一、單選題（本大題共8小題）
1．已知集合 A=xx2-4x+3＜0 ， B=x0?x＜2 ，則 A∩B= （ ）
A． 0,3 B． 0,3 C． 1,3 D． 1,2
2．若 z-3i=3+i ，則 z= （ ）
A．3B． 13 C．5D． 10
3．已知向量 a=2,m ， b=m+1,-1 ，若 a⊥b ，則m的值為（ ）
A．2B．1C． -1 D． -2
4．在等差數(shù)列 an 中，若 a3+a5+a7+a9+a11=100 ，則 a1+a13 的值為（ ）
A．20B．30C．40D．50
5．若 sinα+3csα=1 ，則 csα-π6= （ ）
A． 32 B． 12 C． -12 D． -32
6．已知 m,n 是兩條不同的直線， α,β 是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（ ）
A．若 m⊥α,α⊥β ，則 m // β
B．若 m // α,n // α ，則 m // n
C．若 m⊥α,m // n,n⊥β ，則 α // β
D．若 m?α,n?α,m // β,n // β ，則 α // β
7．函數(shù) fx=1x-xcsx 的部分圖象大致是（ ）
A．B．C．D．
8．現(xiàn)有4名男生和3名女生計劃利用假期到某地景區(qū)旅游，由于是旅游的旺季，他們在景區(qū)附近訂購了一家酒店的5間風(fēng)格不同的房間，并約定每個房間都要住人，每個房間最多住2人，且男女不能混?。畡t不同的安排方法有（ ）種
A．1960B．2160C．2520D．2880
二、多選題（本大題共3小題）
9．下列求導(dǎo)過程正確的選項是（ ）
A． 1x′=1x2
B． x′=12x
C．（xa）′＝axa﹣1
D．（lgax）′ ＝lnxlna′=1xlna
10．設(shè)函數(shù) fx=2sin2x+π3 ，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． fx 的最小正周期為 π
B． fx 的圖象關(guān)于直線 x=π6 對稱
C． fx 的一個零點為 x=-π6
D． fx 的最大值為1
11．下列說法中正確的是（ ）
A．線性回歸分析中可以用決定系數(shù) R2 來刻畫回歸的效果，若 R2 的值越大，則模型的擬合效果越好
B．已知隨機變量 X 服從二項分布 Bn,p ，若 EX=20 ， DX=10 ，則 n=40
C．已知 y 關(guān)于 x 的回歸直線方程為 y=0.3-0.7x ，則樣本點 2,-3 的殘差為 -1.9
D．已知隨機事件 A，B 滿足 PB=35 ， PAB=25 ，則 PA|B=23
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知平面向量 a=3,1 ， b=1,-3 ，求 a+2b= ______.
13．已知直線 y=5x 是雙曲線 y2a2-x2b2=1a＞0,b＞0 的一條漸近線，則該雙曲線的離心率為_________.
14．若函數(shù) fx=2x-3-1-m 只有1個零點，則 m 的取值范圍是_________．
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知 a , b ， c 分別是 △ABC 內(nèi)角 A，B ， C 的對邊， b-acsC=ccsA-csB ， b2=2ac ．
（1）求 csC ；
（2）若 △ABC 的面積為 15 ，求 c ．
16．如圖，在三棱錐 P-ABC 中， AB⊥BC,AB=BC=12PA ，點O,D分別是 AC,PC 的中點， OP⊥ 底面 ABC ．
(1)求證： OD// 平面 PAB ；
(2)求直線 PA 與平面 PBC 所成角的大小．
17．已知 A0,3 和 P3,32 為橢圓 C:x2a2+y2b2=1a＞b＞0 上兩點.
(1)求C的離心率;
(2)若過P的直線 l 交C于另一點B，且 △ABP 的面積為9，求 l 的方程．
18．已知函數(shù) fx=ax-1-lnx+1 ．
(1)求 fx 的單調(diào)區(qū)間；
(2)當 a?2 時，證明：當 x＞1 時， fx＜ex-1 恒成立．
19．已知數(shù)組 An:a1,a2,?,an ，如果數(shù)組 Bn:b1,b2,?,bn 滿足 b1=an ，且 bk+bk-1=ak+ak-1 ，其中 k= 2,3,?,n ，則稱 Bn 為 An 的“兄弟數(shù)組”.
