數(shù)學
本試卷共 4 頁．全卷滿分 150 分，考試時間 120 分鐘．
注意事項：
1．答題前，考生務必將自己的姓名，準考證號填寫在本試卷和答題卡上．
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應的答案標號涂黑，如有改動，
用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上
無效．
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
一、單項選擇題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分．在每小題給出的四個選項中，只有
一項是符合題目要求的．
1．設(shè)集合 ，若 ，則
A． B． C． D．
2． 的虛部為
A． B． C． D．
3．已知函數(shù) ，則
A． B．1 C． D．
4．已知非零向量 滿足 ，且 ，則
A． B． C．1 D．
5．記數(shù)列 的前 項和為 ，若數(shù)列 是公差為 1 的等差數(shù)列，則
A．1 B．2 C．2025 D．2022
6．已知 ，則
A．1 B． C． D．2
7．已知球與圓臺的上下底面和側(cè)面都相切，若圓臺的母線長為 6，下底面半徑是上底面半徑的 2 倍，則球
的表面積為
A． B． C． D．
8．在直角坐標系 中， 分別為橢圓 的左、右焦點，過點 作 軸的垂
線交 于 兩點，連接 并延長交 于另一點 ，且 ，則 的長軸長為
A．7 或 10 B．6 C．7 或 9 D．10
二、多項選擇題：本題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分．在每小題給出的選項中，有多項符
合題目要求，全部選對得 6 分，部分選對得部分分，選錯得 0 分．
9．已知函數(shù) ，則
A． 的最小值為
B． 的最小正周期為
C． 的圖象關(guān)于直線 對稱
D．將 的圖象向右平移 個單位長度，得到 的圖象
10．設(shè) ，則使得“ ”成立的一個充分不必要條件是
A． B． C． D．
11．已知等比數(shù)列 的公比 ，當 取得最小值時，下列說法正確的是
A． B． 不為整數(shù)
C． 中有且僅有一項為奇數(shù) D． 中的所有整數(shù)之和
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分．
12．某高三年級組采用隨機抽樣的方式抽取了 20 名學生在某次數(shù)學周測中解答填空壓軸題的時間記錄如下
表：
解答時間/分鐘
頻數(shù) 2 8 8 2
根據(jù)上表數(shù)據(jù)估計這 20 名學生解答時間的平均值為_________，中位數(shù)為_________．
13．已知 為拋物線 上一點，以 為圓心，1 為半徑作得圓 ．過點 作圓 的兩條切
線，切點分別為 ，則四邊形 MANB 周長的最小值是________．
14．若 ，則 ________．
四、解答題：本題共 5 小題，共 77 分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
15．（13 分）記 的內(nèi)角 所對的邊分別為 ，且 ．
（1）求 ；
（2）若 ，求 外接圓面積的最小值．
16．（15 分）如圖四棱錐 中， 平面 ，
．
（1）證明： 平面 ；
（2）求直線 與平面 所成角的正弦值．
17．（15 分）在直角坐標系 中，已知雙曲線 的離心率為 ，且 的實軸
長為 4．
（1）求 的標準方程；
（2）設(shè) 的上焦點為 ，過第一象限 上一點 分別作直線 與 的垂線，垂足分別為點
，直線 交 于另一點 ，當四邊形 的面積為 8 時，求 的值．
18．（17 分）已知函數(shù) ．
（1）若 ，且 與 在切點 處的切線相同，求 的值；
