1. 下列實數中，屬于無理數的是（ ）
A. B. 0.5C. D.
2. 下列各組數據中是勾股數的是（ ）
A. 6，8，10B. 0.3，0.4，0.5C. ，，D. 5，11，12
3. 已知是關于、的二元一次方程，則的值為（ ）
A. B. C. D.
4. 下列運算正確的是（ ）
A. B. C. D.
5. 函數圖象上有兩點，，則與的大小關系是（ ）
A. B. C. D. 無法確定
6. 剪紙藝術是最古老的中國民間藝術之一，很多剪紙作品體現了數學中的對稱美．如圖，蝴蝶剪紙是一幅軸對稱圖形，如果圖中點E的坐標為，其關于y軸對稱的點F的坐標為，則的值為（ ）
A. 1B. C. D. 0
7. 在同一平面直角坐標系中，函數和（為常數，）圖象可能是（ ）
A. B.
C. D.
8. 平面直角坐標系內軸，，點A的坐標為，則點B的坐標為（ ）
A. B.
C. 或D. 或
9. 如圖，一大樓的外墻面與地面垂直，點在墻面上，若米，點到的距離是6米，有一只螞蟻要從點爬到點，它的最短行程是（ ）米

A. 16B. C. 15D. 14
10. 如圖，在直角坐標系中，矩形的邊在軸上，在軸上，頂點的坐標為，將矩形沿對角線翻折，點落在點的位置，且交軸于點．那么點的坐標為（ ）
A. B. C. D.
二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）
11. 比較兩數的大小：2___3．（填“＜”或“＞”）
12. 象棋在中國有著三千多年的歷史，如圖是一方的棋盤，如果“帥”的坐標是，“卒”的坐標為，那么“馬”的坐標是________．

13. 若關于x，y的方程組的解滿足，則的值為________．
14. 把兩個同樣大小的含45°角的三角尺按如圖所示的方式放置，其中一個三角尺的銳角頂點與另一個的直角頂點重合于點A，且另三個銳角頂點B，C，D在同一直線上．若AB=，則CD=_____．
15. 如圖，矩形中，，，點為射線上的一個動點，與關于直線對稱，當為直角三角形時，的長為________．

三、解答題（本大題共8小題，共75分）
16. 計算：
（1）；
（2）．
17. 下面是馬小虎同學解二元一次方程組的過程，請認真閱讀并完成相應的任務．
解方程組：
解：①×2，得……③ 第一步
②－③，得 第二步
． 第三步
將代入①，得． 第四步
所以，原方程組的解為 第五步
（1）這種求解二元一次方程組的方法叫做 法，以上求解步驟中，馬小虎同學第 步開始出現錯誤．
（2）請寫出此題正確的解答過程．
18. 在平面直角坐標系中，點在軸上，點在第一象限，過點作軸的垂線，垂足為，已知點的坐標為，長為2．

