考試時間：120分鐘；滿分：150分
第I卷（選擇題）
一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 集合，，則
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解一元二次不等式得到集合，結(jié)合交集定義進行求解即可．
【詳解】，
則，故選B．
【點睛】本題主要考查集合的基本運算，求出集合B的等價條件，首先要看清楚它的研究對象，是實數(shù)還是點的坐標(biāo)還是其它的一些元素，第二步常常是解一元二次不等式，我們首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的過程中，要注意分母不能為零.解指數(shù)或?qū)?shù)不等式要注意底數(shù)對單調(diào)性的影響，在求交集時注意區(qū)間端點的取舍.
2. 邊長為的正三角形的直觀圖的面積是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)正三角形的面積公式求出原圖形的面積，再由直觀圖和原圖的面積比為即可得解.
【詳解】因為正三角形的邊長為，
所以原圖形的面積為：，
因為直觀圖和原圖的面積比為，
所以直觀圖的面積為：.
故選：A.
3. 在一次籃球比賽中，某支球隊共進行了8場比賽，得分分別為：，那么這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為（ ）
A. 37.5B. 38C. 39D. 40
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由百分位數(shù)的計算公式，代入計算，即可得到結(jié)果.
【詳解】將數(shù)據(jù)從小到大排序可得，共8個樣本數(shù)據(jù)，
則上四分位數(shù)即第百分位數(shù)為，即為.
故選：C
4. 阿基米德（Archimedes，公元前287年—公元前212年）是古希臘偉大的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和天文學(xué)家．他推導(dǎo)出的結(jié)論“圓柱內(nèi)切球體的體積是圓柱體積的三分之二，并且球的表面積也是圓柱表面積的三分之二”是其畢生最滿意的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，后人按照他生前的要求，在他的墓碑上刻著一個圓柱容器里放了一個球，如圖，該球頂天立地，四周碰邊，圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，若球的體積為，則圓柱的表面積為（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先理解題意，直接求解圓柱的體積，即可得圓柱底面的半徑，再求圓柱的表面積.
【詳解】由題意可知，，，
設(shè)圓柱底面半徑為，則，得，
則圓柱的表面積.
故選：C
5. 的展開式中，常數(shù)項為
A. －15B. 16C. 15D. －16
【答案】B
【解析】
【分析】把按照二項式定理展開，可得的展開式中的常數(shù)項．
【詳解】∵（）?（1），故它的展開式中的常數(shù)項是1+15=16
故選B
【點睛】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式，項的系數(shù)的性質(zhì)，熟記公式是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．
6. 七位漁民各駕駛一輛漁船依次進湖捕魚，甲?乙漁船要排在一起出行，丙必須在最中間出行，則不同的排法有（ ）
A. 96種B. 120種C. 192種D. 240種
【答案】C
【解析】
【分析】先將甲乙捆綁成一個單元，再討論其所排位置，運算求解.
【詳解】由題意可知，丙排在第4位，則甲乙兩人可能在第1、2或2、3或5、6或6、7位，
故不同的排法有種.
故選：C.
7. 下列命題為真命題的有（ ）
A. 若隨機變量的方差為，則．
B. 已知經(jīng)驗回歸方程，則與具有正線性相關(guān)關(guān)系．
C. 對于隨機事件與，若則事件與獨立．
D. 根據(jù)分類變量與的成對樣本數(shù)據(jù)，計算得到，根據(jù)的獨立性檢驗，有的把握認為與有關(guān)．
【答案】C
【解析】
【分析】A利用方差性質(zhì)求新方差；B根據(jù)回歸方程系數(shù)的正負判斷；C應(yīng)用對立事件的概率、條件概率公式及獨立事件的判定即可判斷；D根據(jù)獨立檢驗的基本思想即可得結(jié)論.
【詳解】A：由，則，錯；
B：由的一次項系數(shù)為負，故與具有負線性相關(guān)關(guān)系，錯；
C：由，而，則，
所以，即事件與相互獨立，對；
D：由，故沒有的把握認為與有關(guān)，錯.
故選：C
8. 設(shè)，則（ ）
A 10206B. 5103C. 729D. 728
【答案】A
【解析】
【分析】首先兩邊同時取導(dǎo)數(shù)，再寫出展開式的通項，最后利用賦值法計算可得；
【詳解】解：因為，
兩邊同時取導(dǎo)數(shù)得，
其中展開式的通項為，
所以當(dāng)為奇數(shù)時系數(shù)為負數(shù)，為偶數(shù)時系數(shù)為正數(shù)，
即，，，，，，，
令，則，
所以；
故選：A
二?多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.
