本試卷共4頁，22小題，滿分150分．考試時(shí)間120分鐘．
注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生要?jiǎng)?wù)必填寫答題卷上的有關(guān)項(xiàng)目．
2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答案涂在答題卷相應(yīng)的位置上．
3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卷各題目指定區(qū)域內(nèi)；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液，不按以上要求作答的答案無效．
4．請考生保持答題卷的整潔．考試結(jié)束后，將答題卷交回．
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知集合,,則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
化簡集合A，再求交集.
【詳解】
故選：C
【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合間的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.
2. 下列函數(shù)既是偶函數(shù),又在區(qū)間上是減函數(shù)的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)奇偶性的判斷排除B選項(xiàng)，根據(jù)單調(diào)性排除A，D.
【詳解】令，，則為偶函數(shù)
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤；
令，則，則函數(shù)為奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；
令，，則函數(shù)為偶函數(shù)
在區(qū)間上單調(diào)遞減，則在區(qū)間上是減函數(shù)，故C正確；
令，，則函數(shù)是偶函數(shù)
令
因，所以，即
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故D錯(cuò)誤；
故選：C
【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用函數(shù)奇偶性以及單調(diào)性定義判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.
3. 若a，b是實(shí)數(shù)，則是的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分又不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】由對數(shù)函數(shù)單調(diào)性即可得到二者之間的邏輯關(guān)系.
【詳解】由可得；但是時(shí)，不能得到.
則是的必要不充分條件
故選：B
4. 函數(shù)的最大值為（）
A. B. C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】
利用誘導(dǎo)公式得出，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，得出最大值.
【詳解】
即當(dāng)時(shí)，取最大值
故選：D
【點(diǎn)睛】本題主要考查了誘導(dǎo)公式以及正弦型函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題.
5. 設(shè),,,則a,b,c的大小關(guān)系是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用的單調(diào)性比較，與比較即可得出答案.
【詳解】，則
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，則
所以
故選：A
【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用冪函數(shù)以及對數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大小，屬于基礎(chǔ)題.
6. 函數(shù),的大致圖象為（ ）
A. aB.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
判斷函數(shù)奇偶性，取特殊值判斷即可.
【詳解】令，，則函數(shù)為奇函數(shù)，則排除D；
，則排除
故選：B
【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)圖象的識(shí)別，屬于基礎(chǔ)題.
7. 已知定義在R上的函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的,且有如下對應(yīng)值表:
那么函數(shù)一定存在零點(diǎn)的區(qū)間是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用零點(diǎn)存在性定理判斷即可.
【詳解】
則函數(shù)一定存在零點(diǎn)的區(qū)間是
故選：B
【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)所在區(qū)間，屬于基礎(chǔ)題.
8. 為配制一種藥液，進(jìn)行了二次稀釋，先在容積為40L的桶中盛滿純藥液，第一次將桶中藥液倒出用水補(bǔ)滿，攪拌均勻，第二次倒出后用水補(bǔ)滿，若第二次稀釋后桶中藥液含量不超過容積的60%，則V的最小值為（）
A5B. 10C. 15D. 20
【答案】B
【解析】
【分析】依據(jù)題意列出不等式即可解得V的最小值.
【詳解】由，解得
則V的最小值為10.
故選：B
二、多項(xiàng)選題：本題共4小題，每小題5分，滿分20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 設(shè)，且，則下列結(jié)論一定正確的是（）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷AD，列舉例子判斷BC.
【詳解】A.，同除可得，A正確；
B.當(dāng)時(shí)，，B錯(cuò)誤；
C.若，此時(shí)有，C錯(cuò)誤；
D.，故，D正確.
故選：AD.
10. 已知，則（）
A. B.
C. D. 角可能是第二象限角
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件結(jié)合誘導(dǎo)公式、同角公式逐項(xiàng)分析、計(jì)算并判斷作答.
【詳解】因，則是第一象限或者第四象限角，
當(dāng)是第四象限角時(shí)，，A不正確；
，B正確；
，C正確；
因是第一象限或者第四象限角，則不可能是第二象限角.