（1）寫出數(shù)組 A6:4,2,3,7,1,8 的“兄弟數(shù)組” B6 ；
（2）若 A11 的“兄弟數(shù)組”是 B11 ，試證明： b11,a11,a1 成等差數(shù)列；
（3）若 n 為偶數(shù)，且 An 的“兄弟數(shù)組”是 Bn ，求證： bn=a1 .
參考答案
1．【答案】D
【詳解】因為 A=xx2-4x+3＜0=x1＜x＜3 ， B=x0?x＜2 ，
所以 A∩B= 1,2 .
故選D.
2．【答案】C
【詳解】因為 z-3i=3+i ，則 z=3+i+3i=3+4i ，
所以 z=32+42=5 .
故選C.
3．【答案】D
【詳解】根據(jù)題意知 a=2,m ， b=m+1,-1 ， a⊥b ，
則 a?b=2,m?m+1,-1=2m+2-m=0 ，解得 m=-2 .
故選D.
4．【答案】C
【詳解】由題意 a1+a13=2a7=25×5a7=25×a3+a5+a7+a9+a11=40 .
故選C.
5．【答案】B
【詳解】因為 sinα+3csα=1 ，所以 2sinα+π3=1?sinα+π3=12 ，
所以 csα-π6=cs-π6-α=csπ6-α=csπ2-α+π3=sinα+π3=12 ，
故選B.
6．【答案】C
【詳解】對于A，若 m⊥α,α⊥β ，則 m // β 或 m ? β，A 錯誤；
對于B，若 m // α,n // α ，則 m // n 或 m ， n 相交或異面，B錯誤；
對于C，因為 m⊥α,m // n ，所以 n⊥α, 又因為 n⊥β ，所以 α // β，C 正確；
對于D，若 m?α,n?α,m // β,n // β ，則 α // β 或兩平面相交，D錯誤.
故選C.
7．【答案】D
【詳解】函數(shù) fx 的定義域為 xx≠0 ，
因為 f-x=-1x+xcs-x=-1x-xcsx=-fx ，所以 fx 為奇函數(shù)，排除A；
易知 f1=fπ2=0 ，排除B；
當 x＞0 且無限趨近于0時， 1x-x＞0,csx＞0 ，即 fx＞0 ，排除 C.
故選D.
8．【答案】C
【詳解】3名女生需要住2個房間或3個房間．
若3名女生住2個房間，則不同的方法種數(shù)為 C32C42A55 ，
若3名女生住3個房間，則不同的方法種數(shù)為 12C42A55 ，
則不同的安排方法有 C32C42A55+12C42A55=2520 種．
故選 C ．
9．【答案】BCD
【詳解】解： 對于A，（ 1x ）′＝（x﹣1）′＝﹣ 1x2，A 錯誤；
對于B，（ x ）′＝（ x12 ）′ ＝12×x-12＝ 12x，B 正確；
對于C，（xa）′＝axa﹣1，C正確；
對于D，（lgax）′＝（ lnxlna ）′ ＝1xlna，D 正確.
故選BCD．
10．【答案】AC
【詳解】 T=2π2=π ，故A正確；
fπ6=2sin2π3=3 ，所以 x=π6 不是對稱軸，故B錯誤；
f-π6=2sin0=0 ，所以 x=-π6 是 fx 的一個零點，故C正確；
因為振幅 A=2 ，所以 fx 的最大值為 2 ，故D錯誤.
故選AC.
11．【答案】ABCD
【詳解】對于A，線性回歸分析中可以用決定系數(shù) R2 用來刻畫回歸的效果，若 R2 的值越大，則模型的擬合效果越好，故A正確；
對于B，隨機變量服從二項分布 Bn,p ，若 EX=20,DX=10 ，
則 np=20np1-p=10 ，解得 p=12n=40 ，故B正確；
對于 C，y 關(guān)于 x 的線性回歸方程為 y=0.3-0.7x ，將 x=2 代入回歸方程中得 y=0.3-1.4=-1.1 ，即殘差為 -3--1.1=-1.9 ，故C正確；
對于D，因為 PB=35,PAB=25 ,
所以 PA|B=PABPB=2535=23 ，故D正確.
