湖北剩州市2022_2023學年高一數(shù)學上學期期末試題含解析

這是一份湖北剩州市2022_2023學年高一數(shù)學上學期期末試題含解析，共17頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1. 已知集合，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由定義域以及指數(shù)函數(shù)的值域求法化簡集合，再求交集.
【詳解】解：，，
．
故選：B
2. “”是“”的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)終邊相同的角的三角函數(shù)值相等，結合充分不必要條件的定義，即可得到答案；
【詳解】，
當，
“”是“”的充分不必要條件，
故選：A
3. 已知，令那么，，之間的大小關系為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、余弦函數(shù)的性質比較即可.
【詳解】解：，，，，
，
故選：A．
4. 函數(shù)的零點所在區(qū)間為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)公共定義域內(nèi)判斷函數(shù)的單調(diào)性及復合函數(shù)的單調(diào)性，
得出函數(shù)的單調(diào)性，再利用函數(shù)零點的存在性定理即可求解.
【詳解】由題意可知，的定義域為，
令，則，由在上單調(diào)遞減，
在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，
所以在單調(diào)遞減.
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.
所以
故，根據(jù)零點的存在性定理，可得
函數(shù)的零點所在區(qū)間為.
故選：B.
5. 命題：，使得成立．若是假命題，則實數(shù)的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)是假命題，轉化為命題的否定為真命題求解．
【詳解】命題：，使得成立．
因為是假命題，則命題的否定為：，使得成立，為真命題．
所以，解得，
所以實數(shù)的取值范圍是．
故選：B．
6. 平面直角坐標系中，已知點在單位圓上且位于第三象限，點的縱坐標為，現(xiàn)將點沿單位圓按順時針方向運動到點，所經(jīng)過的弧長為，則點的縱坐標為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】設點對應的角為，則對應的角為，由三角函數(shù)的定義結合平方關系求解即可.
【詳解】解：設點對應的角為，則對應的角為，由題意可得，則，所以，則點的縱坐標為．
故選：D.
7. 已知函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像關于直線對稱，函數(shù)是奇函數(shù)，且當時，，則（）
A. B. 4C. D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意，即可得到函數(shù)的解析式，然后由對數(shù)的運算以及函數(shù)的奇偶性，即可得到結果.
【詳解】由于函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像關于直線對稱，
則，
所以當時，，
則，
又奇函數(shù)，則．
故選:D．
8. 已知函數(shù)恰有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由在區(qū)間上單調(diào)遞減，分類討論，，三種情況，根據(jù)零點個數(shù)求出實數(shù)a的取值范圍.
【詳解】函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且方程的兩根為.
若時，由解得或，滿足題意.
若時，，，當時，，即函數(shù)在區(qū)間上只有一個零點，因為函數(shù)恰有2個零點，所以且.
當時，，，此時函數(shù)有兩個零點，滿足題意.
綜上，
故選：D
二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合要求，全部選對得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分.
9. 已知，則下列不等式正確的是（）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)不等式的性質，冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質判斷．
詳解】當時，，A錯；
由函數(shù)是增函數(shù)得成立，B正確；
當時，，從而，C正確；
當時，與的大小不確定，比如，，因此D錯；
故選：BC．
10. 已知，，那么的可能值為（）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)題干條件和同角三角函數(shù)的平方關系建立方程組，求出正弦和余弦，進而求出正切值.
【詳解】因為①，又sin2α+cs2α=1②，
聯(lián)立①②，解得或，
因為，所以或．
故選：BD
11. 已知為正數(shù)，，則下列說法正確的是（ ）
A. B. 的最小值為1
C. 的最小值為8D. 的最小值為
【答案】BCD
【解析】
【分析】由結合基本不等式，求得的最大值，的最小值，判斷選項正誤.
【詳解】因為，為正數(shù)，，
所以，即，得，
所以，當且僅當時，等號成立.
同理，解得，當且僅當時，等號成立.
對于A，，
所以，當時，等號成立，所以A錯誤；
對于B，，當時，等號成立，所以B正確；
對于C，，當且僅當時，等號成立，所以C正確；
對于D，設，則，所以，
即，則，得，
解得，所以D正確.
故選：BCD.
