第一部分（選擇題共40分）
一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).
1. 已知集合，，則（）
A. B.
C. D.
2. 等差數(shù)列中，，，則通項(xiàng)為（）
A. B. C. D.
3. 拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）
A. B. C. D.
4. 已知向量，滿足，，則等于（）
A. B. 13C. D. 29
5. 設(shè)為正整數(shù)，的展開(kāi)式中存在常數(shù)項(xiàng)，則的最小值為（）
A. 2B. 3C. 4D. 5
6. 中，若，，，則等于（）
A. B. C. D.
7. “”是“”的（）
A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
8. 已知半徑為1圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則其圓心到直線距離的最大值為（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
9. 要制作一個(gè)容積為的圓柱形封閉容器，要使所用材料最省，則圓柱的高和底面半徑應(yīng)分別為（）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
10. 設(shè)點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值、最小值分別為（）
A. 最大值，最小值B. 最大值，最小值1
C. 最大值2，最小值D. 最大值2，最小值1
第二部分（非選擇題共110分）
二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.
11. 復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)______.
12. 已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為60°，則C的離心率為_(kāi)__________.
13. 已知函數(shù)，若函數(shù)存在最大值，則的取值范圍為_(kāi)_____.
14. 齊王與田忌賽馬，田忌上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬；田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬；田忌的下等馬劣于齊王的下等馬.現(xiàn)雙方各出上、中、下等馬各一匹，分3組各進(jìn)行一場(chǎng)比賽，勝2場(chǎng)及以上者獲勝.若雙方均不知對(duì)方馬的出場(chǎng)順序，則田忌獲勝的概率為_(kāi)_____；若已知田忌的上等馬與齊王的中等馬分在一組，則田忌獲勝的概率為_(kāi)_____.
15. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，為數(shù)列的前項(xiàng)積，滿足，給出下列四個(gè)結(jié)論：
①；②；③為等差數(shù)列；④.
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______.
三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.
16. 已知函數(shù)的最小正周期為.
（1）求的值；
（2）把的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），再把得到的圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.
17. 如圖，在四棱雉中，底面為矩形，平面平面，，，，分別是，的中點(diǎn).
（1）求證:平面；
（2）再?gòu)臈l件①，條件②兩個(gè)中選擇一個(gè)作為已知，求平面與平面夾角的余弦值.
條件①：；
條件②：.
注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
18. 為了解兩個(gè)購(gòu)物平臺(tái)買(mǎi)家的滿意度，某研究性學(xué)習(xí)小組采用隨機(jī)抽樣的方法，獲得A平臺(tái)問(wèn)卷100份，B平臺(tái)問(wèn)卷80份.問(wèn)卷中，對(duì)平臺(tái)的滿意度等級(jí)為：好評(píng)、中評(píng)、差評(píng)，對(duì)應(yīng)分?jǐn)?shù)分別為：5分、3分、1分，全科免費(fèi)下載公眾號(hào)《高中僧課堂》數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：
假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且買(mǎi)家對(duì)平臺(tái)的滿意度評(píng)價(jià)相互獨(dú)立.
（1）估計(jì)買(mǎi)家對(duì)A平臺(tái)的評(píng)價(jià)不是差評(píng)的概率；
（2）從所有在A平臺(tái)購(gòu)物的買(mǎi)家中隨機(jī)抽取2人，從所有在B平臺(tái)購(gòu)物的買(mǎi)家中隨機(jī)抽取2人，估計(jì)這4人中恰有2人給出好評(píng)的概率；
（3）根據(jù)上述數(shù)據(jù)，你若購(gòu)物，選擇哪個(gè)平臺(tái)？說(shuō)明理由.
19. 已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，且，離心率為.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)是橢圓上不同于的一點(diǎn)，直線，與直線分別交于點(diǎn).試判斷以為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)，若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.
20. 已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）當(dāng)函數(shù)存在極小值時(shí)，求證：函數(shù)的極小值一定小于0.
21. 約數(shù)，又稱因數(shù).它的定義如下：若整數(shù)除以整數(shù)除得的商正好是整數(shù)而沒(méi)有余數(shù)，我們就稱為的倍數(shù)，稱為的約數(shù).設(shè)正整數(shù)共有個(gè)正約數(shù)，即為.
（1）當(dāng)時(shí)，若正整數(shù)的個(gè)正約數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)的值；
（2）當(dāng)時(shí)，若構(gòu)成等比數(shù)列，求正整數(shù)；
（3）記，求證：.
通州區(qū)2022—2023學(xué)年高三年級(jí)摸底考試
數(shù)學(xué)試卷
2023年1月
本試卷共4頁(yè)，共150分.考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效.考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回.
第一部分（選擇題共40分）
一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).
【1題答案】
【答案】B
【2題答案】
【答案】A
【3題答案】
【答案】D
【4題答案】
【答案】C
【5題答案】
【答案】B
【6題答案】
【答案】A
【7題答案】
【答案】A
【8題答案】
【答案】C
【9題答案】
【答案】C
【10題答案】
【答案】B
第二部分（非選擇題共110分）
二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.
【11題答案】
【答案】##
【12題答案】
【答案】2
【13題答案】
【答案】
【14題答案】
【答案】 ①. ②. ##0.5
【15題答案】
【答案】①③④
三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.
【16題答案】
【答案】（1）.
（2），.
【17題答案】
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【18題答案】
【答案】（1）
（2）
（3）選擇A平臺(tái)，理由見(jiàn)解析
【19題答案】
【答案】（1）
（2）以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)，.
【20題答案】
【答案】（1）
（2）答案見(jiàn)解析 （3）證明見(jiàn)解析
【21題答案】
【答案】（1）8. （2）.
（3）證明見(jiàn)解析.
好評(píng)
中評(píng)
差評(píng)
A平臺(tái)
75
20
5
B平臺(tái)
64
8
8

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