數(shù)學(xué)試題
總分：150分 時(shí)量：120分鐘
考試時(shí)間：2024年10月29日
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
2．已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則（ ）
A．0B．C．D．2
3．已知三角形ABC為單位圓O的內(nèi)接正三角形，則（ ）
A．B．C．1D．
4．已知角的終邊上一點(diǎn)，則（ ）
A．1B．C．D．
5．若的展開(kāi)式中的系數(shù)為，則a的值為（ ）
A．1B．2C．D．
6．已知函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，為偶函數(shù)，且．則不等式的解集為（ ）
A．B．
C．D．
7．函數(shù)的圖象由函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，則的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
8．已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，，，點(diǎn)P滿足．設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線W，直線若直線l與曲線W交于不同的兩點(diǎn)A，B，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且有，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。
9．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．B．
C．使的最小正整數(shù)n為13D．的最小值為
10．已知為函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，則（ ）
A．的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)
B．的解集為
C．時(shí)，
D．時(shí)，，則的最大值為4
11．已知中，，，E，F(xiàn)分別在線段BA，CA上，且，．現(xiàn)將沿EF折起，使二面角的大小為．以下命題正確的是（ ）
A．若，，則點(diǎn)F到平面ABC的距離為
B．存在使得四棱錐有外接球
C．若，則棱錐體積的最大值為
D．若，三棱錐的外接球的半徑取得最小值時(shí)，
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分。
12．已知F為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上， O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則的面積為_(kāi)_______．
13．曲線的一條切線為，則________．
14．小王和爸爸玩卡片游戲，小王拿有2張標(biāo)有A和1張標(biāo)有B的卡片，爸爸有3張標(biāo)有B的卡片，現(xiàn)兩人各隨機(jī)取一張交換，重復(fù)n次這樣的操作，記小王和爸爸每人各有一張A卡片的概率記為，則________，________．
四、解答題：本大題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。
15．（13分）設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知．
（1）求A；
（2）若，BC邊的中線是AD，求．
16．（15分）如圖，直四棱柱的體積為12，，，的面積為．
（1）求證：平面；
（2）求A到平面的距離；
（3）若，平面平面，求平面與平面夾角的正弦值．
17．（15分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足：．
（1）求動(dòng)點(diǎn)E的軌跡方程；
（2）過(guò)作直線交曲線的y軸左側(cè)部分于A，B兩點(diǎn)，過(guò)作直線交曲線的y軸右側(cè)部分于C，D兩點(diǎn)，且，依次連接A，B，C，D四點(diǎn)得四邊形ABCD，求四邊形ABCD的面積的取值范圍．
18．（17分）已知定義域?yàn)榈膬蓚€(gè)函數(shù)與滿足，．
（1）若有且僅有兩個(gè)整數(shù)使關(guān)于x的不等式成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）求函數(shù)的極值；
（3）若，判斷的符號(hào)，并說(shuō)明理由．
19．（17分）已知表示數(shù)列，，，…，中最大的項(xiàng)，按照以下方法：，，，…，得到新數(shù)列，則稱(chēng)新數(shù)列為數(shù)列的“數(shù)列”．
（1）已知數(shù)列僅有5項(xiàng)，各項(xiàng)互不相等，，且，請(qǐng)寫(xiě)出所有的“數(shù)列”；
（2）若滿足，，且數(shù)列為等差數(shù)列，的“數(shù)列”為．
（ⅰ）求；
（ⅱ）求的前n項(xiàng)和．
湖南省湘東十校2024年10月高三聯(lián)考
數(shù)學(xué)參考答案
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．D【解析】，，∴．
2．B【解析】，，．
3．A【解析】．
4．A【解析】由三角函數(shù)定義知，，．
5．B【解析】，解得．
6．A【解析】已知函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以得到為奇函數(shù)，
又為偶函數(shù)，
，
，
，，
∴，
又為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，
∴．
7．C【解析】由題意可知，的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即方程解的個(gè)數(shù)，即的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，畫(huà)圖即可得．
8．C【解析】由，得到曲線．設(shè)AB的中點(diǎn)為C，則，
∵，∴，
∴，∴，
∵，即，
又∵直線與圓交于不同的兩點(diǎn)A，B，
∴，故，則，∵，∴．
二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。
9．BCD【解析】，∴A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，，∴B正確；
C選項(xiàng)，由解得，正確；
D選項(xiàng)，，時(shí)，，
∴當(dāng)或4時(shí)，取得最小值為，D正確．
10．AD【解析】由題意可得，∴，易知，A正確；
且，∴B錯(cuò)誤；
∵當(dāng)時(shí)，，而在上單調(diào)遞減，
∴，∴C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)由圖象可得正確．
11．ACD【解析】，，
A選項(xiàng)：利用，所以A正確；
B選項(xiàng)：由于四邊形EFCB不可能共圓，所以四棱錐無(wú)外接球，所以B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)：若，時(shí)，三棱錐體積取最大值，所以C正確；