9. 下列說法正確的是（ ）
A. 已知隨機變量X，Y，滿足，且X服從正態(tài)分布，則
B. 已知隨機變量X服從二項分布，則
C. 已知隨機變量X服從正態(tài)分布，且，則
D. 已知隨機變量X服從兩點分布，且，令，則
【答案】ACD
【解析】
【分析】由正態(tài)分布和期望的性質(zhì)判斷A；由二項分布判斷B；由正態(tài)分布的對稱性判斷C；由兩點分布判斷D.
【詳解】對于選項A：由得，由得，所以，故A正確；
對于選項B：由得，故B錯誤；
對于選項C：由，且可得，故C正確；
對于選項D：由得，所以，故D正確.
故選：ACD.
10. 六氟化硫，化學(xué)式為，在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途．六氟化硫結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)，如圖所示，硫原子位于正八面體的中心，6個氟原子分別位于正八面體的6個頂點，若相鄰兩個氟原子之間的距離為m，則（ ）

A. 該正八面體結(jié)構(gòu)的表面積為B. 該正八面體結(jié)構(gòu)的體積為
C. 該正八面體結(jié)構(gòu)的外接球表面積為D. 該正八面體結(jié)構(gòu)的內(nèi)切球表面積為
【答案】ACD
【解析】
【分析】分析正八面體結(jié)構(gòu)特征，計算其表面積，體積，外接球半徑，內(nèi)切球半徑，驗證各選項.
【詳解】
對A：由題知，各側(cè)面均為邊長為的正三角形，
故該正八面體結(jié)構(gòu)的表面積，故A正確；
對B：連接，則，底面，
故該正八面體結(jié)構(gòu)的體積，故B錯誤；
對C：底面中心到各頂點的距離相等，故為外接球球心，外接球半徑，
故該正八面體結(jié)構(gòu)的外接球表面積，故C正確；
對D：該正八面體結(jié)構(gòu)內(nèi)切球半徑，
故內(nèi)切球的表面積，故D正確；
故選：ACD．
11. 水平相當(dāng)?shù)募住⒁?、丙三人進行乒乓球擂臺賽，每輪比賽都采用3局2勝制（即先贏2局者勝），首輪由甲乙兩人開始，丙輪空；第二輪在首輪的勝者與丙之間進行，首輪的負者輪空，依照這樣的規(guī)則無限地繼續(xù)下去．以下說法正確的是（ ）
A. 在有甲參與的一輪比賽中，甲獲勝的局數(shù)為隨機變量，則
B. 記前6輪比賽中甲參與的輪次數(shù)為隨機變量，則
C. 甲在第三輪獲勝的條件下，第二輪也獲勝的概率為
D. 記事件“第輪甲輪空”，則
【答案】ACD
【解析】
【分析】對于A，運用互斥事件的概率加法公式和獨立事件的概率乘法公式計算即得；對于B，運用獨立事件的概率乘法公式計算即得；對于C，運用條件概率公式計算；對于D，運用全概率公式化簡得到遞推式，構(gòu)造等比數(shù)列即可求出概率表達式.
【詳解】對于A，在有甲參與的一輪比賽中，甲獲勝兩局包括兩類互斥的事件：
①第一、二局甲全勝；②甲在第一和第三局勝或者在第二和第三局勝，
故，故A正確；
對于B，依題意，易得，故B錯誤；
對于C，設(shè)“甲在第輪獲勝”，
依題，甲在第三輪獲勝包括甲在第一、二、三輪均勝；或者第一輪輸，第三輪勝兩類情況.
則甲在第三輪獲勝的條件下，第二輪也獲勝的概率為：
,故C正確；
對于D，因，且與互斥，
由全概率公式，,
故又，
則組成一個首項為，公比為的等比數(shù)列，
于是，，即，故D正確.
故選：ACD.
【點睛】思路點睛：本題主要考查條件概率和全概率公式的應(yīng)用，屬于難題.
在解題時要充分理解題意，設(shè)出事件并準(zhǔn)確表達所求事件，利用互斥事件的概率加法公式和獨立事件的概率乘法公式進行推理計算，通過條件概率公式和全概率公式求得結(jié)果.
第II卷（非選擇題）
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 若復(fù)數(shù)，則______．
【答案】5
【解析】
【分析】通解：利用復(fù)數(shù)乘方運算可得，再由共軛復(fù)數(shù)定義和乘法運算可得結(jié)果；
優(yōu)解：利用結(jié)論，可直接求得.