故選：BC
11. 以下結(jié)論正確的是（）
A. 函數(shù)的最小值是4
B. 若且，則
C. 若，則的最小值為3
D. 函數(shù)的最大值為0
【答案】BD
【解析】
【分析】結(jié)合基本不等式的知識(shí)對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.
【詳解】A.對于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.
B由于，所以，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以B選項(xiàng)正確.
C.，
但無解，所以等號(hào)不成立，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.
D.由于，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以D選項(xiàng)正確.
故選：BD
12. 已知函數(shù)，則下列判斷正確的是（）
A. 為奇函數(shù)
B. 對任意，且，則有
C. 對任意，則有
D. 若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是
【答案】BCD
【解析】
【分析】舉出反例可得函數(shù)不是奇函數(shù)，A錯(cuò)誤；
研究二次函數(shù)的單調(diào)性得到B正確；
分情況討論并計(jì)算可判斷C正確；
構(gòu)造函數(shù)，將函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題可判斷D正確．
【詳解】A選項(xiàng)，，即，則不是奇函數(shù)，即A不正確；
B選項(xiàng)，時(shí)，，對稱軸為，開口向下，故在上遞增，
時(shí)，對稱軸為，開口向上，故在上遞增，
且，于是得在R上單調(diào)遞增，
則，B正確；
C選項(xiàng)，時(shí)，，
時(shí)，，
時(shí)，
綜上得：對任意，則有成立，C正確；
D選項(xiàng)，因?yàn)?，則0不是的零點(diǎn)，
時(shí)，，
令，依題意函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)公共點(diǎn)，
時(shí)，令，解得：，
結(jié)合可得：，
令，解得：，
結(jié)合可得：，
時(shí)，恒成立，
綜上：時(shí)，時(shí)，，
于是得，
由對勾函數(shù)知，在上遞減，在上遞增，又在上遞減，在上遞增，如圖：
直線與的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，，直線與的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，，
從而得函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)或，
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是，D正確．
故選：BCD．
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，滿分20分．
13. 計(jì)算:________.
【答案】
【解析】
【分析】
由指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡即可得出答案.
【詳解】
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題主要考查了指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.
14. 已知扇形圓心角為，弧長為，則扇形的面積為___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用圓心角和弧長求出半徑，根據(jù)扇形面積公式求解即可.
【詳解】依題意，扇形的半徑，
所以扇形的面積，
故答案為：.
15. 已知，則______．
【答案】
【解析】
【分析】由題意利用二倍角的正切公式求得的值，再利用兩角和的正切公式求得的值．
【詳解】已知，，
則，
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查二倍角的正切公式，兩角和的正切公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
16. 已知函數(shù)，若對于任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是___________．
【答案】
【解析】
【分析】先判斷在上是奇函數(shù)和增函數(shù)，故題意可轉(zhuǎn)化成，求即可求解
【詳解】的定義域?yàn)?，且，所以為奇函?shù)，
，
對任意
，
所以為單調(diào)遞增函數(shù)，
由，得，即，
所以，即恒成立，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，
所以，解得，
故答案為：．
四、解答題：本題共6小題，滿分70分．解答須寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 已知集合或，集合.
（1）當(dāng)時(shí)，求；
（2）若是空集，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）先根據(jù)補(bǔ)集的定義求出集合，再將集合取交集；
（2）需要分類討論集合是否為空集.
【小問1詳解】
集合，
當(dāng)時(shí)，集合，
所以.
【小問2詳解】
當(dāng)是空集時(shí)，分兩種情況：
情況一：集合時(shí)，，所以；
情況二：集合時(shí)，，要使是空集，
則需要滿足或，解得或，
所以這種情況下，實(shí)數(shù)的取值范圍為或.
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為或.
18. 已知為第一象限角,且.
（1）求的值;
（2）求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用平方關(guān)系以及二倍角的正弦公式求解即可；
（2）利用兩角和正弦公式求解即可.
【詳解】（1）
（2）
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二倍角的正弦公式以及兩角和的正弦公式，屬于基礎(chǔ)題.
