數(shù)學(xué)
命題人：大連市第二十四中學(xué) 王輝 審題人：大連市第二十四中學(xué) 李響
本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。
注意事項(xiàng)：
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。
2.答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.（ ）
A.B.C.D.2
2.已知命題p：，，命題q：，則（ ）
A. p和q都是真命題B.和q都是真命題
C. p和都是真命題D.和都是真命題
3.已知M，N為全集U的非空真子集，且M，N不相等，若，則（ ）
A.B.C.D.
4.如圖，有一個(gè)無蓋的盛水的容器，高為H，其可看作將兩個(gè)完全相同的圓臺(tái)面積較大的底面去掉后對接而成.現(xiàn)從頂部向該容器中倒水，且任意相等的時(shí)間間隔內(nèi)所倒的水的體積相等，記容器內(nèi)水面的高度y隨時(shí)間t變化的函數(shù)為，則下列函數(shù)圖像中最有可能是圖像的是（ ）
5.已知等比數(shù)列的公比為q，則“”是“（）”的（ ）
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
6.若定義在上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，，的大小關(guān)系為（ ）
A.B.
C.D.
7.已知定義在上的函數(shù)，對，都有，若函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，則（ ）
A.–2B.–1C.2D.1
8.已知函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，方程的不同的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為（ ）
A.4B.3C.2D.1
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。
9.已知且，則（ ）
A.B.C.D.
10.已知冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，下列結(jié)論正確的有（ ）
A.B.是偶函數(shù)
C.D.若，則
11.表示不超過x的最大整數(shù)，例如，，，已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的有（ ）
A.若，則
B.
C.設(shè)，則
D.所有滿足（m，）的點(diǎn)組成的區(qū)域的面積為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.若，則a的取值范圍是____________.
13.數(shù)列共有5項(xiàng)，前三項(xiàng)成等差數(shù)列，且公差為d，后三項(xiàng)成等比數(shù)列，且公比為q.若第1項(xiàng)為1，第2項(xiàng)與第4項(xiàng)的和為18，第3項(xiàng)與第5項(xiàng)的和為35，則____________.
14.已知a，b，c均為正數(shù)，，則的最大值為____________.
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15.（13分）
已知數(shù)列是首項(xiàng)為3，公比為9的等比數(shù)列，數(shù)列滿足.
（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
16.（15分）
定義三階行列式運(yùn)算：，其中（i，）.已知，關(guān)于x的不等式的解集為M.
（1）求M；
（2）已知函數(shù)不存在最小值，求a的取值范圍.
17.（15分）
已知函數(shù).
（1）求曲線在處的切線方程；
（2）設(shè)，當(dāng)時(shí)，記在區(qū)間上的最大值為M，最小值為m，求的取值范圍.
18.（17分）
已知為數(shù)列的前n項(xiàng)和，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，，.
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）若，求n的最大值；
（3）設(shè)，證明：.
19.（17分）
已知函數(shù)（e是自然對數(shù)的底數(shù)）.
（1）若，求的極值；
（2）若，，，求a；
（3）利用（2）中求得的a，若，數(shù)列滿足，且，證明：.
遼寧名校聯(lián)盟高三9月聯(lián)考數(shù)學(xué)
參考答案及解析
一、選擇題
1.C【解析】由題意得.故選C項(xiàng).
2.A【解析】對于p，取，則，所以p是真命題，對于q，利用分析法易得q是真命題.故選A項(xiàng).
3.B【解析】由，得，又M，N不相等，所以，從而.故選B項(xiàng).
4.D【解析】由題意得水面高度隨時(shí)間增加而增加，結(jié)合容器的形狀，水面高度增加的速度由快到慢再到快，由平均變化率的概念可知D項(xiàng)正確.故選D項(xiàng).
5.D【解析】若，，則，但，充分性不成立；若，則，但，必要性不成立.綜上，“”是“（）”的既不充分也不必要條件.故選D項(xiàng).
6.B【解析】因?yàn)槭嵌x在上的偶函數(shù)，所以，，又，在上單調(diào)遞增，所以.故選B項(xiàng).
7.C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的圖像關(guān)于直線對稱，且的圖像由的圖像向左平移一個(gè)單位長度得到，所以為偶函數(shù)，因?yàn)?，所以，所以）是?為一個(gè)周期的偶函數(shù)，所以，由，得.故選C項(xiàng).
8.A【解析】由題意得當(dāng)1時(shí)，，令，則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，易得當(dāng)x從1的右側(cè)無限趨近于1時(shí)，當(dāng)，當(dāng)時(shí)，，且.當(dāng)時(shí)，，令，則，所以單調(diào)遞減，由，得時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，又0，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)x從1的左側(cè)無限趨近于1時(shí)，.所以函數(shù)的部分圖像大致如圖所示：
對于方程，設(shè)，則由，知一元二次方程的判別式一定大于0，又由兩根之積為，得關(guān)于t的方程一定有一正根一負(fù)根，故結(jié)合的圖像可知原方程一定有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.故選A項(xiàng).
二、選擇題
9.BD【解析】由且，得0，解得，同理得，故A項(xiàng)錯(cuò)誤，B項(xiàng)正確；對于C項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對于D項(xiàng)，，故D項(xiàng)正確.故選BD項(xiàng).