【詳解】通解：易知，所以，
所以；
優(yōu)解：，所以，
所以.
故答案為：5
13. 某公司生產(chǎn)三種型號汽車，A型汽車200輛、B型汽車400輛、C型汽車1400輛．為檢驗該公司的產(chǎn)品質(zhì)量，現(xiàn)用比例分配的分層隨機抽樣方法抽取一個容量為100的樣本，則應(yīng)抽取B型汽車______輛．
【答案】20
【解析】
【分析】求出抽樣比，利用分層隨機抽樣方法得出結(jié)果．
【詳解】∵抽樣比為，
∴應(yīng)抽取B型汽車輛．
故答案為：20．
14. 某校教師男女人數(shù)之比為5:4，該校所有教師進行1分鐘限時投籃比賽．現(xiàn)記錄了每個教師1分鐘命中次數(shù)，已知男教師命中次數(shù)的平均數(shù)為17，方差為16，女教師命中次數(shù)的平均數(shù)為8，方差為16，那么全體教師1分鐘限時投籃次數(shù)的方差為___________．
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)男女人數(shù)分別為，求出全體教師平均命中次數(shù)，利用方差公式求全體教師1分鐘限時投籃次數(shù)的方差.
【詳解】設(shè)男女人數(shù)分別為，則男女教師總命中次數(shù)分別為、，
所以全體教師平均命中次數(shù)為，
若男教師命中次數(shù)為，女教師命中次數(shù)為，
所以，，
全體教師1分鐘限時投籃次數(shù)的方差為，則
，
所以.
故答案為：
【點睛】關(guān)鍵點點睛：用男女教師命中次數(shù)的方差表示出全體教師1分鐘限時投籃次數(shù)的方差為關(guān)鍵.
四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15. 我國為了鼓勵新能源汽車的發(fā)展，推行了許多購車優(yōu)惠政策，包括：國家財政補貼、地方財政補貼、免征車輛購置稅、充電設(shè)施獎補、車船稅減免、放寬汽車消費信貸等．為了了解群眾對新能源車和傳統(tǒng)燃油車的偏好是否與年齡有關(guān)，調(diào)查組對400名不同年齡段（19歲以上）的車主進行了問卷調(diào)查，其中有200名車主偏好新能源汽車，這200名車主中各年齡段所占百分比見下圖：
在所有被調(diào)查車主中隨機抽取1人，抽到偏好傳統(tǒng)燃油車且在19~35歲年齡段的概率為．
（1）請將下列2×2列聯(lián)表直接補充完整．
并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認為偏好新能源汽車與年齡有關(guān)？
（2）將上述調(diào)查中的頻率視為概率，按照分層隨機抽樣方法，從偏好新能源汽車的車主中選取5人，再從這5人中任意取2人，求2人中恰有1人在19-35歲年齡段的概率．
附：，其中．
【答案】（1）表格見解析，能在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認為偏好新能源汽車與年齡有關(guān)
（2）．
【解析】
【分析】（1）補全列聯(lián)表，計算的值，與臨界值比較即可判斷；
（2）利用古典概型的概率公式求解．
【小問1詳解】
在所有被調(diào)查車主中隨機抽取1人，抽到偏好傳統(tǒng)燃油車且在19~35歲年齡段的概率為，所以偏好傳統(tǒng)燃油車且在19~35歲年齡段得人數(shù)：（人），
故偏好傳統(tǒng)燃油車且在35歲以上年齡段得人數(shù)：（人），
新能源汽車200名車主中在19~35歲年齡段的比例為，故人數(shù)為：（人）：
新能源汽車35歲以上的人數(shù)為：（人），
填表如下：
，
則能在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認為偏好新能源汽車與年齡有關(guān)．
【小問2詳解】
按照分層隨機抽樣，從偏好新能源汽車的車主中選取5人，
其中在歲年齡段的人數(shù)為人，35歲以上的人數(shù)為2，
從5人中任意取2人，共有種情況，
其中恰有1人在歲年齡段的有種情況，
故2人中恰有1人在 歲年齡段的概率為．
16. 泉州市舉辦慶“七一”知識競賽活動，初賽采用兩輪制方式進行，要求每個區(qū)（縣）派出兩個小組，且每個小組都要參加兩輪比賽，兩輪比賽都通過的小組才具備參加決賽的資格.德化縣派出甲?乙兩個小組參賽，在初賽中，若甲?乙兩組通過第一輪比賽的概率分別是，通過第二輪比賽的概率分別是，且各個小組所有輪次比賽的結(jié)果互不影響.