故選ABCD.
12．【答案】 25
【詳解】 a+2b=3，1+21，-3=3+2，1-23 ，
所以模長為 a+2b=3+22+1-232=25 .
13．【答案】 305
【詳解】由題意可知 ab=5 ，所以 e=ca=a2+b2a2=305 .
14．【答案】 2,+∞∪-1
【詳解】由 fx=2x-3-1-m=0 ，得 2x-3-1=m ，
設(shè)函數(shù) gx=2x-3-1=2-2x,x＜lg232x-4,x?lg23 ，
由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知，函數(shù) gx 在 -∞,lg23 上單調(diào)遞減，
在 lg23,+∞ 上單調(diào)遞增，且 2x∈0,+∞ ， glg23=0-1=-1 ，
可作出 gx 的大致圖象，如圖所示，
由圖可知， m 的取值范圍是 2,+∞∪-1 ．
15．【答案】（1） 78 ；
（2）2.
【詳解】（1）由 b-acsC=ccsA-csB 及正弦定理可得 sinBcsC-sinAcsC=sinCcsA-sinCcsB ，
所以 sinBcsC+sinCcsB=sinCcsA+sinAcsC ，
即 sinB+C=sinA+C ，
所以 sinA=sinB ，
所以 a=b ，
因為 b2=2ac=2bc ，
所以 b=2c ，
由余弦定理可得 csC=a2+b2-c22ab=4c2+4c2-c22×2c×2c=78 ，
（2）由（1）知 sinC=1-782=158 ，
因為 △ABC 的面積為 15 ，所以 12absinC=12a2×158=15 ，解得 a=4 ，
則 c=12a=2 .
【方法總結(jié)】求三角形面積的方法：解三角形求出有關(guān)量，利用公式求面積，常用的面積公式為 S＝12absin C＝12acsin B＝12bcsin A，一般是已知哪個角就使用哪一個公式．
16．【答案】(1)證明見解析;
(2) arcsin21030
【詳解】（1）由已知，點O,D分別是 AC,PC 的中點，所以 OD//PA ,
又 PA? 平面 PAB ， OD? 平面 PAB ，所以 OD// 平面 PAB .
（2）
因為 AB⊥BC ， OA=OC ，所以 OA=OB=OC ，
又因為 OP⊥ 平面 ABC ，所以 PA=PB=PC ，
取 BC 的中點 E ，連接 PE ，則 PE⊥BC ，
OP⊥ 平面 ABC ， BC? 平面 ABC ，所以 OP⊥BC ，
OP,PE? 平面 POE ，且 OP∩PE=P ，所以 BC⊥ 平面 POE ，
過點 O 作 OF⊥PE 交 PE 于 F ，連接 DF ，
因為 BC⊥ 平面 POE ， OF? 平面 POE ，所以 BC⊥OF ，
又因為 OF⊥PE ， BC,PE? 平面 PBC ，且 BC∩PE=E ，所以 OF⊥ 平面 PBC ，
因為 OD//PA ，所以直線 PA 與平面 PBC 所成角就是 OD 與平面 PBC 所成的角，
所以 ∠ODF 是 OD 與平面 PBC 所成的角，
可設(shè) AB=BC=12PA=1 ，所以 PA=2 ， PO=142 ，
EO=12 ， PE=152 ， OD=1 ， OF=PO?EOPE=21030 ，
在 Rt△ODF 中， sin∠ODF=OFOD=21030 .
所以直線 PA 與平面 PBC 所成角的大小為 arcsin21030 .
17．【答案】(1) 12 ;
(2)直線 l 的方程為 3x-2y-6=0 或 x-2y=0 .
【詳解】（1）由題意得 b=39a2+94b2=1 ，解得 b2=9a2=12 ，
所以 e=1-b2a2=1-912=12 .