（2）在（1）的條件下，求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間；
（3）若 與 的圖象有兩個不同的交點，探究 與 在這兩個交點處是否各存在
一條與兩函數(shù)圖象相切的公切線？若存在，求出一組滿足題意的 的值；若不存在，給出證明．
19．（17 分）在概率統(tǒng)計中，我們常常通過觀測到的實驗結(jié)果應用極大似然估計法來估計某參數(shù)的取值．設(shè)
為其分布列與未知參數(shù) 有關(guān)的離散型隨機變量，其中 的取值范圍為 ．若對已知結(jié)果 ，有
，且 ，有 成立，則稱 為 在 下的一個極
大似然估計．
（1）（i）若 服從二項分布 ，求 在 下的極大似然估計；
（ii）若 服從二項分布 ，求 在 下的極大似然估計．
（2）若某臺抽獎機上有一個按鈕，參與者需要連續(xù)快速點擊按鈕來累積積分換取獎品．已知每次點擊按鈕
后，獲得 1 積分的概率為 ，不獲得積分的概率為 ．小麗參加這個抽獎活動后總共獲得了
積分，用極大似然估計的方法估計她點擊按鈕的總次數(shù) 的取值為 ，證明： ，并指出等號成
立的條件．
三湘名校教育聯(lián)盟 五市十校教研教改共同體
2025 屆高三 2 月入學大聯(lián)考·數(shù)學
參考答案、提示及評分細則
1．【答案】D
【解析】由 可知 ，當 時， ，解得 或 ，即
．故 ，故選 D．
2．【答案】A
【解析】 ，其虛部為 ，故選 A．
3．【答案】B
【 解 析 】 易 得 函 數(shù) 的 定 義 域 為 ， 且
，故選 B．
4．【答案】B
【解析】由 兩邊平方得 ，整理得 ，所以
，所以 ，故選 B．
5．【答案】A
【 解 析 】 易 知 ， 故 ， 當 時 ， ， 兩 式 相 減 得
，即 ，故 為常數(shù)列，則 ，故 ，故選 A．
6．【答案】C
【 解 析 】 由 ， 可 得 ， 即 ， 即 有
， 解 得 ， 故
，故選 C．
7．【答案】D
【解析】考慮圓臺的軸截面（如圖），記球的半徑為 ，兩底面圓圓心分別為 ，線段 的中點為
，易知 ．作 ，由過圓外一點作圓的切線，切線長相等得 ，于是
， 而 ， 故 可 知 ， 故
，即 ，故球的表面積 ，故選 D．
8．【答案】D
【 解 析 】 由 題 意 可 知 ， 設(shè) 橢 圓 的 半 長 軸 長 為 ， 則
， ，在 中，
， 在 中 ，
，所
以 ，整理得 ，即 ，解得 或 ，
當 時 ， ， 不 滿 足 題 意 ， 故 舍 去 ； 當 時 ，
，滿足題意，故 的長軸長為 10，故選 D．
9．【答案】BC
【解析】 ，最小值為－2，故 A 錯誤；由最小正周期 ，
可 知 B 正 確 ； 因 為 ， 故 C 正 確 ； 將 的 圖 象 向 右 平 移 個 單 位 長 度 ， 得 到
的圖象，故 D 錯誤，故選 BC．
10【答案】BCD
【解析】由題意可得 ，易知函數(shù) 單調(diào)遞增，故 ，對于 A，
， 故 “ ” 是 “ ” 的 充 要 條 件 ， 故 A 錯 誤 ； 對 于 B， 由
得 ， 能 推 出 ， 反 之 不 成 立 ， 所 以 “ ” 是
“ ” 的 充 分 不 必 要 條 件 ， 故 B 正 確 ； 對 于 C， 由 可 得 ， 故
，反之不成立，故“ ”是“ ”的充分不必要條件，故 C 正確；對
于 D， 或 ，故“ ”是“ ”的充分不必要條件，故 D 正
確，故選 BCD．
11．【答案】BCD
【解析】由題意可得 ，要使 取得最小值，則函數(shù) 要取得最小值，
這等價于函數(shù) 取得最小值，易得 ，因為
，所以當 時， 單調(diào)遞減，當 時， 單調(diào)遞增，故當 時， 取
得最小值，故 A 錯誤； 不為整數(shù)，故 B 正確；由于 ，若 為 4 的倍數(shù)，
則 為整數(shù)；若 不為 4 的倍數(shù)，則 不為整數(shù)，且 均不為整數(shù)，將 代入，解得