（1）求，的長．
（2）請判斷的形狀，并說明理由．
19. △ABC在平面直角坐標系中位置如圖所示，三點在格點上．

（1）作出關于y軸對稱的；
（2）的面積為 ；
（3）在y軸上作點P，使得值最小，并求出點P的坐標．
20. 勾股定理是人類早期發(fā)現并證明重要數學定理之一，是用代數思想解決幾何問題的最重要的工具之一，也是數形結合的紐帶之一，它不但因證明方法層出不窮吸引著人們，更因為應用廣泛而使人入迷．
（1）證明勾股定理
據傳當年畢達哥拉斯借助如圖所示的兩個圖驗證了勾股定理，請你說說其中的道理．
（2）應用勾股定理
①應用場景1——在數軸上畫出表示無理數的點．
如圖1，在數軸上找出表示4的點，過點作直線垂直于，在上取點，使，以點為圓心，為半徑作弧，則弧與數軸的交點表示的數是______．
②應用場景2——解決實際問題．
如圖2，鄭州某公園有一秋千，秋千靜止時，踏板離地的垂直高度，將它往前推至處時，水平距離，踏板離地的垂直高度，它的繩索始終拉直，求繩索的長．
21. 鄭州市政府為民生辦實事，將污染多年“賈魯河”進行綠化改造，現需要購買大量的景觀樹．某苗木種植公司給出以下收費方案：
方案一：購買一張會員卡，所有購買的樹苗按七折優(yōu)惠；
方案二：不購買會員卡，所有購買的樹苗按九折優(yōu)惠．
設該市購買的景觀樹樹苗棵數為x棵，方案一所需費用y1＝k1x+b1，方案二所需費用y2＝k2x，其函數圖象如圖所示，請根據圖象回答下列問題．
（1）k1＝ ，b1＝ ；
（2）求每棵樹苗的原價；
（3）求按照方案二購買所需費用的函數關系式y2＝k2x，并說明k2的實際意義；
（4）若該市需要購買景觀樹600棵，采用哪種方案購買所需費用更少？請說明理由．
22. 如圖，正比例函數的圖象與一次函數的圖象交于點一次函數圖象經過點，與y軸交于點C，與x軸的交點為D．
（1）求一次函數解析式；
（2）一次函數的圖象上是否存在一點P，使得？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由；
（3）如果在y軸上存在一點Q，使是以為底邊的等腰三角形，請直接寫出點Q的坐標．
23. 如圖1，已知和為等腰直角三角形，按如圖位置擺放，直角頂點C重合．

（1）直接寫出與的關系；
（2）將按如圖2的位置擺放，使點A、D、E在同一直線上，求證：；
（3）將按如圖3的位置擺放，使，，，求的長．
2023-2024學年河南省實驗中學八年級（上）期中數學試卷
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）
1. 下列實數中，屬于無理數的是（ ）
A. B. 0.5C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據無理數的三種形式：①開方開不盡的數，②無限不循環(huán)小數，③含有π的數，進行判斷即可．
【詳解】解：A、是無理數，符合題意；
B、0.5是有理數，不符合題意；
C、是分數，不符合題意；
D、，是有理數，不符合題意；
故選：A．
【點睛】本題主要考查了無理數的定義．解題的關鍵是掌握無理數就是無限不循環(huán)小數，初中范圍內學習的無理數有：含π的數，開方開不盡的數和無限不循環(huán)小數．
2. 下列各組數據中是勾股數的是（ ）
A. 6，8，10B. 0.3，0.4，0.5C. ，，D. 5，11，12
【答案】A
【解析】
【分析】要判斷是否為勾股數，必須根據勾股數是正整數，同時還需驗證兩小邊的平方和是否等于最長邊的平方，據此求解即可．
【詳解】解：∵，∴6，8，10是勾股數，故A符合題意；
與，，均不是整數，不是勾股數，故B,C不符合題意；
∵，∴不是勾股數，故D不符合題意
故選：A．
【點睛】此題主要考查了勾股數的定義，及勾股定理的逆定理，關鍵是掌握勾股數：滿足的三個正整數，稱為勾股數．
3. 已知是關于、的二元一次方程，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據二元一次方程的定義進行求解即可．
【詳解】解：∵是關于、的二元一次方程，
∴，
∴，
故選A．
【點睛】本題主要考查了二元一次方程的定義，一般地，形如且a、b是常數的方程叫做二元一次方程．
4. 下列運算正確是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查的是二次根式的運算．根據二次根式的加減和除法法則、二次根式的性質與化簡對各選項進行逐一分析即可．
【詳解】解：A、，本選項不符合題意；
B、與不能計算，本選項不符合題意；
C、，本選項符合題意；
D、，本選項不符合題意．
故選：C．
5. 函數圖象上有兩點，，則與的大小關系是（ ）
A. B. C. D. 無法確定
【答案】A
【解析】
【分析】根據得出函數值隨的增大而減小，再根據，即可比較與的大小關系．
【詳解】解：，
隨的增大而減小，
，
，
故選：A．
【點睛】本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征，熟練掌握一次函數的增減性是解題的關鍵．
6. 剪紙藝術是最古老的中國民間藝術之一，很多剪紙作品體現了數學中的對稱美．如圖，蝴蝶剪紙是一幅軸對稱圖形，如果圖中點E的坐標為，其關于y軸對稱的點F的坐標為，則的值為（ ）
A. 1B. C. D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查坐標與圖形對稱變化，利用軸對稱的性質，求出m，n可得答案．
【詳解】解：∵，關于y軸對稱，
∴，
∴，
故選：B．
7. 在同一平面直角坐標系中，函數和（為常數，）的圖象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據正比例函數和一次函數的性質，可以得到函數和的圖象經過哪幾個象限，本題得以解決．
【詳解】解：∵，
∴函數是經過原點的直線，經過第二、四象限，
函數是經過第一、三、四象限的直線，
故選：D
【點睛】本題考查正比例函數的圖象、一次函數的圖象，解答本題的關鍵是明確題意，利用正比例函數和一次函數的性質解答．
8. 平面直角坐標系內軸，，點A的坐標為，則點B的坐標為（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】根據平行于橫軸上的點縱坐標相等分析計算即可．
【詳解】∵軸，
∴A點與B點縱坐標相同，橫坐標之差等于其距離，
B點橫坐標，或，
故B點坐標為：或．
故選：D
【點睛】本題考查平行于坐標軸的線上的點的坐標特征，能夠掌握數形結合思想是解決本題的關鍵．
9. 如圖，一大樓的外墻面與地面垂直，點在墻面上，若米，點到的距離是6米，有一只螞蟻要從點爬到點，它的最短行程是（ ）米

