形，，為的中點(diǎn)．
（1）求證：面；
（2）求直線與面所成的角．
解：（1）因?yàn)槊?，平面?br>所以⊥，
因?yàn)樗倪呅螢檎叫危?br>所以⊥，
又，平面，
故⊥平面，
因?yàn)槠矫妫?br>所以⊥，
又，故，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，
所以，
因?yàn)?，平面?br>故平面；
（2）方法1：因?yàn)?，平面，平面?br>所以平面，
點(diǎn)B到面的距離就是點(diǎn)到面距離，
由勾股定理得，
又，
由（1）得點(diǎn)A到面距離為．
記直線與面所成角為，故，
故；
方法2：設(shè)，則，，
故，
且，
因?yàn)椋?br>所以，
，
記直線與面所成角為，，
；
方法3：設(shè)，
以為軸，為軸，為軸建立直角坐標(biāo)系，
，
故，，
設(shè)平面的法向量為，
則，
解得，令，則，
故，
記直線與面所成角為，，
．
方法4：將四棱錐還原為立方體，取的中點(diǎn)，連接，
因?yàn)榍遥?br>故四邊形為平行四邊形，故，
由（1）知，平面，
故面，

為直線與面所成的角，記為，
且，故，
.
17. 已知的最小正周期為，
（1）求的值；
（2）若在上恰有個(gè)極值點(diǎn)和個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
解：（1）因?yàn)?br>，
由函數(shù)的最小正周期為且，即，解得，
所以，
所以．
（2）由（1）可得，
因?yàn)椋?br>所以，
要使在上恰有個(gè)極值點(diǎn)和個(gè)零點(diǎn)，則需，
解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
18. 為了了解高中學(xué)生課后自主學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)間（分鐘/每天）和他們的數(shù)學(xué)成績(jī)（y分）的關(guān)系，某實(shí)驗(yàn)小組做了調(diào)查，得到一些數(shù)據(jù)（表一）．
（1）求數(shù)學(xué)成績(jī)與學(xué)習(xí)時(shí)間的相關(guān)系數(shù)（精確到0.001）；
（2）請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)說(shuō)明該組數(shù)據(jù)中與之間的關(guān)系可用線性回歸模型進(jìn)行擬合，并求出關(guān)于的回歸直線方程，并由此預(yù)測(cè)每天課后自主學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)間為100分鐘時(shí)的數(shù)學(xué)成績(jī)（參考數(shù)據(jù)：，的方差為200
（3）基于上述調(diào)查，某校提倡學(xué)生周末在校自主學(xué)習(xí)．經(jīng)過(guò)一學(xué)期的實(shí)施后，抽樣調(diào)查了220位學(xué)生．按照是否參與周末在校自主學(xué)習(xí)以及成績(jī)是否有進(jìn)步統(tǒng)計(jì)，得到列聯(lián)表（表二）．依據(jù)表中數(shù)據(jù)及小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析“周末在校自主學(xué)習(xí)與成績(jī)進(jìn)步”是否有關(guān)．
附：，
．
解：（1），，
又的方差為，
；
（2）由（1）知接近1，故與之間具有極強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，
可用線性回歸直線方程模型進(jìn)行擬合，
，
，
故，當(dāng)時(shí)，，
故預(yù)測(cè)每天課后自主學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)間達(dá)到100分鐘時(shí)的數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?40.5分；
（3）零假設(shè)為：學(xué)生周末在校自主學(xué)習(xí)與成績(jī)進(jìn)步無(wú)關(guān)．
根據(jù)數(shù)據(jù)，計(jì)算得到：
因?yàn)椋?br>所以依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為“周末自主學(xué)習(xí)與成績(jī)進(jìn)步”有關(guān)．
19. 已知
（1）當(dāng)時(shí)，解關(guān)于的不等式；
（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的值；
（3）當(dāng)時(shí)，的最大值，最小值為，若，求的取值范圍.
解：（1）當(dāng)時(shí)，
或，所以或
于是不等式的解集為.
（2），
當(dāng)時(shí)，的對(duì)稱軸為，
所以在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，的對(duì)稱軸為，
所以在單調(diào)遞增；
綜上所述，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增，
又因?yàn)?，有兩個(gè)零點(diǎn)，
所以，即又，得.
于是，
由，解得，，
所以.
（3），
當(dāng)時(shí)，在遞增，在遞減，在遞增，
，
當(dāng)時(shí)，在上遞增，
所以，，
由，得，不滿足，
當(dāng)，即時(shí)，，則，
所以，
則，，
由，得，則，
得，
所以，
當(dāng)，即時(shí)，由，則，
所以，
所以，，
由，得，得，所以，
綜上，的取值范圍為
編號(hào)
1
2
3
4
5
學(xué)習(xí)時(shí)間
30
40
50
60
70
數(shù)學(xué)成績(jī)
65
78
85
99
108
沒(méi)有進(jìn)步
有進(jìn)步
合計(jì)
參與周末在校自主學(xué)習(xí)
35
130
165
未參與周末不在校自主學(xué)習(xí)
25
30
55
合計(jì)
60
160
220
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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