本試卷共4頁，共150分.考試時(shí)長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題紙上，在試卷上作答無效.
第一部分（選擇題共40分）
一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）
1. 設(shè)集合，若，則實(shí)數(shù)m=（ ）
A. 0B. C. 0或D. 0或1
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系，分別討論和兩種情況，求解并檢驗(yàn)集合的互異性，可得到答案.
【詳解】設(shè)集合，若，
，或，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；
所以或.
故選：C
2. 記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知，則
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式．本題還可用排除，對(duì)B，，，排除B，對(duì)C，，排除C．對(duì)D，，排除D，故選A．
【詳解】由題知，，解得，∴，故選A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，滲透方程思想與數(shù)學(xué)計(jì)算等素養(yǎng)．利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)公式即可列出關(guān)于首項(xiàng)與公差的方程，解出首項(xiàng)與公差，在適當(dāng)計(jì)算即可做了判斷．
3. 已知，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)指對(duì)數(shù)的性質(zhì)，分別求三個(gè)數(shù)的范圍，再比較大小.
【詳解】由條件可知，，，，
所以.
故選：B
4. 設(shè)，則（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】利用復(fù)數(shù)除法法則計(jì)算出，求出模長.
【詳解】，故.
故選：D
5. 下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又是區(qū)間上的增函數(shù)的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)冪函數(shù)和指對(duì)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，逐一檢驗(yàn)選項(xiàng)，得出答案．
【詳解】選項(xiàng)A，是非奇非偶函數(shù)，是區(qū)間上的增函數(shù)，錯(cuò)誤；
選項(xiàng)B，是偶函數(shù)，是區(qū)間上的減函數(shù)，錯(cuò)誤；
選項(xiàng)C，是偶函數(shù)，是區(qū)間上的增函數(shù)，正確；
選項(xiàng)D，是奇函數(shù)，是區(qū)間上的增函數(shù)，錯(cuò)誤；
故選：C
6. 已知向量，，，若則實(shí)數(shù)（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由向量坐標(biāo)的運(yùn)算求出向量的坐標(biāo)，再根據(jù)，利用向量夾角余弦公式列方程，求出實(shí)數(shù)的值．
【詳解】由，，則，
又，則，
則，即，
，解得，
故選：C.
7. 函數(shù)，則（ ）
A. 若，則為奇函數(shù)B. 若，則為偶函數(shù)
C. 若，則為偶函數(shù)D. 若，則為奇函數(shù)
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)選項(xiàng)中的關(guān)系，代入的解析式，對(duì)AD用特值說明不是奇函數(shù)，對(duì)BC用奇偶性的定義驗(yàn)證即可.
【詳解】的定義域?yàn)椋?br>對(duì)A：若，，若為奇函數(shù)，則，而不恒成立，故不是奇函數(shù)；
對(duì)B：若，，
，故偶函數(shù)，B正確；
對(duì)C：若，，，故不是偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；
對(duì)D：若，，
若為奇函數(shù)，則，而不恒成立，故不是奇函數(shù)；
故選：B
8. 已知函數(shù)，若對(duì)任意的有恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義證明為奇函數(shù)，再判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的性質(zhì)化簡不等式可得的取值范圍.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，，，
當(dāng)時(shí)，，，，
當(dāng)時(shí)，，
所以對(duì)任意的，，
函數(shù)為奇函數(shù)，
又當(dāng)時(shí)，為單調(diào)遞減函數(shù)，
所以函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)，
所以不等式可化為，
所以，所以，
由已知對(duì)任意的有恒成立，
所以，即，
故的取值范圍是.
故選：A.
9. 已知、、是平面向量，是單位向量．若非零向量與的夾角為，向量滿足，則的最小值是
A. B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】先確定向量、所表示的點(diǎn)的軌跡，一個(gè)為直線，一個(gè)為圓，再根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求最小值.
【詳解】設(shè)，
則由得，
由得
因此，的最小值為圓心到直線的距離減去半徑1，為選A.