A. 16B. C. 15D. 14
【答案】B
【解析】
【分析】可將教室的墻面與地面展開，連接，根據兩點之間線段最短，利用勾股定理求解即可．
【詳解】解：如圖，過P作于G，連接，

∵米，米，
∴米，
∴（米），
∴（米）
∴這只螞蟻的最短行程應該是米，故B正確．
故選：B．
【點睛】本題主要考查了平面展開-最短路徑問題，立體圖形中的最短距離，通常要轉換為平面圖形的兩點間的線段長來進行解決．
10. 如圖，在直角坐標系中，矩形的邊在軸上，在軸上，頂點的坐標為，將矩形沿對角線翻折，點落在點的位置，且交軸于點．那么點的坐標為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先證明（設），根據勾股定理列出，求得，即可解決問題．
【詳解】解：設，
∵矩形沿對角線翻折，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴點的坐標為．
故選：A．
【點睛】本題考查翻折變換的性質及其應用問題．解題的關鍵是掌握翻折變換的性質，矩形的性質及勾股定理．
二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）
11. 比較兩數的大?。?___3．（填“＜”或“＞”）
【答案】>
【解析】
【分析】將兩個數平方，再根據兩個正實數平方大的這個正實數也大比較即可．
【詳解】解：∵，，
又∵，
∴．
故答案為：．
【點睛】本題考查實數的大小比較．掌握比較實數大小的方法是解題關鍵．
12. 象棋在中國有著三千多年的歷史，如圖是一方的棋盤，如果“帥”的坐標是，“卒”的坐標為，那么“馬”的坐標是________．

【答案】
【解析】
【分析】本題考查了平面直角坐標系位置確定，根據給定的坐標建立平面直角坐標系可得“馬”的坐標．
【詳解】解：由“帥”的坐標是，“卒”的坐標為，
那么“馬”的坐標是，
故答案為：．