12. 函數(shù)的圖象關于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，該結論可以推廣為：函數(shù)的圖象關于點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．已知函數(shù)．（）
A. 若，則函數(shù)為奇函數(shù)
B. 若，則
C. 函數(shù)的圖象必有對稱中心
D. ，
【答案】ACD
【解析】
【分析】中心對稱函數(shù)的性質，利用函數(shù)的圖象關于點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．對于AB選項，利用表達式可以直接進行判斷.選項C，直接利用定義判斷,求出對稱中心點.選項D，不等式恒成立問題，根據(jù)的函數(shù)性質證明即可.
【詳解】對于選項A，記．
因為，所以為奇函數(shù)，故選項A正確；
對于選項B，由選項A可知，從而，
所以，故選項B錯誤；
對于選項C，記．若為奇函數(shù)，則，
，即，
所以，即．
上式化簡得，．
則必有，解得，
因此當時，圖象必關于點對稱，故選項C正確；
對于選項D，由選項C可知，．
當時，是減函數(shù)，，所以
，
故選項D正確．
故選：ACD．
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分.
13. 函數(shù)的定義域為______．
【答案】
【解析】
【分析】由對數(shù)的真數(shù)大于零、二次根式的被開方數(shù)非負，分式的分母不為零，列不等式組可求得答案
【詳解】由題意得
，解得，
所以函數(shù)的定義域為，
故答案為：
14. 《九章算術》是我國古代數(shù)學名著，其中有這樣一個問題：“今有宛田，下周三十步，徑十六步，問為田幾何？”意思說：現(xiàn)有扇形田，弧長三十步，直徑十六步，問面積多少？書中給出計算方法：以徑乘周，四而一，即扇形的面積等于直徑乘以弧長再除以4，在此問題中，扇形的圓心角的弧度數(shù)是___________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意可知扇形的弧長和直徑，再計算扇形的面積和圓心角弧度數(shù).
【詳解】解：由題意，扇形的弧長，直徑，
所以扇形的圓心角弧度數(shù)是，
故答案為：.
15. 若函數(shù)在單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性性質將問題轉化為二次函數(shù)單調(diào)性問題，注意真數(shù)大于0.
【詳解】令，則，因為為減函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增等價于在上單調(diào)遞減，且，即，解得.
故答案為：
16. 已知函數(shù)集合，若集合中有3個元素，則實數(shù)的取值范圍為________．
【答案】或
【解析】
【分析】令，記的兩根為，由題知的圖象與直線共有三個交點，從而轉化為一元二次方程根的分布問題，然后可解.
【詳解】令，記的零點為，
因為集合中有3個元素，所以的圖象與直線共有三個交點，
則，或或
當時，得，，滿足題意；
當時，得，，滿足題意；
當時，，解得.
綜上，t的取值范圍為或.
故答案為：或
四、解答題：本大題共6小題，滿分70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算過程.
17. 計算下列各式的值：
（1）
（2）
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）利用指數(shù)運算性質即可得出．
（2）利用對數(shù)運算性質即可得出．
【詳解】（1）原式＝0.3．
（2）原式．
【點睛】本題考查了指數(shù)與對數(shù)的運算性質，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．
18. 設函數(shù)的定義域為集合的定義域為集合．
（1）當時，求；
（2）若“”是“”的必要條件，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出集合A，B，根據(jù)集合的補集、交集運算求解即可；
（2）由必要條件轉化為集合間的包含關系，建立不等式求解即可.