19. 已知函數(shù)．其中為自然對數(shù)的底數(shù)，．
（1）判斷單調(diào)性，并用定義證明；
（2）求方程實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)．
【答案】（1）為上的單調(diào)遞減函數(shù)；證明見解析
（2）唯一的實(shí)數(shù)解
【解析】
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義判斷并證明即可；
（2）令，易知在單調(diào)遞增，又因?yàn)椋?，所以在存在唯一零點(diǎn)，從而得出結(jié)論．
【小問1詳解】
的定義域?yàn)?br>對任意的
所以為上的單調(diào)遞減函數(shù).
【小問2詳解】
由可得，令
易知在單調(diào)遞增
又因?yàn)椋?br>所以在存在唯一零點(diǎn)
所以有唯一的實(shí)數(shù)解.
20. 已知函數(shù)的最大值為1，
（1）求常數(shù)的值；
（2）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）求使成立的x的取值集合.
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）利用兩角和與差的公式化簡成為的形式，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)可得的值．
（2）將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的減區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解成立的的取值集合．
【詳解】（1）由題意：函數(shù)，
化簡得：
，
的最大值為1，
，解得：．
（2）由（1）可知．
根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)可得：，．
即，
解得：，，
的單調(diào)遞減區(qū)間為；
（3）由題意：，即，
可得：．
，．
解得：．
成立的的取值范圍是．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的化簡和計(jì)算能力，三角函數(shù)的性質(zhì)的運(yùn)用．屬于基礎(chǔ)題．
21. 國家質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)檢疫局于2004年5月31日發(fā)布了新的《車輛駕駛?cè)藛T血液、呼氣酒精含量閥值與檢驗(yàn)》國家標(biāo)準(zhǔn)．新標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，車輛駕駛?cè)藛T血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升，小于80毫克/百毫升為飲酒駕車，血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升為醉酒駕車．經(jīng)過反復(fù)試驗(yàn)，喝一瓶啤酒后酒精在人體血液中的變化規(guī)律的“散點(diǎn)圖”如下：
該函數(shù)模型如下：
根據(jù)上述條件，回答以下問題：
（1）試計(jì)算喝1瓶啤酒多少小時(shí)血液中的酒精含量達(dá)到最大值？最大值是多少？
（2）試計(jì)算喝一瓶啤酒多少小時(shí)后才可以駕車？（時(shí)間以整小時(shí)計(jì)算）
（參考數(shù)據(jù)：）
【答案】（1）喝1瓶啤酒后1.5小時(shí)血液中的酒精含量達(dá)到最大值53毫克/百毫升；（2）喝1瓶啤酒后需6小時(shí)后才可以駕車.
【解析】
【詳解】（1）由圖可知，當(dāng)函數(shù)取得最大值時(shí)，，
此時(shí)，
當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取得最大值為.
故喝1瓶啤酒后1.5小時(shí)血液中的酒精含量達(dá)到最大值53毫克/百毫升.
（2）由題意知，當(dāng)車輛駕駛?cè)藛T血液中的酒精小于20毫克/百毫升時(shí)可以駕車，此時(shí).
由，得：，
兩邊取自然對數(shù)得：
即，
∴，故喝1瓶啤酒后需6小時(shí)后才可以駕車.
22. 已知函數(shù)．
（1）試判斷函數(shù)的奇偶性，并證明；
（2）若對任意的，都有不等式恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
【答案】（1）偶函數(shù)；證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷并證明；
（2）利用參變量分離法可得在上恒成立，利用換元法(令)及函數(shù)的單調(diào)性求出的最大值，即可求解的取值范圍．
【小問1詳解】
的定義域?yàn)?br>所以為偶函數(shù).
【小問2詳解】
對任意的，都有不等式恒成立，
∴恒成立，
即在上恒成立，
即在上恒成立，
令
∴
令
當(dāng)且時(shí)，，則
當(dāng)且時(shí)，，則
可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
又，所以在上的最大值為
∴，即實(shí)數(shù)k的取值范圍是．x
1
2
3
4
5
3

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