13. 若關于x，y的方程組的解滿足，則的值為________．
【答案】2022
【解析】
【分析】本題考查二元一次方程組的解，將原方程組中的兩個方程相加可得，即，再將代入計算即可．
【詳解】解：，
得，，
即，
又∵，
∴，
解得．
故答案為：2022．
14. 把兩個同樣大小的含45°角的三角尺按如圖所示的方式放置，其中一個三角尺的銳角頂點與另一個的直角頂點重合于點A，且另三個銳角頂點B，C，D在同一直線上．若AB=，則CD=_____．
【答案】
【解析】
【分析】先利用等腰直角三角形的性質求出BC=2，BF=AF=1，再利用勾股定理求出DF，即可得出結論．
【詳解】如圖，過點A作AF⊥BC于F，
在Rt△ABC中，∠B=45°，
∴BC=AB=2，BF=AF=AB=1，
∵兩個同樣大小的含45°角的三角尺，
∴AD=BC=2，
在Rt△ADF中，根據勾股定理得，DF==
∴CD=BF+DF-BC=1+-2=-1，
故答案為-1．
【點睛】此題主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質，正確作出輔助線是解本題的關鍵．
15. 如圖，矩形中，，，點為射線上的一個動點，與關于直線對稱，當為直角三角形時，的長為________．

【答案】2或18
【解析】
【分析】分兩種情況：①當E點在線段上時，②當E點在線段的延長線上時，利用全等三角形的判定和性質進行解答即可,熟練掌握三角形全等的判定和性質，活用勾股定理是解題的關鍵．
【詳解】解：分兩種情況討論：
①當E點在線段上時，如圖所示：
∵矩形中，，，與關于直線對稱，
∴，，，
∵，
∴，
∴三點共線，
∵
∴
∵
∴；
②當E點在線段的延長線上，且經過點B時，如圖所示：

∵,
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵
∴；
綜上所知，的長為2或18，
故答案為：2或18．
三、解答題（本大題共8小題，共75分）
16. 計算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題結合完全平方公式和平方差公式，考查了二次根式的混合運算，
（1）先進行乘方運算和去絕對值，然后把化簡后合并即可；
（2）先根據完全平方公式和平方差公式計算，然后合并即可．
【小問1詳解】
解：原式；
【小問2詳解】
原式
17. 下面是馬小虎同學解二元一次方程組的過程，請認真閱讀并完成相應的任務．
解方程組：
解：①×2，得……③ 第一步
②－③，得 第二步
． 第三步
將代入①，得． 第四步
所以，原方程組的解為 第五步
（1）這種求解二元一次方程組的方法叫做 法，以上求解步驟中，馬小虎同學第 步開始出現錯誤．
（2）請寫出此題正確的解答過程．
【答案】（1）加減消元法，第四步
（2）見解析
【解析】
【分析】（1）根據解方程組的特點判斷，注意系數化為1時的計算．
（2）按照解方程組的步驟求解即可
【小問1詳解】
根據解題步驟分析，這種求解方程組的方法是加減消元法，在第四步系數化為1時，出錯，
故答案為：加減消元法，第四步．
【小問2詳解】
方程組：
解：①×2，得……③ ，
②－③，得 ，
解得．
將代入①，得3．
解得x=．
所以，原方程組的解為．
【點睛】本題考查了二元一次方程組的解法，熟練掌握方程組的解法是解題的關鍵．
18. 在平面直角坐標系中，點在軸上，點在第一象限，過點作軸的垂線，垂足為，已知點的坐標為，長為2．

（1）求，的長．
（2）請判斷的形狀，并說明理由．
【答案】（1），
（2）是直角三角形，理由見解析
【解析】
【分析】（1）由題意可得，，利用勾股定理即可求解；
（2）由勾股定理可求得，利用勾股定理的逆定理進行判斷即可．
【小問1詳解】
解：點的坐標為，軸，
，，
，；
【小問2詳解】
解：是直角三角形，理由如下：
，，軸，
，
由（1）得，
，
，，
，
即，
是直角三角形．
【點睛】本題主要考查坐標與圖形，解題的關鍵是對勾股定理及其逆定理的掌握與運用．
19. △ABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示，三點在格點上．