【小問1詳解】
由，解得或，
所以．
．
當時，由，即，解得，
所以．所以．
【小問2詳解】
由（1）知，．
由，即，解得，
所以．
因為“”是“”的必要條件，
所以．所以，解得．
所以實數(shù)的取值范圍是．
19. 在①；②函數(shù)為偶函數(shù)：③0是函數(shù)的零點這三個條件中選一個條件補充在下面問題中，并解答下面的問題．
問題：已知函數(shù)，，且______．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義證明．
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
【答案】（1）
（2）單調(diào)遞增，證明見解析
【解析】
【分析】（1）若選條件①，根據(jù)及指數(shù)對數(shù)恒等式求出的值，即可求出函數(shù)解析式；若選條件②，根據(jù)，即可得到，從而求出的值，即可求出函數(shù)解析式；若選條件③，直接代入即可得到方程，求出的值，即可求出函數(shù)解析式；
（2）利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，按照設元、作差、變形、判斷符號、下結論的步驟完成即可；
【小問1詳解】
解：若選條件①．因為，
所以，即．
解得．所以．
若選條件②．函數(shù)的定義域為R．因為為偶函數(shù)，
所以，，即，
，化簡得，．
所以，即．所以．
若選條件③．由題意知，，
即，解得．所以．
【小問2詳解】
解：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．
證明如下：，，且，
則．
因為，，，所以，即．
又因為，所以，即．
所以，即．
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增．
20. 某地某路無人駕駛公交車發(fā)車時間間隔（單位：分鐘）滿足，．經(jīng)測算，該路無人駕駛公交車載客量與發(fā)車時間間隔滿足：
，其中．
（1）求，并說明的實際意義；
（2）若該路公交車每分鐘的凈收益（元，問當發(fā)車時間間隔為多少時，該路公交車每分鐘的凈收益最大？并求每分鐘的最大凈收益．
【答案】（1）答案見解析
（2）發(fā)車時間間隔時，該路公交車每分鐘的凈收益最大，最大凈收益為38
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，直接將代入計算，即可得到結果；
（2）根據(jù)題意，分與，分別計算的最大值，即可得到結果.
【小問1詳解】
，
的實際意義為：當發(fā)車時間間隔為6分鐘時，公交車載客量為44；
【小問2詳解】
，，
①當時，
當且僅當，即時，等號成立，
此時的最大值為38；
②當時，
易知此時在上單調(diào)遞減，
當時，的最大值為28.4．
綜合①②可得：當發(fā)車時間間隔時，該路公交車每分鐘的凈收益最大，最大凈收益為38元．
21. 已知函數(shù).
（1）試判斷函數(shù)的奇偶性；
（2）當時，求函數(shù)的值域；
（3）已知，若，使得，求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】（1）是偶函數(shù)
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用函數(shù)奇偶性的定義式判斷即可；
（2）根據(jù)復合函數(shù)求值域計算即可；
（3）根據(jù)不等式恒成立與能成立綜合，原式等價于，分別計算和的最小值，再代入解關于a的不等式即可.
【小問1詳解】
的定義域為
故是偶函數(shù).
【小問2詳解】
當時，
因，所以，所以，
即的值域是.
【小問3詳解】
，使得
等價于.
,
所以.
令函數(shù)，
對，當時，
有
所以在上單調(diào)遞增.
于是，當時，在單調(diào)遞增，故，
所以，解得，即a的范圍為；
當時，在單調(diào)遞減，故，
所以，無解.
綜上：a的取值范圍為.
22. 對于函數(shù)，若其定義域內(nèi)存在實數(shù)滿足，則稱為“局部奇函數(shù)”．
（1）已知函數(shù)，試判斷函數(shù)是否為“局部奇函數(shù)”，并說明理由；
（2）函數(shù)為定義在上的“局部奇函數(shù)”，試求實數(shù)的取值范圍；
（3）是否存在實數(shù)，使得函數(shù)是定義在上的“局部奇函數(shù)”，若存在，請求出實數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）不是，理由見解析
（2）
（3）存在，
【解析】
【分析】(1)利用新定義即可判斷；
(2)利用新定義的定義建立方程，將問題轉化為有解問題，進而可以求解；
(3)利用新定義的定義，求出使方程有解的實數(shù)的范圍，進而可以求解.
【小問1詳解】
函數(shù)不是“局部奇函數(shù)”，理由如下：
因為,
所以函數(shù)不是“局部奇函數(shù)”.
【小問2詳解】
因為函數(shù)為定義在上
的“局部奇函數(shù)”，則，即，
則，當時，令，
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以當時，，當或時，，
所以.
【小問3詳解】
假設函數(shù)定義
在上的“局部奇函數(shù)”，則有，
即
化簡得： ，
令，則，
所以在上有解，
令
當即解得時，
在上有解，
時，要滿足題意只需，
解得，
綜上，實數(shù)的范圍為.