【點(diǎn)睛】以向量為載體求相關(guān)變量的取值范圍，是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、曲線方程等相結(jié)合的一類綜合問題.通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算，將問題轉(zhuǎn)化為解方程、解不等式、求函數(shù)值域或直線與曲線的位置關(guān)系，是解決這類問題的一般方法.
10. 已知函數(shù)，若存在區(qū)間，使得函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)閯t實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知，，即得，故可知是方程的兩個(gè)不同非負(fù)實(shí)根，由根與系數(shù)的關(guān)系即可求出．
【詳解】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知，，
即可得到，
即可知是方程兩個(gè)不同非負(fù)實(shí)根，
所以，
解得．
故選：D．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用函數(shù)的單調(diào)性以及一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.
第二部分（非選擇題共110分）
二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.
11. 已知角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)，則__________.
【答案】##0.5
【解析】
【分析】由三角函數(shù)定義得到，再由誘導(dǎo)公式求出答案.
【詳解】由三角函數(shù)定義得，由誘導(dǎo)公式得.
故答案為：
12. 記為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則_____________．
【答案】
【解析】
【分析】首先根據(jù)題中所給的，類比著寫出，兩式相減，整理得到，從而確定出數(shù)列為等比數(shù)列，再令，結(jié)合的關(guān)系，求得，之后應(yīng)用等比數(shù)列的求和公式求得的值.
【詳解】根據(jù)，可得，
兩式相減得，即，
當(dāng)時(shí)，，解得，
所以數(shù)列是以-1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，
所以，故答案是.
點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)數(shù)列的求和問題，在求解的過程中，需要先利用題中的條件，類比著往后寫一個(gè)式子，之后兩式相減，得到相鄰兩項(xiàng)之間的關(guān)系，從而確定出該數(shù)列是等比數(shù)列，之后令，求得數(shù)列的首項(xiàng)，最后應(yīng)用等比數(shù)列的求和公式求解即可，只要明確對(duì)既有項(xiàng)又有和的式子的變形方向即可得結(jié)果.
13. 若命題“對(duì)任意為假命題的a的取值范圍是______
【答案】
【解析】
【分析】寫出全稱量詞命題的否定，為真命題，分，和三種情況，得到不等式，求出答案.
【詳解】由題意得為真命題，
當(dāng)時(shí)，不等式為，有解，滿足要求，
當(dāng)時(shí)，若，此時(shí)必有解，滿足要求，
若，則，解得，
綜上，a的取值范圍為.
故答案為：
14. 若函數(shù)的最大值為，則________，的一個(gè)對(duì)稱中心為_______
【答案】 ①. ②. （答案不唯一）
【解析】
【分析】根據(jù)輔助角公式對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡，再根據(jù)最大值求出A，最后利用余弦型函數(shù)求出對(duì)稱中心.
【詳解】由，其中，
又函數(shù)的最大值為，則，
又，則，，不妨取，
故，
則的對(duì)稱中心滿足，，解得，，
即的對(duì)稱中心為，，
則的一個(gè)對(duì)稱中心可為：，
故答案為：，（答案不唯一）
15. 對(duì)于函數(shù)，若在其定義域內(nèi)存在，使得成立，則稱函數(shù)具有性質(zhì).
（1）下列函數(shù)中具有性質(zhì)的有___________.
①
②
③，（x∈0,+∞）
④
（2）若函數(shù)具有性質(zhì)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.