（1）作出關于y軸對稱的；
（2）的面積為 ；
（3）在y軸上作點P，使得值最小，并求出點P的坐標．
【答案】（1）見解析 （2）
（3）作圖見解析，點P坐標為
【解析】
【分析】本題主要考查作圖---軸對稱變換，利用軸對稱變換的定義和性質和待定系數法求一次函數解析式：
（1）分別作出點A、B、C關于y軸的對稱點，再首尾順次連接即可；
（2）用矩形的面積減去周圍三個三角形的面積即可；
（3）作點B關于y軸的對稱點，連接，與y軸的交點即為所求，利用待定系數法求出所在直線解析式，然后求出時y的值即可得出點P的坐標，根據軸對稱的性質和兩點之間線段最短即可說明理由．
【小問1詳解】
解：如圖所示，即為所求．
【小問2詳解】
△ABC的面積為，
故答案為：；
【小問3詳解】
如圖所示，點P即為所求，
點B關于y軸的對稱點坐標為，
設所在直線解析式為，
則，
解得，
∴所在直線解析式為，
當時，，
∴點P坐標為，
根據軸對稱的性質知，
由兩點之間線段最短知最小，則最?。?br>20. 勾股定理是人類早期發(fā)現并證明的重要數學定理之一，是用代數思想解決幾何問題的最重要的工具之一，也是數形結合的紐帶之一，它不但因證明方法層出不窮吸引著人們，更因為應用廣泛而使人入迷．
（1）證明勾股定理
據傳當年畢達哥拉斯借助如圖所示的兩個圖驗證了勾股定理，請你說說其中的道理．
（2）應用勾股定理
①應用場景1——在數軸上畫出表示無理數的點．
如圖1，在數軸上找出表示4的點，過點作直線垂直于，在上取點，使，以點為圓心，為半徑作弧，則弧與數軸的交點表示的數是______．
②應用場景2——解決實際問題．
如圖2，鄭州某公園有一秋千，秋千靜止時，踏板離地的垂直高度，將它往前推至處時，水平距離，踏板離地的垂直高度，它的繩索始終拉直，求繩索的長．
【答案】（1）見解析 （2）①；②繩索的長為
【解析】
【分析】（1）用含、的式子表示2個圖中空白部分的面積，即可得出結論；
（2）①根據勾股定理求出，根據實數與數軸解答即可．
②設秋千的繩索長為，根據題意可得，利用勾股定理可得，即可得到結論．
【小問1詳解】
解：由左圖可知：，即，
由右圖可知：，即．
．
．
即在直角三角形中斜邊的平方等于兩直角邊的平方和．
【小問2詳解】
解：①在中，
,
,
點表示的數是，
故答案為：；
②，，
．
設秋千的繩索長為，根據題意可得，
利用勾股定理可得．
解得：．
答：繩索的長為．
【點睛】本題主要考查了勾股定理的應用，正確理解題意，掌握直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方是解題的關鍵．
21. 鄭州市政府為民生辦實事，將污染多年的“賈魯河”進行綠化改造，現需要購買大量的景觀樹．某苗木種植公司給出以下收費方案：
方案一：購買一張會員卡，所有購買的樹苗按七折優(yōu)惠；
方案二：不購買會員卡，所有購買的樹苗按九折優(yōu)惠．
設該市購買的景觀樹樹苗棵數為x棵，方案一所需費用y1＝k1x+b1，方案二所需費用y2＝k2x，其函數圖象如圖所示，請根據圖象回答下列問題．
（1）k1＝ ，b1＝ ；
（2）求每棵樹苗的原價；
（3）求按照方案二購買所需費用的函數關系式y2＝k2x，并說明k2的實際意義；
（4）若該市需要購買景觀樹600棵，采用哪種方案購買所需費用更少？請說明理由．
【答案】（1）21，3000；（2）每棵樹苗的原價30元；（3）y2=27x，k2的實際意義是：每棵樹苗打九折后的價格；（4）該市需要購買景觀樹600棵，采用方案一購買所需費用更少．理由見解析
【解析】
【分析】（1）根據題意和函數圖象中的數據，可以得到k1和b1的值；
（2）根據（1）中的結果和題意，可以計算出每棵樹苗的原價；
（3）根據函數圖象中的數據和題意，可以得到函數關系式y2=k2x，并說明k2的實際意義；
（4）將x=600代入y1和y2，然后比較大小，即可解答本題．