10.BCD【解析】設(shè)冪函數(shù)，由，得，所以，所以無意義，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；，所以是偶函數(shù)，故B項(xiàng)正確；由，得，故C項(xiàng)正確；因?yàn)槭桥己瘮?shù)，且在上單調(diào)遞減，所以由，得，即且解得且，故D項(xiàng)正確.故選BCD項(xiàng).
11.ABD【解析】對于A項(xiàng)，若，則，則，，所以，故A項(xiàng)正確.對于B項(xiàng)，設(shè)，，，，則，又，所以，所以，所以故B項(xiàng)正確.對于C項(xiàng)，由題意得表示x軸，直線及曲線所圍成區(qū)域的整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）的個(gè)數(shù)（不含x軸上的點(diǎn)），設(shè)函數(shù)和，可得函數(shù)和互為反函數(shù)，即兩個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，由函數(shù)對稱性可得y軸，直線及曲線圍成的區(qū)域與以x軸，直線及曲線圍成的區(qū)域所包含的整點(diǎn)一樣多，如圖所示：
則表示邊長為20的正方形內(nèi)整點(diǎn)的個(gè)數(shù)之和，其中有兩個(gè)，且不含坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，所以整點(diǎn)的個(gè)數(shù)為，故C項(xiàng)錯(cuò)誤.對于D項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)組成區(qū)域的面積為1；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)組成區(qū)域的面積為1；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)組成區(qū)域的面積為1；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)組成區(qū)域的面積為1；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)組成區(qū)域的面積為.綜上，點(diǎn)組成區(qū)域的面積為，故D項(xiàng)正確.故選ABD項(xiàng).
三、填空題
12.【解析】由題意，若，則無意義；若，得，此時(shí)，即，即，解得或.綜上，a的取值范圍是.
13.5【解析】由題意得該數(shù)列的項(xiàng)分別為1，，，，，又即從而，即，即，解得所以.
14.【解析】由題意，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，下面求的最大值.
解法一：設(shè)，則，代入，得，即，所以，從而得，即，又當(dāng)，時(shí)，，所以的最大值為.
解法二：由，設(shè)，，，則，其中，，當(dāng)時(shí)，取得最大值為.
解法三：設(shè)，，由，得，即，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等.
解法四：數(shù)形結(jié)合，設(shè)，畫出的圖像，表示圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為的圓在第一象限內(nèi)的部分，平移直線至與圓相切，此時(shí)直線的縱截距最大，即為所求.
四、解答題
15.解：（1）由題意得，（2分）
所以.（3分）
由，
得當(dāng)時(shí)，，（5分）
所以，即.（6分）
又當(dāng)時(shí)，也符合，
所以.（7分）
（2）設(shè)，
則，（8分）
（9分）
兩式作差得，（10分）
即，（12分）
所以.（13分）
16.解：（1），（3分）
所以且，（5分）
又，
所以原不等式的解集.（6分）
（2）由（1）知，
所以（7分）
所以當(dāng)時(shí)，；（9分）
當(dāng)時(shí)，.（10分）
①當(dāng)，即時(shí)，，所以不存在最小值；（12分）
②當(dāng)，即時(shí)，，因?yàn)椴淮嬖谧钚≈?，所以?br>解得.（14分）
綜上，a的取值范圍是.（15分）
17.解：（1）由，得，（2分）
所以，所以，（4分）
所以，所以，（5分）
所以曲線在處的切線方程為，即.（6分）
（2）由（1）可得，（7分）
，（8分）
因?yàn)椋裕?br>所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，（9分）
所以的最小值.（10分）
又，，所以，
從而的最大值，（12分）
所以設(shè)，則，（13分）
由，知，所以單調(diào)遞增，
因?yàn)?，?br>所以的取值范圍為.（15分）
18.（1）解：由，得，所以數(shù)列為等差數(shù)列，
所以，所以.（1分）
又，所以，
設(shè)的公差為d，即解得（3分）
所以的通項(xiàng)公式是.（4分）
（2）解：由（1）知，所以（5分）
，（6分）
，（8分）
令，得，
設(shè)，則數(shù)列是遞增數(shù)列.
又，，
所以n的最大值為5.（10分）
（3）證明：由（2）知，
設(shè)，則，
所以是遞增數(shù)列，
所以成立.（12分）
又，（13分）
所以當(dāng)時(shí)，由，得，（14分）
所以（16分）
綜上，.（17分）
19.（1）解：由題意得，
則.（1分）
令，得，（2分）
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，（3分）
所以有極大值，無極小值.（4分）
（2）解：因?yàn)椋?，從而，?br>所以，即.（6分）
設(shè)，注意到，
所以，即為的極大值點(diǎn).（7分）
由，令，得.（8分）
檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以成立.
綜上，.（9分）
（不檢驗(yàn)要扣1分）
（3）證明：由（2）得，從而（），
則（10分）
令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，（11分）
因?yàn)椋?，，…，，?2分）
令（），
則，
所以在上單調(diào)遞減，且，（13分）
因?yàn)椋?br>又，所以，
所以，即，（14分）
所以，
即，
所以，
所以，（16分）
又，
所以，
即.（17分）
A
B
C
D

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