（2） kAP=3-320-3=-12 ，則直線 AP 的方程為 y=-12x+3 ，即 x+2y-6=0 ，
AP=0-32+3-322=352 ，由（1）知 C:x212+y29=1 ，
設(shè)點 B 到直線 AP 的距離為 d ，則 d=2×9352=1255 ，
則將直線 AP 沿著與 AP 垂直的方向平移 1255 單位即可，
此時該平行線與橢圓的交點即為點 B ，
設(shè)該平行線的方程為 x+2y+C=0 ，
則 C+65=1255 ，解得 C=6 或 C=-18 ，
當 C=6 時，聯(lián)立 x212+y29=1x+2y+6=0 ，解得 x=0y=-3 或 x=-3y=-32 ，
即 B0,-3 或 -3,-32 ，
當 B0,-3 時，此時 kl=32 ，直線 l 的方程為 y=32x-3 ，即 3x-2y-6=0 ，
當 B-3,-32 時，此時 kl=12 ，直線 l 的方程為 y=12x ，即 x-2y=0 ，
當 C=-18 時，聯(lián)立 x212+y29=1x+2y-18=0 ,得 2y2-27y+117=0 ，
Δ=272-4×2×117=-207＜0 ，此時該直線與橢圓無交點.
綜上,直線 l 的方程為 3x-2y-6=0 或 x-2y=0 .
18．【答案】(1)見解析;
(2)見解析
【詳解】（1） fx 定義域為 0,+∞ ， f′x=a-1x=ax-1x ,
當 a?0 時， f′x=ax-1x＜0 ，故 fx 在 0,+∞ 上單調(diào)遞減；
當 a＞0 時， x∈1a,+∞ 時， f′x＞0 ， fx 單調(diào)遞增，
當 x∈0,1a 時， f′x＜0 ， fx 單調(diào)遞減.
綜上所述，當 a?0 時， fx 的單調(diào)遞減區(qū)間為 0,+∞ ；
a＞0 時， fx 的單調(diào)遞增區(qū)間為 1a,+∞ ，單調(diào)遞減區(qū)間為 0,1a .
（2） a?2 ，且 x＞1 時， ex-1-fx=ex-1-ax-1+lnx-1?ex-1-2x+1+lnx ，
令 gx=ex-1-2x+1+lnxx＞1 ，下證 gx＞0 即可.
g′x=ex-1-2+1x ，再令 hx=g′x ，則 h′x=ex-1-1x2 ，
顯然 h′x 在 1,+∞ 上遞增，則 h′x＞h′1=e0-1=0 ，
即 g′x=hx 在 1,+∞ 上遞增，
故 g′x＞g′1=e0-2+1=0 ，即 gx 在 1,+∞ 上單調(diào)遞增，
故 gx＞g1=e0-2+1+ln1=0 ，問題得證.
19．【答案】（1） B6:8,-2,7,3,5,4 ;
（2）證明見解析;
（3）證明見解析
【詳解】（1）由 A6 知 a1=4 ， a2=2 ， a3=3 ， a4=7 ， a5=1 ， a6=8 .
∵b1=a6=8 ， b2+b1=a2+a1 ， ∴b2=2+4-8=-2 ，
∵b3+b2=a3+a2 ， ∴b3=3+2+2=7 ，同理可得 b4=3 ， b5=5 ， b6=4 ，
∴B6:8,-2,7,3,5,4 .
（2）對于數(shù)組 A11 及其“兄弟數(shù)組” B11 ，
∵b1=a11 …①，
b1+b2=a1+a2 …②，
b2+b3=a2+a3 …③，
b3+b4=a3+a4 …④，
……
b10+b11=a10+a11 …?，
將上述幾個等式中的第②④⑥⑧⑩個等式的兩邊分別乘 -1 ，再與其他等式相加得 b1-b1+b2+b2+b3-???+b10+b11=a11-a1+a2+a2+a3-???+a10+a11 ，
即 b11=a11-a1+a11=2a11-a1 ， ∴a1+b11=2a11 ，
∴b11,a11,a1 成等比數(shù)列.
（3） ∵b1=an ， b1+b2=a1+a2 ， b2+b3=a2+a3 ，……， bn-1+bn=an-1+an .
由于 n 為偶數(shù)，將上述 n 個等式中的第 2,4,6,???,n 這 n2 個等式的兩邊分別乘 -1 ，再與其他等式相加： b1-b1+b2+b2+b3-???-bn-1+bn=an-a1+a2+a2+a3-???-an-1+an ，
即 -bn=-a1 ， ∴bn=a1 .

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