【詳解】解：（1）由圖象可得，
函數y1=k1x+b1，過點（0，3000），（200，7200），
則，
解得：，
故答案為：21，3000；
（2）由（1）可得，每棵樹苗按七折優(yōu)惠的價格是21元，
∴每棵樹苗的原價是21÷0.7=30（元），
即每棵樹苗的原價30元；
（3）∵方案二中的樹苗打九折優(yōu)惠，
∴按照方案二購買的每棵樹苗的價格為30×0.9=27（元），
∵方案二：不購買金卡，所有購買的樹苗按九折優(yōu)惠，當x=0時，y2=0，
∴y2=27x，
k2的實際意義是：每棵樹苗打九折后的價格；
（4）該市需要購買景觀樹600棵，采用方案一購買所需費用更少，
理由：由（1）（3）可知，y1=21x+3000，y2=27x，
當x=600時，
y1=21×600+3000=15600，y2=27×600=16200，
∵15600＜16200，
∴該市需要購買景觀樹600棵，采用方案一購買所需費用更少．
【點睛】本題考查了一次函數的應用，解答本題的關鍵是明確題意，利用一次函數的性質和數形結合的思想解答．
22. 如圖，正比例函數的圖象與一次函數的圖象交于點一次函數圖象經過點，與y軸交于點C，與x軸的交點為D．
（1）求一次函數解析式；
（2）一次函數的圖象上是否存在一點P，使得？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由；
（3）如果在y軸上存在一點Q，使是以為底邊的等腰三角形，請直接寫出點Q的坐標．
【答案】（1）一次函數解析式為
（2）存在，P點的坐標或
（3）點Q的坐標為
【解析】
【分析】（1）由待定系數法即可求解；
（2）由，即可求解；
（3）由得：，即可求解．
【小問1詳解】
解：∵正比例函數的圖象與一次函數的圖象交于點，
∴可有，
解得，
∴A點的坐標；
∵一次函數的圖象過點和點
則有，
解得：，
∴一次函數解析式為；
【小問2詳解】
解：存在，理由如下：
設點，對于一次函數，令，
則有，
解得，
∴點，
根據題意可知：，
解得，
當時，，
當時，，
∴P點坐標或；
【小問3詳解】
解：設點，
則，
即，
解得：，
即點Q的坐標為：．
【點睛】本題主要考查了正比例函數圖象上點的坐標特征、待定系數法求函數解析式、一次函數圖象與坐標軸交點以及一次函數幾何問題等知識，解題關鍵是熟練掌握相關知識，并運用數形結合的思想分析問題．
23. 如圖1，已知和為等腰直角三角形，按如圖的位置擺放，直角頂點C重合．

（1）直接寫出與的關系；
（2）將按如圖2的位置擺放，使點A、D、E在同一直線上，求證：；
（3）將按如圖3位置擺放，使，，，求的長．
【答案】（1）且
（2）見解析 （3）
【解析】
【分析】對于（1），先證明≌即可得出數量關系，再根據角之間的關系得出位置關系；
對于（2），設交于O，先證明，可得結論；
對于（3），連接，首先證明，利用勾股定理求出線段，再證明≌推出，即可解決問題．
【小問1詳解】
結論：且．
理由：如圖1中，延長交一點O．

∵和為等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴≌，
∴，.
∵，
∴，
∴．
【小問2詳解】
如圖2中，設交于O．

由（1）可知≌，
∴，.
∵，
∴，
∴.
∵，，
∴，
即，
∴；
【小問3詳解】
如圖3中，連接，

∵，，
∴，.
∵，
∴.
∵，，
∴.
∵，
∴.
∵，，
∴≌，
∴，
∴．
【點睛】本題主要考查了三角形綜合題、等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定和性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．

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