，則 均不為整數(shù)，所以 中有且僅有一項為奇數(shù)， 中的所有整
數(shù)之和 ，故 CD 正確，故選 BCD．
12【答案】10，10（第一個空 3 分，第二個空 2 分）
【解析】 ．因為解答時間位于區(qū)間 的頻率為
，所以解答時間的中位數(shù)為 10．故答案為 10，10．
13．【答案】
【 解 析 】 易 得 ， 其 中 ． 設(shè) 點
，則 ，故 ，于是四邊形 周長的最小值
是 ．故答案為 ．
14．【答案】－7
【解析】等式兩邊求導可得 ，代入 ，有 ，
故 ，故答案為－7．
15．【解析】（1）由已知得 ，由正弦定理得 ，
因為 ，所以 ，即 ，
又因為 ，所以 ．
（2）外接圓半徑 ，要使外接圓的半徑最小，只需 最小，
而 ，
當且僅當 時取等號，此時 ，則 ．
故 外接圓面積的最小值為 ．
16．【解析】（1）證明：如圖，取 的中點 ，連接 ，因為 ，
所以四邊形 為平行四邊形，則 ，
又 ，所以 ，則 ，所以 ，
因為 平面 平面 ，所以 ，
因為 平面 平面 ，所以 平面 ．
（2）因為 ，所以 ，易知四邊形 為矩形，所以 ，
又 ，所以 ，所以 為等腰直角三角形，其斜邊上的高為 ．
以 為坐標原點， 所在直線分別為 軸， 軸，過 作垂直于平面 的直線為 軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系，則 ，
，
，
設(shè)平面 的法向量為 ，則
取 ，可得 ．
設(shè)直線 與平面 所成角為 ，則 ，
故直線 與平面 所成角的正弦值為 ．
17．【解析】（1）由 的實軸長為 4，得 ，
由 ，得 ，
故 的標準方程為 ．
（2）設(shè) ，
點 到直線 的距離 ，同理點 到直線 的距離 ，
因為直線 與 互相垂直，所以四邊形 為矩形，
其面積為 ，
由 點 在 上 ， 得 ， 所 以 ， 所 以
，因為 在第一象限，所以 ，
代入 的方程得 ，所以 ，又 ，
所以直線 的方程為 ，與 聯(lián)立消 整理得 ，
由 ，得 ，
由平面幾何知識可得 ．
18．【解析】（1）易得 ，則 ，
，
，
解得 ．
（2）由題意可得 ，
則 ，
故 在 單調(diào)遞增，所以 的單調(diào)遞增區(qū)間為 ，無單調(diào)遞減區(qū)間．
（3）法一：由題意可轉(zhuǎn)化為 兩次與 軸相切．
，可轉(zhuǎn)化為 存在兩個變號零點，
設(shè) ，其中 ，
顯然 ，
則 在區(qū)間 和 上為正，在區(qū)間 上為負，
若 ，則 ；若 ，則 不可能與 軸相切兩次，
故不存在．
法二：假設(shè)存在滿足題意的實數(shù) ，設(shè)切點分別為 ，不妨 ，
則 ，即 ，則 ，
則關(guān)于 的二次方程 有兩相異實根，故 ，
同時 ，顯然 ，
而 相減得 ，
整理得 ，故 ，
先證 ，即證 ，
令 ，設(shè)函數(shù) ，則 ，
故 在定義域內(nèi)單調(diào)遞減， ，原不等式成立，
則 ，兩邊平方得 ，由于 ，故 ，得 與 ，矛盾，
故不存在．
19．【解析】（1）（i）由題意可得 ，
故當 時取最大值，其極大似然估計為 ．
（ii）由題得 ，且 ，
，
令 ，則 ，
其中 ．當 時， ，則 ；
當 時，有 ；當 時， ，故 在 或 有最大值，
則 在 下的極大似然估計為 5 或 6．
（2）顯然有 ，設(shè) 次點擊后獲得的積分為隨機變量 ，由題可知 服從二項分布 ，
則 ，
同（1）（ii）設(shè) ，
則 ．
當 ，即 時， ，
當 時， ，當 時， ．
①：若 為整數(shù)，則對 的極大似然估計 為 和 ，滿足 ，當 時等號成立，
②：若 不為整數(shù)，記 為小于 的最大整數(shù)，則 ，則 時， ；
當 時， ，
則 的極大似然估計 為 ，故 ，綜上可知：等號能成立的條件為 ．

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