D選項(xiàng)：由題意可知，，，設(shè)外接球半徑為r，
則，，
所以時(shí)，取得最小值，此時(shí)，所以D正確．
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分。
12．【解析】法一：設(shè)橢圓上，則，又，聯(lián)立解得，，
則．
法二：設(shè)橢圓的另一焦點(diǎn)，，則焦點(diǎn)為直角三角形，其面積為，
則．
13．【解析】，令，則，切點(diǎn)代入直線得．
14．（第一空2分，第二空3分）
【解析】記n次這樣的操作小王恰有一張A卡片的概率為，有兩張A卡片的概率為，
則，，
，
，
重復(fù)n次這樣的操作，
，
，又，所以．
四、解答題：本大題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。
15．【解析】（1）由及正弦定理，知
，2分
即，
∴，，
∴． …………………………………………6分
（2）由得，
，…………………………………………8分
設(shè)，
∵的面積等于的面積，
∴，
即，…………………………………………10分
又∵，
∴，
即得．…………………………………………13分
16．【解析】（1）∵，平面，
∴平面，…………………………………………2分
又∵，平面，
∴平面，…………………………………………4分
∵，
∴平面平面，
∵平面，
∴平面．…………………………………………6分
（2）連接AC，∵，∴，
設(shè)A到平面的距離為d，
又，知，∴，
即點(diǎn)A到平面的距離為．…………………………………………9分
（3）連接，∵，∴是正方形，∴．
∵平面平面，平面平面，
∴平面，
∴，
∵底面ABCD，
∴，
∵，
∴平面，
∴， …………………………………………11分
由，知，∵的面積為，∴，
直線AB，BC，兩兩垂直，分別以，，為x軸、y軸、x軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
則，，，，，，
設(shè)平面的法向量為，，，
，即，令，則，，，
…………………………………………13分
平面的法向量為，
設(shè)平面與平面的夾角為，
則，
∴平面與平面角的正弦值為．…………………………………15分
17．【解析】（1）由，得，
所以動(dòng)點(diǎn)E的軌跡是以，為焦點(diǎn)，為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的雙曲線，2分
而且，，，
所以所求軌跡方程為．…………………………………………5分
（2）由題意可知且，∴四邊形ABCD為平行四邊形，…………6分
直線AB，CD的斜率必不為0，所以可設(shè)直線為，，，
聯(lián)立，
化簡(jiǎn)得，…………………………………………7分
所以，
解得， …………………………………………8分
∴，…………………………9分
原點(diǎn)O到直線的距離為，…………………………………10分
所以， …………………………………11分
令，又，則，
記，易知在單調(diào)遞增，…………………………13分
所以當(dāng)，即時(shí)，有最小值6，時(shí)，，……14分
所以，
故平行四邊形ABCD的面積的取值范圍為．……………………………15分
18．【解析】（1）由，，解得，， …………………………………………1分
因?yàn)椋栽坏仁娇苫癁椋?br>即，為滿足題意，必有，即或，①
…………………………………………2分
令，
由于，，結(jié)合①可得，……………………3分
所以的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間上，另一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間上，
從而，即，②
由①②可得或．…………………………………………5分
（2）法一：由題意有，
則，
而，在上單調(diào)遞增，……………………………6分
令，得，即，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，……8分
所以當(dāng)，即時(shí)，
函數(shù)有極大值
，無(wú)極小值．………10分
法二：依題意有
，
令，則，………………………6分
因?yàn)楹瘮?shù)，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
因?yàn)?，所以，由，得，即?br>當(dāng)時(shí)，；時(shí)，，
…………………………………………9分
所以復(fù)合函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以函數(shù)有最大值，無(wú)最小值．……………………………10分
（3）∵，……………………………12分
記，則，
時(shí)，，時(shí)，，…………………………………14分
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，…………………15分
所以，
∴在上單調(diào)遞增，又， …………………………………………16分
∴時(shí)，時(shí)，時(shí)，；時(shí)，． …………………………………………17分
19．【解析】（1）因?yàn)閿?shù)列僅有5項(xiàng)，各項(xiàng)均為互不相等的正整數(shù)，且，，
所以，，
若，此時(shí)“數(shù)列”為5，5，5，5，1；………………………1分
若，此時(shí)“數(shù)列”為5，5，5，5，2；………………………2分
若，此時(shí)“數(shù)列”為5，5，5，5，3；………………………3分
若，此時(shí)“數(shù)列”為5，5，5，5，4，………………………4分
所以根據(jù)“數(shù)列”的定義可知有4個(gè)，分別為5，5，5，5，1或5，5，5，5，2或5，5，5，5，3或5，5，5，5，4． …………………………………………5分
（2）（?。┮?yàn)闉榈炔顢?shù)列，設(shè)數(shù)列的公差為d，
且，，
所以，，，………………………6分
所以等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，公差為2，
所以，則．…………………………………………7分
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，
當(dāng)且n為偶數(shù)時(shí)，，
所以，數(shù)列單調(diào)遞減． …………………………………………8分
由“數(shù)列”的定義，可知，，
當(dāng)且為奇數(shù)時(shí)，，
當(dāng)且為偶數(shù)時(shí)，，且單調(diào)遞減，………………………9分
故，
所以． …………………………………………10分
（ⅱ）由（?。┛芍?dāng)n為偶數(shù)時(shí)，
，，，…………………………11分
，①
，② …………………………………12分
由，得
， …………………………………………14分
所以；…………………………………………15分
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，
則
， …………………………………………16分
故．…………………………………17分題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
B
A
A
B
A
C
C
題號(hào)
9
10
11
答案
BCD
AD
ACD

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