（1）德化縣派出的兩個組獲得決賽資格的小組的個數(shù)為，求的分布列和期望；
（2）已知德化縣的甲?乙兩組在決賽中相遇，決賽以搶答和兩道題的方式進行，搶到并答對一題得10分，答錯不得分.其中一方的得分多于另一方的得分即為獲勝，假設(shè)這兩組在決賽中對每個問題回答正確的概率恰好是各自獲得決賽資格的概率，甲?乙兩組隨機等可能搶到每道題，求甲組獲勝的概率.
【答案】（1）分布列見解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)概率乘法公式求解對應(yīng)的概率，利用分布列和期望的概念，即可求解；
（2）分類討論，利用概率加法公式即可求解.
【小問1詳解】
設(shè)甲乙通過初賽分別為事件，，
則，
由題意可得，的取值有0，1，2，
，
.
所以的分布列為：
所以.
【小問2詳解】
依題意甲，乙搶到并答對一題的概率為，
甲組若想獲勝情況有：
甲得10分，乙得分：其概率為，
甲得20分：其概率為，
故甲組獲勝的概率為．
17. 如圖，在四棱錐中，底面為梯形，其中，且，點為棱的中點.

（1）求證：平面；
（2）若為上的動點，則線段上是否存在點N，使得平面?若存在，請確定點N的位置，若不存在，請說明理由.
【答案】（1）證明見解析；
（2）點為AD的中點，理由見解析.
【解析】
【分析】（1）利用平行四邊形截面，由線線平行即可證明線面平行；
（2）要證明動直線和另一個平面平行，只需要證明動直線所在的平面與另一個平面平行即可.
【小問1詳解】

取點為棱的中點，又因為點為棱的中點，所以，且，
又因為，且，所以
則四邊形是平行四邊形，即，
又因為平面，平面，所以平面；
【小問2詳解】

存在點為的中點，滿足平面.
因為點為的中點，點為棱的中點，所以，
又因為平面，平面，所以平面，
再由平面，，平面，平面，
所以平面平面，又因平面，
所以平面.
18. 一只藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)與一定范圍內(nèi)的溫度有關(guān)，現(xiàn)收集了該種藥用昆蟲的6組觀測數(shù)據(jù)如下表：
經(jīng)計算得：線性回歸模型的殘差平方和，其中分別為觀測數(shù)據(jù)中的溫差和產(chǎn)卵數(shù)，.
（1）若用線性回歸方程，求關(guān)于回歸方程（精確到0.1）；
（2）若用非線性回歸模型求得關(guān)于回歸方程為，且相關(guān)指數(shù)0.9522.
（i）試與（1）中的回歸模型相比，用說明哪種模型的擬合效果更好.
（ii）用擬合效果好的模型預(yù)測溫度為時該種藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)（結(jié)果取整數(shù)）.
附：一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計為；相關(guān)指數(shù).
【答案】（1）
（2）（i）非線性回歸模型擬合效果更好；（ii）；
【解析】
【分析】（1）求出、后代入公式直接計算得、，即可得解；
（2）（i）求出線性回歸模型的相關(guān)指數(shù)，與比較即可得解；
（ii）直接把代入，計算即可得解.
【小問1詳解】
由題意，則，，
，，
y關(guān)于x的線性回歸方程為.
【小問2詳解】
（i）對于線性回歸模型，，，
相關(guān)指數(shù)為，
因為，所以用非線性回歸模型擬合效果更好.
（ii）當(dāng)，時（個）
所以溫度為時，該種藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)估計為190個.
19. 馬爾科夫鏈?zhǔn)歉怕式y(tǒng)計中的一個重要模型，其過程具備“無記憶”的性質(zhì)：下一狀態(tài)的概率分布只能由當(dāng)前狀態(tài)決定，即第n＋1次狀態(tài)的概率分布只與第n次的狀態(tài)有關(guān)，與第，…次的狀態(tài)無關(guān)，即．已知甲盒中裝有1個白球和2個黑球，乙盒中裝有2個白球，現(xiàn)從甲、乙兩個盒中各任取1個球交換放入對方的盒中，重復(fù)n次（）這樣的操作，記此時甲盒中白球的個數(shù)為，甲盒中恰有2個白球的概率為，恰有1個白球的概率為．
（1）求和．
（2）證明：為等比數(shù)列．
（3）求的數(shù)學(xué)期望（用n表示）．
【答案】（1），，；
（2）證明見解析； （3）.