【答案】 ①. ①②④ ②. 或．
【解析】
【分析】（1）令 ，由，可判斷；由sinx=有解，可判斷是否具有性質(zhì)P；令=，此方程無解，由此可判斷；由兩圖象在有交點(diǎn)可判斷；
（2）問題轉(zhuǎn)化為方程有根，令，求導(dǎo)函數(shù)，分析導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，得所令函數(shù)的單調(diào)性及最值，由此可求得實(shí)數(shù)的取值范圍．
【詳解】解：（1）在時(shí)， 有解，即函數(shù)具有性質(zhì)P，
令 ，即，
∵，故方程有一個(gè)非0實(shí)根，故 具有性質(zhì)P；
的圖象與有交點(diǎn)，
故sinx=有解，故具有性質(zhì)P；
令=，此方程無解，故，（x∈0,+∞）不具有性質(zhì)P；
令，則由兩圖象在有交點(diǎn)，所以有根，所以具有性質(zhì)P；
綜上所述，具有性質(zhì)P的函數(shù)有：①②④；
（2）具有性質(zhì)P，顯然，方程有根，
令，則，令，解得，
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，
所以，
所以的值域[ ，+∞），∴，
解之可得：或．
故答案為：①②④；或．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵是審清題意，把方程的解轉(zhuǎn)化為兩個(gè)圖象有交點(diǎn)，本題考查的是方程的根，新定義，函數(shù)的值域，是方程和函數(shù)的綜合應(yīng)用，難度比較大．
三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.
16. 在中，，．再從條件①，條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使存在且唯一確定，并解決下面的問題：
（1）求角的大?。?br>（2）求的面積．
條件①：；條件②：；條件③：．
【答案】（1）選②或③，；
（2）的面積為.
【解析】
【分析】（1）選①，利用三邊關(guān)系可判斷不存在；
選②：利用余弦定理可求得角的值；
選③：利用正弦定理可求得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；
（2）利用余弦定理可求得的值，再利用三角形的面積公式可求得的面積．
【小問1詳解】
解：因?yàn)椋?，則.
選①：因?yàn)?，則，則不存在；
選②：因?yàn)?，則，
由余弦定理可得，，則；
選③：，則，
、，則，，故，從而.
【小問2詳解】
解：因?yàn)?，，，由余弦定理可得?br>即，解得，因此，.
17. 已知是等差數(shù)列an的前項(xiàng)和，，數(shù)列bn是公比大于1的等比數(shù)列，且，.
（1）求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求使取得最大值時(shí)的值.
【答案】（1），
（2）或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)及前項(xiàng)和公式求出首項(xiàng)與公差，即可求出數(shù)列an的通項(xiàng)公式，再求出數(shù)列bn的首項(xiàng)與公比，即可得bn的通項(xiàng)公式；
（2）先求出的通項(xiàng)，再利用作差法判斷數(shù)列的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性即可得出答案.
【小問1詳解】
設(shè)等差數(shù)列an的公差為，
則，解得，
所以，
設(shè)等比數(shù)列bn的公比為，
則，解得，
所以；
【小問2詳解】
由（1）得，
則，
，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)或時(shí)，取得最大值.
18. 已知函數(shù)．
（1）求的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；
（2）若函數(shù)在存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）化簡函數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解；
（2）根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為方程在上有解，以為整體，結(jié)合正弦函數(shù)圖象運(yùn)算求解.
【小問1詳解】
對(duì)于函數(shù)
，
所以函數(shù)的最小正周期為，
令，則，
∴函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為.
【小問2詳解】
令，即，則，
∵在存在零點(diǎn)，則方程在上有解，
若時(shí)，則，可得，
∴，得
故實(shí)數(shù)的取值范圍是．
19. 1.已知函數(shù)，.
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，求證：函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).
【答案】（1）當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，，單調(diào)遞增區(qū)間為.
（2）證明過程見解析
【解析】
【分析】（1）求出導(dǎo)數(shù)，然后通過對(duì)分情況討論，研究導(dǎo)數(shù)的符號(hào)研究函數(shù)的單調(diào)性；（2）結(jié)合第一問的結(jié)果，判斷出函數(shù)在上的單調(diào)性，然后結(jié)合端點(diǎn)處的函數(shù)值的符合證明
【小問1詳解】
，
當(dāng)時(shí)，，由得：，
由，得：，故此時(shí)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為
當(dāng)時(shí)，令得：x=?1a

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