【解析】
【分析】（1）利用古典概率計算即得；按第1次交換球的結(jié)果分類討論，結(jié)合相互獨立事件的概率、互斥事件的概率求出.
（2）按第次交換球的結(jié)果分類討論，結(jié)合相互獨立事件的概率、互斥事件的概率用表示即可推理得證.
（3）利用（2）結(jié)論，求出隨機變量的分布列，再求出數(shù)學(xué)期望.
【小問1詳解】
若甲盒取黑球、乙盒取白球，互換，則甲盒中的球變?yōu)?白1黑，乙盒中的球變?yōu)?白1黑，概率；
若甲盒取白球、乙盒取白球，互換，則甲盒中的球仍為1白2黑，乙盒中的球仍為2白，概率，
研究第2次交換球時的概率，根據(jù)第1次交換球的結(jié)果討論如下：
①當(dāng)甲盒中的球為2白1黑，乙盒中的球為1白1黑時，對應(yīng)概率為，
此時，若甲盒取黑球、乙盒取黑球，互換，則甲盒中的球仍為2白1黑，
乙盒中的球仍為1白1黑，概率為；
若甲盒取黑球、乙盒取白球，互換，則甲盒中的球變?yōu)?白，乙盒中的球變?yōu)?黑，概率為；
若甲盒取白球、乙盒取黑球，互換，則甲盒中的球變?yōu)?白2黑，乙盒中的球變?yōu)?白，概率為；
若甲盒取白球、乙盒取白球，互換，則甲盒中的球仍為2白1黑，乙盒中的球仍為1白1黑，概率為，
②當(dāng)甲盒中的球為1白2黑，乙盒中的球為2白時，對應(yīng)概率為，
此時，若甲盒取黑球、乙盒取白球，互換，則甲盒中的球變?yōu)?白1黑，
乙盒中的球變?yōu)?白1黑，概率為
若甲盒取白球，乙盒取白球，互換，則甲盒中的球仍為1白2黑，乙盒中的球仍為2白，概率為，
綜上，.
【小問2詳解】
依題意，經(jīng)過次這樣的操作，甲盒中恰有2個白球的概率為，
恰有1個白球的概率為，則甲盒中恰有3個白球的概率為，
研究第次交換球時的概率，根據(jù)第次交換球的結(jié)果討論如下：
①當(dāng)甲盒中的球為2白1黑，乙盒中的球為1白1黑時，對應(yīng)概率為，
此時，若甲盒取黑球、乙盒取黑球，互換，則甲盒中的球仍為2白1黑，
乙盒中的球仍為1白1黑，概率為；
若甲盒取黑球、乙盒取白球，互換，則甲盒中的球變?yōu)?白，乙盒中的球變?yōu)?黑，概率為；
若甲盒取白球、乙盒取黑球，互換，則甲盒中的球變?yōu)?白2黑，乙盒中的球變?yōu)?白，概率為；
若甲盒取白球、乙盒取白球，互換，則甲盒中的球仍為2白1黑，乙盒中的球仍為1白1黑，概率為，
②當(dāng)甲盒中的球為1白2黑，乙盒中的球為2白時，對應(yīng)概率為，
此時，若甲盒取黑球、乙盒取白球，互換，則甲盒中的球變?yōu)?白1黑，乙盒中的球變?yōu)?白1黑，概率為；
若甲盒取白球、乙盒取白球，互換，則甲盒中的球仍為1白2黑，乙盒中的球仍為2白，概率為，
③當(dāng)甲盒中的球為3白，乙盒中的球為2黑時，對應(yīng)概率為，
此時，甲盒只能取白球、乙盒只能取黑球，互換，則甲盒中的球變?yōu)?白1黑，
乙盒中的球變?yōu)?白1黑，概率為，
綜上，
則，
整理得，又，
所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.
【小問3詳解】
由（2）知，則，
隨機變量的分布列為
所以.
【點睛】思路點睛：求離散型隨機變量的分布列及期望的一般步驟：
①根據(jù)題中條件確定隨機變量的可能取值；②求出隨機變量所有可能取值對應(yīng)的概率，即可得出分布列；③根據(jù)期望的概念，結(jié)合分布列，即可得出期望.
偏好新能源汽車
偏好燃油車
合計
19~35歲
35歲以上
合計
0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
偏好新能源汽車
偏好燃油車
合計
19~35歲
120
75
240
35歲以上
80
125
180
合計
200
200
400
0
1
2
P
溫度
21
23
24
27
29
32
產(chǎn)卵數(shù)個
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